初一几何证明典型例题.docx

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初一几何证明典型例题

初一几何证明典型例题

戴氏教育达州西外校区名校冲刺

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初一典型几何证明题

1、已知：

AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD

解：

延长AD到E,使AD=DE

∵D是BC中点

∴BD=DC

在△ACD和△BDE中

AD=DE

∠BDE=∠ADC

BD=DC

∴△ACD≌△BDE

∴AC=BE=2

∵在△ABE中

AB-BE＜AE＜AB+BE

∵AB=4

即4-2＜2AD＜4+2

1＜AD＜3

∴AD=2

2、已知：

BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：

∠1=∠2

3、

4、证明：

连接BF和EF

∵BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF

∴△BCF≌△EDF（S.A.S）

∴BF=EF,∠CBF=∠DEF

连接BE

在△BEF中,BF=EF

∴∠EBF=∠BEF。

∵∠ABC=∠AED。

∴∠ABE=∠AEB。

∴AB=AE。

在△ABF和△AEF中

AB=AE,BF=EF,

∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF

∴△ABF≌△AEF。

∴∠BAF=∠EAF（∠1=∠2）。

5、已知：

∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：

EF=AC

过C作CG∥EF交AD的延长线于点G

CG∥EF，可得，∠EFD＝CGD

DE＝DC

∠FDE＝∠GDC（对顶角）

∴△EFD≌△CGD

EF＝CG

∠CGD＝∠EFD

又，EF∥AB

∴，∠EFD＝∠1

∠1=∠2

∴∠CGD＝∠2

∴△AGC为等腰三角形，

AC＝CG

又EF＝CG

∴EF＝AC

6、

A

已知：

AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：

∠B=2∠C

证明：

延长AB取点E，使AE＝AC，连接DE

∵AD平分∠BAC

∴∠EAD＝∠CAD

∵AE＝AC，AD＝AD

∴△AED≌△ACD（SAS）

∴∠E＝∠C

∵AC＝AB+BD

∴AE＝AB+BD

∵AE＝AB+BE

∴BD＝BE

∴∠BDE＝∠E

∵∠ABC＝∠E+∠BDE

∴∠ABC＝2∠E

∴∠ABC＝2∠C

7、已知：

AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：

AE=AD+BE

证明：

在AE上取F，使EF＝EB，连接CF

∵CE⊥AB

∴∠CEB＝∠CEF＝90°

∵EB＝EF，CE＝CE，

∴△CEB≌△CEF

∴∠B＝∠CFE

∵∠B＋∠D＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180°

∴∠D＝∠CFA

∵AC平分∠BAD

∴∠DAC＝∠FAC

∵AC＝AC

∴△ADC≌△AFC（SAS）

∴AD＝AF

∴AE＝AF＋FE＝AD＋BE

6、如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。

求

证：

BC=AB+DC。

在BC上截取BF=AB，连接EF

∵BE平分∠ABC

∴∠ABE=∠FBE

又∵BE=BE

∴⊿ABE≌⊿FBE（SAS）

∴∠A=∠BFE

∵AB//CD

∴∠A+∠D=180º

∵∠BFE+∠CFE=180º

∴∠D=∠CFE

又∵∠DCE=∠FCE

CE平分∠BCD

CE=CE

∴⊿DCE≌⊿FCE（AAS）

∴CD=CF

∴BC=BF+CF=AB+CD

7.P是∠BAC平分线AD上一点，AC>AB，求证：

PC-PB

在AC上取点E，

使AE＝AB。

∵AE＝AB

AP＝AP

∠EAP＝∠BAE，

∴△EAP≌△BAP

∴PE＝PB。

PC＜EC＋PE

∴PC＜（AC－AE）＋PB

∴PC－PB＜AC－AB。

8.已知∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，求证：

AC-AB=2BE

证明：

在AC上取一点D，使得角DBC=角C

∵∠ABC=3∠C

∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=3∠C-∠C=2∠C；

∵∠ADB=∠C+∠DBC=2∠C;

∴AB=AD

∴AC–AB=AC-AD=CD=BD

在等腰三角形ABD中，AE是角BAD的角平分线，

∴AE垂直BD

∵BE⊥AE

∴点E一定在直线BD上，

在等腰三角形ABD中，AB=AD，AE垂直BD

∴点E也是BD的中点

∴BD=2BE

∵BD=CD=AC-AB

∴AC-AB=2BE

9.如图，在△ABC中，BD=DC，∠1=∠2，求证：

AD⊥BC．

解：

延长AD至BC于点E,

∵BD=DC∴△BDC是等腰三角形

∴∠DBC=∠DCB

又∵∠1=∠2∴∠DBC+∠1=∠DCB+∠2

即∠ABC=∠ACB

∴△ABC是等腰三角形

∴AB=AC

在△ABD和△ACD中

AB=AC

∠1=∠2

BD=DC

∴△ABD和△ACD是全等三角形（边角边）

∴∠BAD=∠CAD

∴AE是△ABC的中垂线

∴AE⊥BC

∴AD⊥BC

10.如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP,MB⊥OQ，A、B为垂足，AB交OM于点N．

求证：

∠OAB=∠OBA

证明：

∵OM平分∠POQ

∴∠POM＝∠QOM

∵MA⊥OP，MB⊥OQ

∴∠MAO＝∠MBO＝90

∵OM＝OM

∴△AOM≌△BOM（AAS）

∴OA＝OB

∵ON＝ON

∴△AON≌△BON（SAS）

∴∠OAB=∠OBA，∠ONA=∠ONB

∵∠ONA+∠ONB＝180

∴∠ONA＝∠ONB＝90

∴OM⊥AB

11.如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求证：

AD+BC=AB．

证明：

在AB上取F，使AF＝AD，连接EF

∵AE平分∠DAB

∴∠DAE=∠FAE

在⊿ADE和⊿AFE中

AD＝AF

∠DAE=∠FAE

AE=AE

∴⊿ADE≌⊿AFE（SAS）

∴∠ADE=∠AFE

∵AB//CD

∴∠ADE+∠C=180º

∵∠AFE+∠BFE=180º

∴∠C=∠BFE

∵BE平分∠ABC

∠CBE=∠FBE

在⊿BFE和⊿BCE中

∠C=∠BFE

∠CBE=∠FBE

CE=CE

∴⊿BFE≌⊿BCE（AAS）

∴CB=BF

∴AB=AF+FB=AD+BC

12.如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M．

（1）求证：

MB=MD，ME=MF

（2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？

若成立请给予证明；若不成立请说明理由．

（1）证：

∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，

∴∠DEC=∠BFA=90°，DE∥BF，

在Rt△DEC和Rt△BFA中，

∵AF=CE，AB=CD，

∴Rt△DEC≌Rt△BFA（HL）

∴DE=BF．

在△DEM和△BFM中

∠DEM=∠BFM

∠DME=∠BMF

DE=BF

∴△DEM≌△BFM（AAS）

∴MB=MD，ME=MF

（2）证：

∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，

∴∠DEC=∠BFA=90°，DE∥BF，

在Rt△DEC和Rt△BFA中，

∵AF=CE，AB=CD，

∴Rt△DEC≌Rt△BFA（HL）

∴DE=BF．

在△DEM和△BFM中

∠DEM=∠BFM

∠DME=∠BMF

DE=BF

∴△DEM≌△BFM（AAS）

∴MB=MD，ME=MF

13如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．

求证：

BD=2CE．

证：

∵∠CEB=∠CAB=90°

∠ADB=∠CDE

在△ABD中，∠ABD=180°-∠CAB-∠ADB

在△CED中，∠DCE=180°-∠CEB-∠CDE

∴∠ABD=∠DCE

在△ABD和△ACF中

∠DAB=∠CAF

AB=AC

∠ABD=∠DCF

∴△ABD≌△ACF（ASA）

∴BD=CF

∵BD是∠ABC的平分线

∴∠FBE=∠CBE

在△FBE和△CBE中

∠FBE=∠CBE

BE=BE

∠BEF=∠BEC

∴△FBE≌△CBE（ASA）

∴CE=FECF=2CE

∴BD=2CE

14.如图：

DF=CE，AD=BC，∠D=∠C。

求证：

△AED≌△BFC。

证明：

∵DF=CE，

∴DF-EF=CE-EF，

即DE=CF，

在△AED和△BFC中，

∵AD=BC，∠D=∠C，DE=CF

∴△AED≌△BFC（SAS）

15.如图：

AE、BC交于点M，F点在AM上，BE∥CF，BE=CF。

求证：

AM是△ABC的中线。

证明：

∵BE‖CF

∴∠E=∠CFM，∠EBM=∠FCM

∵BE=CF

∴△BEM≌△CFM

∴BM=CM

∴AM是△ABC的中线

16.AB=AC，DB=DC，F是AD的延长线上的一点。

求证：

BF=CF

证：

在△ABD与△ACD中

AB=AC

BD=DC

AD=AD

∴△ABD≌△ACD（SSS）

∴∠ADB=∠ADC

∴∠BDF=∠FDC

在△BDF与△FDC中

BD=DC

∠BDF=∠FDC

DF=DF

∴△FBD≌△FCD（SAS）

∴BF=FC

17.如图：

AB=CD，AE=DF，CE=FB。

求证：

AF=DE。

证：

∵CF=CE+EF

EB=EF+FB

又∵CE=FB

∴CF=EB

在△CDF与△ABE中

AB=CD

AE=DF

BE=CF

∴△CDF≌△ABE（SSS）

∴∠DCB=∠ABF

在△ABF与△CDE中

AB=CD

∠ABF=∠DCE

BF=CE

∴△ABF≌△CDE（SAS）

∴AF=ED

18.公园里有一条“Z”字形道路ABCD，如图所示，其中AB∥CD，在AB，CD，BC三段路旁各有一只小石凳E，F，M，且BE＝CF，M在BC的中点，试说明三只石凳E，F，M恰好在一条直线上.

证明：

连接EF

∵AB∥CD

∴∠B=∠C

∵M是BC中点

∴BM=CM

在△BEM和△CFM中

BE=CF

∠B=∠C

∴△BEM≌△CFM（SAS）

∴CF=BE

BM=CM

19.已知：

如图所示，AB＝AD，BC＝DC，E、F分别是DC、BC的中点，求证：

AE＝AF。

证：

连接AC

∵

在△ADC和△ABC中

AD=AB

DC=BC

AC=AC

∴△ADC≌△ABC（SSS）

∴∠B=∠D

∵E、F分别是DC、BC的中点

又∵BC＝DC

∴DE=BF

∵在△ADE和△ABF中

AD=AB

∠D=∠B

DE=BF

∴△ADE≌△ABF（SAS）

∴AE=AF

20.如图，在四边形ABCD中，E是AC上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，求证:

∠5=∠6．

证明：

∵在△ADC和△ABC中

∠BAC=∠DAC

∠BCA=∠DCA

AC=AC

∴△ADC≌△ABC（AAS）

∵AB=AD，BC=CD

在△DEC与△BEC中

CE=CE

∠BCA=∠DCA

∴△DEC≌△BEC（SAS）

∴∠DEC=∠BEC

BC=CD

21.如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。

求证：

DE=DF．

证明：

∵AD是∠BAC的平分线

∴∠EAD=∠FAD

∵DE⊥AB，DF⊥AC

∴∠BFD=∠CFD=90°

∴∠AED与∠AFD=90°

在△AED与△AFD中

∠EAD=∠FAD

AD=AD

∠AED=∠AFD

∴△AED≌△AFD（AAS）

∴AE=AF

22.如图：

AB=AC，ME⊥AB，MF⊥AC，垂足分别为E、F，ME=MF。

求证：

MB=MC

证明：

∵AB=AC

∴∠B=∠C

∵ME⊥AB，MF⊥AC

∴∠BEM=∠CFM=90°

在△BME和△CMF中

∵∠B=∠C∠BEM=∠CFM=90°ME=MF

∴△BME≌△CMF（AAS）

∴MB=MC．

23.在△ABC中，

，

，直线

经过点

，且

于

，

于

.

（1）当直线

绕点

旋转到图1的位置时，求证：

①

≌

；②

；

（2）当直线

绕点

旋转到图2的位置时，

（1）中的结论还成立吗？

若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.

（1）

①∵∠ADC=∠ACB=∠BEC=90°，

∴∠CAD+∠ACD=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∠ACD+∠BCE=90°．

∴∠CAD=∠BCE．

∵AC=BC，

∴△ADC≌△CEB．

②∵△ADC≌△CEB，

∴CE=AD，CD=BE．

∴DE=CE+CD=AD+BE．

（2）∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，

∴∠ACD=∠CBE．

又∵AC=BC，

∴△ACD≌△CBE．

∴CE=AD，CD=BE．

∴DE=CE﹣CD=AD﹣BE

24.如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。

求证：

（1）EC=BF；

（2）EC⊥BF

（1）∵AE⊥AB，AF⊥AC，

∴∠BAE=∠CAF=90°，

∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC，

即∠EAC=∠BAF，

在△ABF和△AEC中，

∵AE=AB，∠EAC=∠BAF，AF=AC，

∴△ABF≌△AEC（SAS），

∴EC=BF；

（2）如图，根据

（1），△ABF≌△AEC，

∴∠AEC=∠ABF，

∵AE⊥AB，

∴∠BAE=90°，

∴∠AEC+∠ADE=90°，

∵∠ADE=∠BDM（对顶角相等），

∴∠ABF+∠BDM=90°，

在△BDM中，∠BMD=180°-∠ABF-∠BDM=180°-90°=90°，

∴EC⊥BF．

25.如图：

BE⊥AC，CF⊥AB，BM=AC，CN=AB。

求证：

（1）AM=AN；

（2）AM⊥AN。

证明：

（1）∵BE⊥AC，CF⊥AB

∴∠ABM+∠BAC=90°，∠ACN+∠BAC=90°

∴∠ABM=∠ACN

∵BM=AC，CN=AB

∴△ABM≌△NAC

∴AM=AN

（2）∵△ABM≌△NAC

∴∠BAM=∠N

∵∠N+∠BAN=90°

∴∠BAM+∠BAN=90°

即∠MAN=90°

∴AM⊥AN

26.已知：

如图，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，

．

求证：

．

证明：

∵DE⊥AC，BF⊥AC

∴∠CED=∠AFB=90º

又∵AB=CD，BF=DE

∴Rt⊿ABF≌Rt⊿CDE（HL）

∴AF=CE

∠BAF=∠DCE

∴AB//CD