C.ab>0D.|b|<|a|
【小结】利用数形结合的思想求解更形象直观.数形结合的思想方法是指将数(量)与(图)形结合起来进行分析、研究、解决问题的一种思维策略.本题通过图形语言,发现问题结论,实现数与形的完美结合.
类型三方程与函数的思想方法
典例3(2015·安徽)如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,动点P从A点出发,按A→B→C的方向在AB和BC上移动,记PA=x,点D到直线PA的距离为y,则y关于x的函数图象大致是().
【全解】①点P在AB上时,点D到AP的距离为AD的长度,②点P在BC上时,根据同角的余角相等求出∠APB=∠PAD,再利用相似三角形的列出比例式整理得到y与x的表达式,从而得解.具体过程如下:
①点P在AB上时,0≤x≤3,点D到AP的距离为AD的长度,是定值4.
②点P在BC上时,3∵∠APB+∠BAP=90°,
∠PAD+∠BAP=90°,
∴∠APB=∠PAD.
又∠B=∠DEA=90°,
∴△ABP∽△DEA.
纵观各选项,只有B选项图形符合.
故选B.
举一反三
4.(2015·山东德州)如图,在一张矩形纸片ABCD中,AB=4,BC=8,点E,F分别在AD,BC上,将纸片ABCD沿直线EF折叠,点C落在AD上的一点H处,点D落在点G处,有以下四个结论:
①四边形CFHE是菱形;
②EC平分∠DCH;
③线段BF的取值范围为3≤BF≤4;
④当点H与点A重合时,EF=2
.
以上结论中,你认为正确的有()个.
(第4题)
A.1B.2C.3D.4
【小结】本类题考查了动点问题函数图象,主要利用了相似三角形的判定与性质,难点在于根据点的位置分情况讨论.对于一些需要用运动、变化的观点,分析研究问题中的数量关系的问题,我们可以通过函数形式把这种数量关系进行刻划并加以研究,从而使问题获得解决.这些都体现了方程与函数的思想方法.
类型四分类讨论的思想方法
典例4(2015·江苏无锡)如图
(1),已知点A(2,0),B(0,4),∠AOB的平分线交AB于C,一动点P从O点出发,以每秒2个单位长度的速度,沿y轴向点B作匀速运动,过点P且平行于AB的直线交x轴于Q,作P,Q关于直线OC的对称点M,N.设P运动的时间为t(0(1)求C点的坐标,并直接写出点M,N的坐标(用含t的代数式表示);
(2)设△MNC与△OAB重叠部分的面积为S.
①试求S关于t的函数表达式;
②在图
(2)的直角坐标系中,画出S关于t的函数图象,并回故S是否有最大值?
若有,写出S的最大值;若没有,请说明理由.
(1)
(2)
【全解】
(1)如图
(1),过点C作CF⊥x轴于点F,CE⊥y轴于点E,
(1)
由题意,易知四边形OECF为正方形,设正方形边长为x.
∵CE∥x轴,
∴OP=2OQ.
∵P(0,2t),
∴Q(t,0).
∵对称轴OC为第一象限的角平分线,
∴对称点坐标为:
M(2t,0),N(0,t).
(2)①当0(2)所示,点M在线段OA上,重叠部分面积为S△CMN.
(2)
当1(3)
设直线MN的表达式为y=kx+b,将M(2t,0),N(0,t)代入得
②画出函数图象,如图(4)所示:
(4)
观察图象,可知当t=1时,S有最大值,最大值为1.
【技法梳理】
(1)如图
(1),作辅助线,由比例式求出点C的坐标;
(2)①所求函数表达式为分段函数,需要分类讨论.
图
(2),图(3)表示出运动过程中重叠部分(阴影)的变化,分别求解;
②画出函数图象,由两段抛物线构成.观察图象,可知当t=1时,S有最大值.
举一反三
5.(2015·四川泸州)已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2-2(m+1)x+m2+5=0的两实数根.
(1)若(x1-1)(x2-1)=28,求m的值;
(2)已知等腰△ABC的一边长为7,若x1,x2恰好是△ABC另外两边的边长,求这个三角形的周长.
【小结】分类讨论是通过比较数学对象本质属性的相同点和差异点,然后根据某一种属性将数学对象区分为不同种类的思想方法.分类讨论能克服思维的片面性,防止漏解.
类型一
1.(2015·江苏连云港)若ab=3,a-2b=5,则a2b-2ab2的值是.
4.(2015·山东东营)【探究发现】如图
(1),△ABC是等边三角形,∠AEF=60°,EF交等边三角形外角平分线CF所在的直线于点F,当点E是BC的中点时,有AE=EF成立;
【数学思考】某数学兴趣小组在探究AE,EF的关系时,运用“从特殊到一般”的数学思想,通过验证得出如下结论:
当点E是直线BC上(B,C除外)任意一点时(其它条件不变),结论AE=EF仍然成立.
假如你是该兴趣小组中的一员,请你从“点E是线段BC上的任意一点”;“点E时线段BC延长线上的任意一点”;“点E时线段BC反向延长线上的任意一点”三种情况中,任选一种情况,在图
(2)中画出图形,并证明AE=EF.
【拓展应用】当点E在线段BC的延长线上时,若CE=BC,在图(3)中画出图形,并运用上述结论求出S△ABC∶S△AEF的值.
(1)
(2)
(3)
(第4题)
类型二
(第6题)
A.y1>y2B.y1=y2
C.y1(第7题)
A.x>2B.x<-2
C.-22
8.(2015·黑龙江黑河)如图,在在平面直角坐标系xOy中,有一个等腰直角三角形AOB,∠OAB=90°,直角边AO在x轴上,且AO=1.将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直角三角形A1OB1,且A1O=2AO,再将Rt△A1OB1绕原点O顺时针旋转90°得到等腰三角形A2OB2,且A2O=2A1O,…,依此规律,得到等腰直角三角形A2015OB2015,则点A2015的坐标为.
(第8题)
9.(2015·四川遂宁)如图,根据图中数据完成填空,再按要求答题:
(1)
(2)
(3)
(4)
(第9题)
sin2A1+sin2B1=;sin2A2+sin2B2=;
sin2A3+sin2B3=.
(1)观察上述等式,猜想:
在Rt△ABC中,∠C=90°,都有sin2A+sin2B=.
(2)如图(4),在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c,利用三角函数的定义和勾股定理,证明你的猜想.
类型三
10.(2015·安徽)如图,Rt△ABC中,AB=9,BC=6,∠B=90°,将△ABC折叠,使A点与BC的中点D重合,折痕为MN,则线段BN的长为().
(第10题)
11.(2015·湖北孝感)正方形A1B1C1O,A2B2C2C1,A3B3C3C2,…,按如图的方式放置.点A1,A2,A3,…,和点C1,C2,C3,…,分别在直线y=x+1和x轴上,则点B6的坐标是.
(第11题)
(第12题)
13.(2015·四川广安)如图,矩形ABCD的长为6,宽为3,点O1为矩形的中心,☉O2的半径为1,O1O2⊥AB于点P,O1O2=6.若☉O2绕点P按顺时针方向旋转360°,在旋转过程中,☉O2与矩形的边只有一个公共点的情况一共出现().
(第13题)
A.3次B.4次
C.5次D.6次
类型四
14.(2015·甘肃兰州)如图,在平面直角坐标系中,四边形OBCD是边长为4的正方形,平行于对角线BD的直线l从O出发,沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动,运动到直线l与正方形没有交点为止.设直线l扫过正方形OBCD的面积为S,直线l运动的时间为t(秒),下列能反映S与t之间函数关系的图象是().
(第14题)
15.(2015·湖北襄阳)如图,在平面直角坐标系中,矩形OCDE的三个顶点分别是C(3,0),D(3,4),E(0,4).点A在DE上,以A为顶点的抛物线过点C,且对称轴x=1交x轴于点B.连接EC,AC.点P,Q为动点,设运动时间为t秒.
(1)填空:
点A坐标为;抛物线的表达式为
.
(2)在图
(1)中,若点P在线段OC上从点O向点C以1个单位/秒的速度运动,同时,点Q在线段CE上从点C向点E以2个单位/秒的速度运动,当一个点到达终点时,另一个点随之停止运动.当t为何值时,△PCQ为直角三角形?
(3)在图
(2)中,若点P在对称轴上从点A开始向点B以1个单位/秒的速度运动,过点P做PF⊥AB,交AC于点F,过点F作FG⊥AD于点G,交抛物线于点Q,连接AQ,CQ.当t为何值时,△ACQ的面积最大?
最大值是多少?
(1)
(2)
(第15题)
参考答案
【真题精讲】
1.A解析:
要求丝线的长,需将圆柱的侧面展开,进而根据“两点之间线段最短”得出结果,在求线段长时,根据勾股定理计算即可.如图.
(第1题)
把圆柱的侧面展开,得到矩形,则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度.
∵圆柱底面的周长为4dm,圆柱高为2dm,
∴AB=2dm,BC=BC'=2dm.
∴AC2=22+22=4+4=8.
∴AC=2
.
∴这圈金属丝的周长最小为2AC=4cm.
2.-1.5解析:
分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,经检验即可得到分式方程的解.
方程两边都乘以(x+2)(x-2),
得x(x+2)-1=(x+2)(x-2),解这个方程,得x=-1.5.
经检验,x=-1.5是原方程的解.
3.D解析:
根据数轴,a<0,b>0,且|a|>|b|.
A.∵a<0,b>0,且|a|>|b|,
∴a+b<0,故本选项错误.
B.应为a
C.∵a<0,b>0,
∴ab<0.故本选项错误.
4.C解析:
∵FH与CG,EH与CF都是矩形ABCD的对边AD,BC的一部分,
∴FH∥CG,EH∥CF.
∴四边形CFHE是平行四边形.
由翻折的性质得,CF=FH,
∴四边形CFHE是菱形,故①正确.
∴∠BCH=∠ECH.
∴只有∠DCE=30°时EC平分∠DCH,故②错误.
点H与点A重合时,设BF=x,则AF=FC=8-x.
在Rt△ABF中,AB2+BF2=AF2,
即42+x2=(8-x)2,
解得x=3,
点G与点D重合时,CF=CD=4,
∴BF=4.
∴线段BF的取值范围为3≤BF≤4,故③正确.
过点F作FM⊥AD于M,则ME=(8-3)-3=2,
(第4题)
由勾股定理得,EF=
=
=2
故④正确.
综上所述,结论正确的有①③④共3个.
5.
(1)6
(2)17
解析:
(1)∵x1,x2是关于x的一元二次方程x2-2(m+1)x+m2+5=0的两实数根,
∴x1+x2=2(m+1),x1·x2=m2+5.
∴(x1-1)(x2-1)=x1·x2-(x1+x2)+1=m2+5-2(m+1)+1=28,
解得m=-4或m=6.
当m=-4时原方程无解,
∴m=6.
(2)当7为底边时,此时方程x2-2(m+1)x+m2+5=0有两个相等的实数根,
∴Δ=4(m+1)2-4(m2+5)=0,
解得m=2.
∴方程变为x2-6x+9=0,
解得:
x1=x2=3.
∵3+3<7,
∴不能构成三角形.
当7为腰时,设x1=7,
代入方程,得49-14(m+1)+m2+5=0,
解得m=10或4,
当m=10时方程变为x2-22x+105=0,
解得x=7或15.
∵7+7<15,不能组成三角形.
当m=4时方程变为x2-10x+21=0,
解得x=3或7,
此时三角形的周长为7+7+3=17.
【课后精练】
1.152.-3
3.
解析:
设x=0.
则x=0.4545…,①
根据等式性质得100x=45.4545…,②
由②-①得100x-x=45.4545…-0.4545…,
即100x-x=45,
解方程,得x=
.
4.【数学思考】
如图
(1),在AB上截取AG,使AG=EC,连接EG,
(第4题
(1))
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC,∠B=∠ACB=60°.
∵AG=EC,
∴BG=BE.
∴△BEG是等边三角形,∠BGE=60°.
∴∠AGE=120°.
∵FC是外角的平分线,
∠ECF=120°=∠AGE.
∵∠AEC是△ABE的外角,
∴∠AEC=∠B+∠GAE=60°+∠GAE.
∵∠AEC=∠AEF+∠FEC=60°+∠FEC,
∴∠GAE=∠FEC.
在△AGE和△ECF中,
∴△AGE≌△ECF(ASA).
∴AE=EF;
【拓展应用】
如图
(2):
作CH⊥AE于点H,
(第4题
(2))
∴∠AHC=90°.
由【数学思考】,得AE=EF,
又∠AEF=60°,
∴△AEF是等边三角形.
∴△ABC∽△AEF.
∵CE=BC=AC,△ABC是等边三角形,
∴∠CAH=30°,AH=EH.
5.A6.A7.D
8.(-22015,0)
9.111
(1)1
(2)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°.
10.C解析:
设BN=x,由折叠的性质可得
DN=AN=9-x,
∵D是BC的中点,
∴BD=3.
在Rt△ABC中,x2+32=(9-x)2,
解得x=4.
故线段BN的长为4.
11.(63,32)解析:
∵直线y=x+1,x=0时,y=1,
∴A1B1=1,点B2的坐标为(3,2).
∴A1的纵坐标是:
1=20,A1的横坐标为0=20-1.
∴A2的纵坐标为1+1=21,A2的横坐标为1=21-1.
∴A3的纵坐标为2+2=4=22,A3的横坐标为1+2=3=22-1.
∴A4的纵坐标为4+4=8=23,A4的横坐标为1+2+4=7=23-1.
即点A4的坐标为(7,8).
据此可以得到An的纵坐标为2n-1,横坐标为2n-1-1.
即点An的坐标为(2n-1-1,2n-1).
∴点A6的坐标为(25-1,25).
∴点B6的坐标为(26-1,25)即(63,32).
解得k=-1,b=1.
∴直线AC的表达式为y=-x+1.
13.B解析:
如图,☉O2与矩形的边只有一个公共点的情况一共出现4次.
(第13题)
14.D
15.
(1)∵抛物线的对称轴为x=1,矩形OCDE的三个顶点分别是C(3,0),D(3,4),E(0,4),点A在DE上,
∴点A坐标为(1,4).
设抛物线的表达式为y=a(x-1)2+4,
把C(3,0)代入抛物线的表达式,
可得a(3-1)2+4=0,解得a=-1.
故抛物线的表达式为y=-(x-1)2+4,
即y=-x2+2x+3;
(2)依题意,有OC=3,OE=4,