江苏省扬州市届高三考前调研测试数学试题+Word版含答案.docx
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江苏省扬州市届高三考前调研测试数学试题+Word版含答案
扬州市2017届高三考前调研测试
2017.05
试题Ⅰ
(全卷满分160分,考试时间120分钟)
一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分,请将答案填写在答题卷相应位置)
1.已知,则▲.
2.若复数满足,则复数在复平面上对应的点在第▲象限.
3.随着社会的发展,食品安全问题渐渐成为社会关注的热点,为了提高学生的食品安全意识,某学校组织全校学生参加食品安全知识竞赛,成绩的频率分布直方图如下图所示,数据的分组依次为,,,,若该校的学生总人数为3000,则成绩不超过60分的学生人数大约为▲.
第3题
4.在区间内任取一个实数,则满足的概率为▲.
5.如图是一个算法流程图,则输出的值为▲.
6.函数的定义域为▲.
7.已知双曲线的一条渐近线方程为,则该双曲线的焦距为
▲.
8.已知,则▲.
9.已知圆锥的侧面展开图是半径为4,圆心角等于的扇形,则这个圆锥的体积是▲
10.已知圆为常数)与直线相交于两点,若,则实数▲.
11、设等差数列的前项和为,若,,则的最小值为▲.
12.若动直线与函数,的图象分别交于两点,则线段长度的最大值为▲.
13.在中,、分别是、的中点,是直线上的动点.若的面积为2,则的最小值为▲.
14.已知函数有两个不相等的零点,则的最大值为▲.
二、解答题(本大题共6小题,共90分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分14分)
在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,.
⑴求的值;
⑵若,求的面积.
16.(本小题满分14分)
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为梯形,CD∥AB,AB=2CD,AC交BD于O,锐角PAD所在平面⊥底面ABCD,PA⊥BD,点Q在侧棱PC上,且PQ=2QC.
求证:
⑴PA∥平面QBD;
⑵BDAD.
17.(本小题满分14分)
如图是一座桥的截面图,桥的路面由三段曲线构成,曲线和曲线分别是顶点在路面、的抛物线的一部分,曲线是圆弧,已知它们在接点、处的切线相同,若桥的最高点到水平面的距离米,圆弧的弓高米,圆弧所对的弦长米.
(1)求弧所在圆的半径;
(2)求桥底的长.
18.(本小题满分16分)
如图,已知椭圆的左顶点,且点在椭圆上,、分别是椭圆的左、右焦点。
过点作斜率为的直线交椭圆于另一点,直线交椭圆于点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若为等腰三角形,求点的坐标;
(3)若,求的值.
19.(本小题满分16分)
已知函数,其中为参数.
(1)当时,求函数在处的切线方程;
(2)讨论函数极值点的个数,并说明理由;
(3)若对任意,恒成立,求实数的取值范围.
20.(本小题满分16分)
已知各项不为零的数列的前项和为,且,,.
(1)若成等比数列,求实数的值;
(2)若成等差数列,
①求数列的通项公式;
②在与间插入个正数,共同组成公比为的等比数列,若不等式
对任意的恒成立,求实数的最大值.
扬州市2017届高三考前调研测试
数学Ⅱ(附加题共40分)
21.[选修4-2:
矩阵与变换](本小题满分10分)
已知矩阵,设曲线C:
在矩阵对应的变换下得到曲线C′,求C′的方程.
22.[选修4-4:
坐标系与参数方程](本小题满分10分)
在极坐标系中,直线和圆C的极坐标方程为()和.若直线与圆C有且只有一个公共点,求a的值.
23.(本小题满分10分)
某校举办校园科技文化艺术节,在同一时间安排《生活趣味数学》和《校园舞蹈赏析》两场讲座.已知A、B两学习小组各有5位同学,每位同学在两场讲座任意选听一场.若A组1人选听《生活趣味数学》,其余4人选听《校园舞蹈赏析》;B组2人选听《生活趣味数学》,其余3人选听《校园舞蹈赏析》.
⑴若从此10人中任意选出3人,求选出的3人中恰有2人选听《校园舞蹈赏析》的概率;
⑵若从A、B两组中各任选2人,设为选出的4人中选听《生活趣味数学》的人数,求的分布列和数学期望.
24.(本小题满分10分)
在数列中,()
⑴试将表示为的函数关系式;
⑵若数列满足(),猜想与的大小关系,并证明你的结论.
扬州市2017届高三考前调研测试
数学试题Ⅰ参考答案2017.5
一、填空题
1.2.一3.9004.5.120
6.7.108.9.10.
11.12.13.14.
15.【解析】⑴由得,
又,所以,………………3分
因为,且为钝角,所以,………………6分
所以.………………8分
⑵由正弦定理得,所以,………11分
所以的面积.………………14分
16.【解析】⑴如图,连接OQ,
因为AB∥CD,AB=2CD,
所以AO=2OC,又PQ=2QC,
所以PA∥OQ,…………………3分
又OQ平面QBD,PA平面QBD,
所以PA∥平面QBD.…………………6分
⑵在平面PAD内过作于H,因为侧面PAD⊥底面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,
PH平面PAD,所以PH平面ABCD,…………………9分
又BD平面ABCD,所以PHBD,又PA⊥BD,
且PA和PH是平面PAD内的两条相交直线,所以BD平面PAD,…………………12分
又AD平面PAD,所以BDAD.…………………14分
17.解:
(1)设弧所在圆的半径为,由题意得,
即弧所在圆的半径为13米。
…………………4分
(2)以线段所在直线为轴,线段的中垂线为轴,建立如图的平面直角坐标系。
米,米,弓高米,
,,,设所在圆的方程为
则
弧的方程为…………………6分
设曲线所在抛物线的方程为:
,…………………8分
点在曲线上…………………10分
又弧与曲线段在接点处的切线相同,且弧在点B处的切线的斜率为,
由得,,
…………………12分
由得,,
桥底的长为58米…………………13分
答:
(1)弧所在圆的半径为13米;
(2)桥底的长58米。
(答和单位各1分)…………………14分
18.解:
(1)由题意得,解得
椭圆的标准方程:
…………………4分
(2)为等腰三角形,且点在轴下方
1°若,则;
2°若,则,;
3°若,则,
直线的方程,由得或
(不讨论扣2分)…………………9分
(3)设直线的方程,
由得
…………………11分
若则,,与不垂直;
,,,
直线的方程,直线的方程:
由解得…………………13分
又点在椭圆上得,即,即
,…………………16分
19.解析:
(1)…………………3分
(2),定义域为
,设,
1当时,,故,
所以在上为增函数,所以无极值点.…………………4分
②当时,,
若时,,故,故在上递增,所以无极值点.
若时,设的两个不相等的实数根为,且,
且,而,则,
所以当单调递增;
当单调递减;
当单调递增.
所以此时函数有两个极值点;…………………7分
③当时,设的两个不相等的实数根为,且,
但,所以,
所以当单调递増;
当单调递减.
所以此时函数只有一个极值点。
综上得:
当时有一个极值点;
当时的无极值点;
当时,的有两个极值点.…………………9分
(3)方法一:
当时,由
(2)知在上递增,
所以,符合题意;…………………10分
当时,,在上递增,所以,
符合题意;…………………12分
当时,,所以函数在上递减,所以,
不符合题意;…………………14分
当时,由
(1)知,于是
当时,,此时,不符合题意.
综上所述,的取值范围是.…………………16分
方法二:
,注意到对称轴为,,
当时,可得,故在上递增,所以,符合题意;
当时,,所以函数在上递减,此时,
不符合题意;
当时,由
(1)知,于是
当时,,此时,不符合题意.
综上所述,的取值范围是.…………………16分
20.解:
(1)当时,,,当时,,,
由得,即,解得:
。
…………………3分
(2)由得,故,,所以,
当时,,
因为,所以…………………6分
故数列的所有奇数项组成以为首项为公差的等差数列,
其通项公式,…………………7分
同理,数列的所有偶数项组成以为首项为公差的等差数列,
其通项公式是…………………8分
所以数列的通项公式是…………………9分
(3),在与间插入个正数,组成公比为的等比数列,故有,
即,…………………10分
所以,即,两边取对数得,
分离参数得恒成立…………………11分
令,,则,,…………………12分
令,,则,
下证,,
令,则,所以,
即,用替代可得,,…………………14分
所以,所以在上递减,
所以…………………16分
扬州市2017届高三考前调研测试
数学Ⅱ(附加题)参考答案
21.【解析】设为曲线C上任意一点,点在矩阵对应的变换下得到点,则:
,即,解得,………………5分
(注:
用逆矩阵的方式求解同样给分)
又,∴,即,
∴曲线C′的方程为.………………10分
22.【解析】将直线的极坐标方程化为直角坐标方程得;………………2分
将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程得.………………4分
因为直线与圆有且只有一个公共点,所以,即………………8分
解得或.………………10分
23.【解析】⑴设“选出的3人中恰2人选听《校园舞蹈赏析》”为事件,
则,
答:
选出的3人中恰2人选听《校园舞蹈赏析》的概率为.………………3分
⑵可能的取值为,
,,
,故.
所以的分布列为:
X
0
1
2
3
………………8分
所以的数学期望.………………10分
24.【解析】
(1)=
又,,………………3分
⑵当n=1时,,,
当n=2时,,,
当n=3时,,,………………4分
猜想:
当时,,………………5分
下面用数学归纳法证明:
证:
①当n=3时,由上知,,结论成立。
②假设n=k,时,成立,即
则当n=k+1,,
要证,即证明
即证明
即证明
即证明,显然成立。
∴时,结论也成立.
综合①②可知:
当时,成立。
综上可得:
当n=1时,;当n=2时,
当,时,………………10分
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