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植树问题方阵问题
2011年1月15日植树问题(方阵问题)
课堂讲解
1、方阵的概念:
横着排叫行,竖着排叫列,若行数与列数都相等,恰好排成一个正方形,这就是一个方队,这种方队也叫做方阵(亦叫乘方问题)。
在摆放的方阵中如果是实心的,我们叫它实心方阵;如果这个方阵是空心的,我们叫它空心方阵。
2、方阵的基本特点:
方阵中,里一层总比外一层的一边少2个物体,里一层物体的个数一定比个一层物体总个数少8个。
实心方阵中,物体个数二最外层的一边个数X最外层一边的个数;
(每边数一1)X4二每层数;每层数4-4+1=每边数
空心方阵中物体的个数二(最外层一边的个数一层数)X层数X4
3、方阵去掉行或列以后的人数变化:
去掉的行数和列
数
去掉的总数目
去行列人数
去掉一行一列
每边数X2-1
每边人数X(行数+列数)-(行数X列数)
去掉二行二列
每边数X(2+2)-
2X2
去掉三行三列
每边数X(3+3)-
3X3
每边人数
去掉四行四列
每边数X(4+4)-
(行列人数+行数X列数)4-(行数+列
4X4
数)
4、方阵中其它特性问题:
1、如果把最外圈形成的正方形叫第一层,再向里一圈叫第二层的话,会发现相邻的这两个正方形每边个数相差为2,相邻两层相差总个数为8。
2、每边人(或物)数和四周人(或物)数的关系:
四周人(或物)数二【每边人(或物)数-1】X4:
每边人(或物)数二四周人(或物)数宁4+1
3、中实方阵的总人数(或物)二每边人(或物)数X每边人(或物)数
4、观察中空方阵,我们不难发现方阵的基本特点:
中空方阵的总人(或物)数二(最外层每边人(或物)数一中空方阵的层数)X中空方阵的层数X4
课堂练习题
例题1:
学生排成12人一行共12行的一个队伍,如果去掉一行一列,共需要去掉多少人?
解:
因为根据方阵特点,去掉一行一列需要去掉“每边数X2-1”,即12X2-1=23人。
例题2:
小丁在围棋盘上摆一个方阵,其中二行二列是白子,其余都是黑子,黑子共有81枚,这个方阵共有多少枚棋子?
解:
可以画个图。
并且这是个特殊的方针问题,它去掉的另一边棋子是对齐的。
81枚黑子,则每边是9枚,所以黑棋每行梅列都是9枚,最上层的棋子数就是(9+2)=11(枚),那么这个方针共有棋子:
11X11=121(枚)。
11
10
9X9二81
例题3:
游行队伍中,少先队员在彩车周围围成每边两层的方阵,最外面一层每边15人,那么彩车周围共有少先队员多少人?
解:
这是个空心方阵。
因为根据方阵特点,每层人数二(每边数-1)X4,而两层之间人数相差8人。
所以答案为:
(15-1)X4X2-8=104人,如果有三层学生,那么答案为:
(13-1)X4X3-8X(1+2)=144人。
例题4:
有一队学生排成一个中空方阵,最外层有64人,最内层有32人,这队学生共有多少人?
解:
这是个空心方阵。
因为根据方阵特点,每层人数二(每边数-1)X4,而两层之间人数相差8人。
那么第二层人数是:
64-8=56人,第三层:
56-8=48人,第四层:
48-8二40人,第五层:
40-8=32人。
而最外层每边人数:
644-4+1=17
(人),第二层是17-2=15人。
第三层是:
15-2二13人,第四层是:
13-2二11人,第五层:
11-2二9人,
第•种方法:
第兀层:
9-2—7人,弟七层:
/-2二3人,第八层是:
5-2二3人,所以根据方阵特点可以这样做:
17X17-(24+16+8+1)=240(人)
第二种方法:
另外根据公式:
中空方阵的总人(或物)数二(最外层每边人(或物)数一中空方阵的层数)x中空方阵的层数X4
所以总人数二(17-5)X5X4=240人
第三种方法:
64+56+48+40+32二240(人)
例题5:
有一队学生如果排成三层中空方阵,则多10人,如果在中间空心部分接着增排一层乂少6人,问这队学生共有多少人?
解:
这是个空心方阵。
因为根据方阵特点,每层人数二(每边数-1)X4,而两层之间人数相差8人。
根据题意,最后少6人,得出增加的一层人数是16人
(10+6=16)o
第一种方法:
那么第四层每边人数:
164-4+1=5人,第三层每边人数:
5+2=7人,第二层每边人数:
7+2二9人,最外层每边人数:
9+2二11人。
那么总人数:
11X11-5X5+10=106(人);
第二种方法:
另外根据公式:
中空方阵的总人(或物)数二(最外层每边人(或物)数一中空方阵的层数)X中空方阵的层数X4
所以总人数二(11-4)X4X4-6=106人
第三种方法:
把每一层的人数相加,减去不足的6人。
16+24+32+40-6二106
(人)
例题6:
—方正形桃园,共10层,最里层共种了16棵桃树,若每颗桃树结桃60千克,这个桃园共结桃多少千克?
?
解:
这是个实心方阵,乂结合了植树问题。
最外层每边的种桃数:
(164-4+1)+2X(10-1)=23(棵),而最里层共种了16棵,即每边数:
16十4+1二5棵,那么还有一层没种。
即每边还可以种3棵。
第一种方法:
可以得出:
这个桃园共种了:
23X23-3X3二520(棵),那么棵结桃:
60X520=31200(千克)。
第二种方法:
另外根据公式:
中空方阵的总人(或物)数二(最外层每边人(或物)数一中空方阵的层数)X中空方阵的层数X4
所以总棵数二(23-10)X10X4=520(棵);60X520二31200(千克)。
当然也可以用比较复杂的办法,把每一层的数LI相加的办法来做,但实在有点太繁琐。
(2011年1月15B)植树问题(方阵)---课堂练习1
1、军训的学生进行列队表演,排成了一个10行10列的队伍,如果去掉1行1列,要去掉多少人?
2、小明在围棋上摆出了一正方形方阵,其中两行两列是白子,共有76枚,而其余是黑子,问这个方阵共有多少枚棋子?
3、手持鲜花的同学在一辆车的四周圉成了每边两层的方阵,最外面一层每边13人,彩车周围的同学有多少人?
4、有一队学生排成中心空的方阵,最外层是52人,最内层是28人,这队学生有多少人?
5、三年级学生组成一个正方形方阵,共13行,每行13人,后来由于服装不够,只好去掉两行两列,问这个方阵还有多少人?
6、小丁把棋子排成一个正方形方阵,如果在这个方阵中去掉横竖各一排,则这个方阵少了13枚棋子,那么这个方阵共有棋子多少枚?
7、在一个正方形的方阵中,其中两行两列都是男生,有84人,其余都是女生,问这个方阵共有学生多少人?
8、学生排成正方行列,如果这个队列横竖再增加一排,还需补充15人,问原来参加队列的学生有多少人?
9、一堆一分硬币排成方阵多余4枚,若正方形纵横两个方面各增加一层,则缺少9枚,问这堆硬币有多少枚?
10、小明用棋子排成一个四层空心方阵,最外层每边13枚,这个方阵共有多少棋子?
(2011年1月15B)植树问题(方阵)-一课堂练习1
1、军训的学生进行列队表演,排成了一个10行10列的队伍,如果去掉1行1列,要去掉多少人?
解:
因为根据方阵特点,去掉一行一列需要去掉“每边数X2-1”,即10X2-1=19人。
2、小明在围棋上摆出了一正方形方阵,其中两行两列是口子,共有76枚,而其余是黑子,问这个方阵共有多少枚棋子?
解:
根据下图,我们可以分别把两边平移,就变成了一个正方形,即最外层的棋子总数为76枚。
那么最外层的每边数:
76宁4+1二20(枚),那么这个方阵的总数为:
20X20=400(枚);
76
4
◄—
3、手持鲜花的同学在一辆车的四周圉成了每边两层的方阵,最外面一层每边13人,彩车周围的同学有多少人?
解:
根据方空心阵特点,总人数二(最外层每边人数-层数)X层数X4,所以彩车周围的学生数:
(13-2)X2X4=88(人);也可以用第二种方法,最外层每边人数为13人,那么最外层总人数为:
(13-1)X4二48人,第二层人数为:
48-8二40人,总数为:
48+40=88人。
4、有一队学生排成中心空的方阵,最外层是52人,最内层是28人,这队学生有多少人?
解:
根据方空心阵特点,相邻两层总人数人数相差8,所以,层数:
(52-28)8+1=4(层),因为最外层总人数为52人,所以每边的人数为:
52宁4+1二14
(人),因为总人数二(最外层每边人数-层数)X层数X4,所以这队学生数为:
(14-4)X4X4=160(人);
5、三年级学生组成一个正方形方阵,共13行,每行13人,后来由于服装不够,只好去掉两行两列,问这个方阵还有多少人?
解:
因为根据方阵特点,去掉两行两列,需要去掉“每边数X(2+2)-2X2”,那么这个方阵还有:
13X13-[13X(2+2)-2X2]=169-(52-4)=121人。
6、小丁把棋子排成一个正方形方阵,如果在这个方阵中去掉横竖各一排,则这个方阵少了13枚棋子,那么这个方阵共有棋子多少枚?
解:
根据下图,我们可以得出最外层每边的棋子数:
(13+1)4-2=7(枚),
因为交义点是公共点;那么这个方阵共有棋子:
7X7二49(枚);
7、在一个正方形的方阵中,其中两行两列都是男生,有84人,其余都是女生,问这个方阵共有学生多少人?
解:
根据下图,我们可以分别把两边平移,就变成了一个正方形,我们可以得出最外层的学生总人数为84人,那么最外层每边学生数:
84宁4+1二22(人),那么这个方阵共有学生:
22X22=484(人);
76
4
4—
8、学生排成正方行列,如果这个队列横竖再增加一排,还需补充13人,问原来参加队列的学生有多少人?
解:
因为根据图示,虚线是增加的一层,那么最外层(增加的)每边的人
数:
(15+1)-4-2=8人,因为有个交叉点。
那么原来方阵共有:
8X8-15=49
(人);
9、一堆一分硬币排成方阵多余4枚,若正方形纵横两个方面各增加一层,则
缺少9枚,问这堆硬币有多少枚?
解:
因为根据图示,虚线是增加的一层,那么最外层(增加的)每边的硬币数:
(4+9+1)4-2=7(枚),因为有个交义点。
那么这对硬币共有:
7X7-9二40
(枚);
10、小明用棋子排成一个四层空心方阵,最外层每边15枚,这个方阵共有多少棋子?
解:
根据方空心阵特点,总人数二(最外层每边人数-层数)X层数X4,那么这个方阵共有:
(15-4)X4X二176(枚)棋子。
(2011年1月15日)植树问题(方阵)一-课堂练习2
1、某公园把40盆花排成二层中空方阵,这一方阵外层每边摆多少盆花?
2、一队学生排成中空方阵,最外层的人数为44人,最内层的人数为28人,这一方阵共有多少人?
3、一方阵桃园共十层,最里层共种16棵桃树,若每棵桃树结桃60千克,这个桃园可结桃多少千克?
4、一个大型方阵,外层每边30人,内层每边10人,中间位置由16人表演,问这个方阵共有多少人?
5、有学生若干人,如列成三层中空方阵多9人,如中空部分增加两层则少
15人,问有学生多少人?
6、游行队伍中,手持鲜花的少先队员在一辆彩车四周围成了两边两层的方针,最外层每边13人,彩车周围的少先队员有多少人?
7、有一队学生排成一个中空的方阵,最外层52人,最内层28人,这队学生有多少人?
8、一些学生如果排成三层空心方阵,则多10人,如果在中间空心部分,接着增排一排则又少6人,问共有学生多少人?
(2011年1月150)植树问题(方阵)---课堂练习2
1、某公园把40盆花排成二层中空方阵,这一方阵外层每边摆多少盆花?
解:
根据方空心阵特点,总人数二(最外层每边人数-层数)X层数X4,那么最外层每边的花有:
404-24-4+2=7(盆)。
或者:
(40+8)4-24-4+1=7(盆)
2、一队学生排成中空方阵,最外层的人数为44人,最内层的人数为28人,这一方阵共有多少人?
解:
根据方空心阵特点,相邻两层总人数人数相差8,所以,层数:
(44-
28)十8+1二3(层),因为最外层总人数为44人,所以最外层每边的人数为:
44^4+1=12(人),因为总人数二(最外层每边人数-层数)X层数X4,所以这队学生数为:
(12-3)X3X4二108(人);
3、一方阵桃园共十层,最里层共种16棵桃树,若每棵桃树结桃60千克,这个桃园可结桃多少千克?
解:
根据方阵特点,相邻的这两个正方形每边个数相差为2,最里层每边有桃树:
164-4+1=5(棵),那么最外层每边有桃树:
5+2(10-1)=23(棵),因为总人数二(最外层每边人数-层数)X层数X4,所以这个桃园共有桃树:
(23-10)X10X4=520(棵);共结桃:
60X520二31200(千克)
4、一个大型方阵,外层每边30人,内层每边10人,中间位置由16人表演,问这个方阵共有多少人?
解:
根据方空心阵特点,相邻两层总人数人数相差8,最外层总人数为:
(30-1)X4=116(人),最内层总人数为:
(10-1)X4二36(人),那么层数:
(116-36)十8+1=11(层),因为:
总人数二(最外层每边人数-层数)X层数X4,所以这个方阵共有:
(30-11)X11X4+16=852(人);
5、有学生若干人,如列成三层中空方阵多9人,如中空部分增加两层则少15人,问有学生多少人?
有多少人?
解:
根据题意,增加两层少15人,那么增加的两层总人数为:
9+15二24
(人),那么增加两层中的最外层为:
(24+8)一2二16(人)。
根据方空心阵特点,相邻两层总人数人数相差8,那么这个中空方阵最外层的人数为:
16+8X(4-1)=40(人),最外层每边的人数:
404-4+1=11(人),因为:
总人数二(最外层每边人数-层数)X层数X4,所以这个方阵共有:
(11-3)X3X4+9=105(人);
6、游行队伍中,手持鲜花的少先队员在一辆彩车四周围成了两边两层的方针,最外层每边13人,彩车周围的少先队员有多少人?
解:
根据方空心阵特点,总人数二(最外层每边人数-层数)X层数X4,所以彩车周围的学生数:
(13-2)X2X4=88(人);也可以用第二种方法,最外层每
边人数为13人,那么最外层总人数为:
(13-1)X4二48人,第二层人数为:
48-
8二40人,总数为:
48+40=88人。
7、有一队学生排成一个中空的方阵,最外层52人,最内层28人,这队学生有多少人?
解:
根据方空心阵特点,相邻两层总人数人数相差8,所以,层数:
(52-
28)十8+1二4(层),因为最外层总人数为52人,所以每边的人数为:
52十4+1二14
(人),因为总人数二(最外层每边人数-层数)X层数X4,所以这队学生数为:
(14-4)X4X4=160(人);
8、一些学生如果排成三层空心方阵,则多10人,如果在中间空心部分,接着增排一排则乂少6人,问共有学生多少人?
解:
根据题意,增排一层少6人,那么增加的最内层总人数为:
10+6二16
(人),根据方空心阵特点,相邻两层总人数人数相差8,那么这个中空方阵最外层的人数为:
16+8X(4-1)二40(人),最外层每边的人数:
40宁4+1=11(人),因为:
总人数二(最外层每边人数-层数)X层数X4,所以这个方阵共有:
(11-3)X3X4+10二106(人);
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