射影面积法求二面角.docx
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射影面积法求二面角
s射影
射影面积法(cosq二
凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积
的都可利用射影面积公式(
cos
)求出二面角的大小。
s斜
例1、如图,在底面是一直角梯形的四棱锥S-ABCD中,
AD//BC,ZABC=90,SA丄平面ABC,SA=AB=BC=1,
1
AD=2.求面SCD与面SAB所成的角的大小。
解法1:
可用射影面积法来求,
这里只要求出S^scd与S^sab即可,
故所求的二面角B应满足cos=—1
__
=111」=n^=322
例2.(2008北京理)如图,在三棱锥PABC中,
ACBC2,ACB90o,
APBPAB,PCAC.
(I)求证:
PCAB;
(n)求二面角BAPC的大小;
C
解:
(I)证略
(n)QACBC,APBP,△APC◎△BPC.
又PCAC,PCBC•
又ACB90°,即ACBC,且ACIPCC,
BC平面PAC.
取AP中点E•连结BE,CE.
QABBP,BEAP.
QEC是BE在平面PAC内的射影,
CEAP.
•••△人。
£是厶ABE在平面ACP内的射影,
J3
面角BAPC的大小为arccos——
3
练习1:
如图5,E为正方体ABCD—A1B1C1D1的
棱CC1的中点,求平面AB1E和底面A1B1C1D1所成
锐角的余弦值•
2
(答案:
所求二面角的余弦值为cose‘).
3
图5
BAP.
BEF,平面PBC平面BEF.
2.女口图一,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是矩形,PA平面ABCD,
APAB2,BC22,E,F分别是AD,PC的中点.
⑴证明:
PC平面BEF;
(2)求平面BEF与平面BAP夹角的大小.题
(1)解略;题
(2)中平面BEF与平面BAP夹角即为平面BEF与平面BAP所成的锐二面角.
方法一:
垂面法
在图中找到或作出一个与二面角的两个半平面均垂直的平面,此平面截得的图形便是二面角的平面角•
如图一:
QPA平面ABCD,BC平面ABCD,PABC.
又QBCAB,ABIPAA,BC平面BAP.
那么这两个平行平面与第三个平面所成的二面
方法二:
平移平面法
如果两平行平面同时与第三个平面相交,
角相等或互补.利用此结论可以平移某一平面到合适的位置以便作出二面角的平面角如图二:
取BC的中点G,连接FG,EG.
QE,F分别是AD,PC的中点,EGPAB,FGPPB.
又QFGIEGG,ABIPBB,
平面EFGP平面BAP.
二面角BEFG的大小就是平面BEF与平面BAP夹角的大小.
可以证明BFG为二面角BEFG的平面角,并求出其大小为一.
4
方法三:
射影法
S'
利用公式cos,其中S表示二面角的一个半平面内某个多边形的面积,S表示
S
如图三:
取PB的中点H,连接FH,AH,
所以
3.已知ABC是正三角形,PA平面ABC且PA=AB=a,求二面角A-PC-B的大小。
QF为PC中点,FHPBC,AEPBC.
由解法一知,BC平面BAP,
FH平面BAP,AE平面BAP,
点F、E在平面BAP内的射影分别为H、A.
BEF在平面BAP上的射影为BAH.
可以证明BEF和BAH均为直角三角形•
QHFPBC,AEPBC,HFBC1BC,2
四边形HFEA为平行四边形,EFAE.
B
[思维]二面角的大小是由二面角的平面角
来度量的,本题可利用三垂线定理(逆)来作
平面角,还可以用射影面积公式或异面直线上两点间距离公式求二面角的平面角。
解1:
(三垂线定理法)
取AC的中点E,连接BE,过E做EFPC,连接BF
PA平面ABC,PA平面PAC
平面PAC平面ABC,平面PAC平面ABC二ACBE平面PAC
由三垂线定理知BFPC
BFE为二面角A-PC-B的平面角
设PA=1,E为AC的中点,BE=子,EF=¥
解2:
(三垂线定理法)
取BC的中点E,连接AE,PE过A做AF
AB=AC,PB=PC
AEBC,PEBC
BC平面PAE,BC平面PBC
PE,
平面PAE平面PBC,平面PAE平面PBC=PE
由三垂线定理知AMPC
FMA为二面角A-PC-B的平面角
设PA=1,AM=—,AF=ap.ae
2PE
解3:
(投影法)
过B作BEAC于E,连结PE
PA平面ABC,PA平面PAC
图3
FMA=argsin
平面PAC平面ABC,平面PAC平面ABC二AC
BE平面PAC
PEC是PBC在平面PAC上的射影
设PA=1,贝SPB=PC=2,AB=1
S1S甘
SPECSPBC
44
由射影面积公式得,
COS塞7
SPBC7
argcos
4.在单位正方体A1B1C1D1
ABCD中,
求二面角AAiCB的度数。
A
三垂线法
利用三垂线定理或逆定理构造出二面角的平面角,进而求解。
解法一•作AOAC,取AB的中点M,
连结OM.AM.
AMAB
ABIBCB
60o
二•射影法
平面角)直接求解。
解法二、取AC的中点G,连结BG
BG
AC
BG
AA
ACI
AA
A
BG
平面AAC
VABC在平面A,AC上的射影为VAQC
SRtVA,BC
SvAGCSRtVAAG
1
COS-
2
从而二面角AA1CB的大小为60o
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- 射影 面积 二面角