高考大题专项练一函数与导数.docx
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高考大题专项练一函数与导数
函数与导数
1.(2016湖北武汉调研)已知函数f(x)=ax2+bx-lnx(a>0,b∈R).
(1)设a=1,b=-1,求f(x)的单调区间;
(2)若对任意的x>0,f(x)≥f
(1),试比较lna与-2b的大小.
解
(1)由f(x)=ax2+bx-lnx,x∈(0,+∞),
得f'(x)=.
∵a=1,b=-1,
∴f'(x)=(x>0).
令f'(x)=0,得x=1.
当0 当x>1时,f'(x)>0,f(x)单调递增. ∴f(x)的单调递减区间是(0,1),f(x)的单调递增区间是(1,+∞). (2)由题意可知,f(x)在x=1处取得最小值,即x=1是f(x)的极值点, 故f' (1)=0,可得2a+b=1,即b=1-2a. 令g(x)=2-4x+lnx(x>0),则g'(x)=. 令g'(x)=0,得x=. 当0 当x>时,g'(x)<0,g(x)单调递减, 因此g(x)≤g=1+ln=1-ln4<0, 即g(a)<0,即2-4a+lna=2b+lna<0, 故lna<-2b.〛 2.(2016贵州贵阳监测改编)已知函数f(x)=(a<0). (1)当a=-1时,求函数f(x)的极值; (2)若函数F(x)=f(x)+1没有零点,求实数a的取值范围. 解 (1)当a=-1时,f(x)=,f'(x)=. 由f'(x)=0,得x=2. 当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表: x (-∞,2) 2 (2,+∞) f'(x) - 0 + f(x) ↘ 极小值 ↗ 所以函数f(x)的极小值为f (2)=-,函数f(x)无极大值. (2)F'(x)=f'(x)=. 因为a<0,所以当x变化时,F'(x),F(x)的变化情况如下表: x (-∞,2) 2 (2,+∞) F'(x) - 0 + F(x) ↘ 极小值 ↗ 若使函数F(x)没有零点,当且仅当F (2)=+1>0,解得a>-e2,所以此时-e2 故实数a的取值范围为(-e2,0).〚〛 3.(2016山西太原三模改编)函数f(x)=+ax+2lnx(a∈R)在x=2处取得极值. (1)求实数a的值及函数f(x)的单调区间; (2)若方程f(x)=m有三个实根,求m的取值范围. 解 (1)由已知f'(x)=x+a+,f' (2)=2+a+=0,故a=-3, 所以f'(x)=x-3+ =,x>0, 由f'(x)>0,得0 由f'(x)<0,得1 所以函数f(x)的单调递增区间是(0,1),(2,+∞),单调递减区间是(1,2). (2)由 (1)可知极小值f (2)=2ln2-4,极大值为f (1)=-. 因为方程f(x)=m有三个实根,所以2ln2-4 4.(2016河南郑州一中考前冲刺卷三)已知函数f(x)=lnx+ax+2(a∈R)在x=时取得极值. (1)求a的值; (2)若F(x)=λx2-3x+2-f(x)(λ>0)有唯一零点,求λ的值. 解 (1)依题意,得f'(x)=+a,f'=2+a=0.所以a=-2. 经检验,a=-2满足题意. (2)由 (1)知f(x)=lnx-2x+2,则F(x)=λx2-lnx-x. 所以F'(x)=2λx--1=. 令t(x)=2λx2-x-1. 因为λ>0,所以Δ=1+8λ>0. 方程2λx2-x-1=0有两个异号的实根,设两实根为x1,x2,且x1<0,x2>0,因为x>0,所以x1应舍去. 所以F(x)在(0,x2)上单调递减,在(x2,+∞)上单调递增, 且当x→0时,F(x)→+∞,当x→+∞时,F(x)→+∞. 所以当x=x2时,F'(x2)=0,F(x)取得最小值F(x2). 因为F(x)有唯一零点,所以F(x2)=0. 所以 所以F(x2)=λ-lnx2-x2=-lnx2-x2=-lnx2-=0. 令p(x)=-lnx-, 则p'(x)=-<0(x>0). 所以p(x)在(0,+∞)上单调递减. 注意到p (1)=0,所以x2=1.所以λ=1.〚〛 5.(2016河北张家口考前模拟)设函数f(x)=ax+lnx,g(x)=a2x2. (1)当a=-1时,在函数y=f(x)的图象上求一点P,使得点P到直线x-y+3=0的距离最小,求出距离的最小值; (2)是否存在正实数a,使f(x)≤g(x)对一切正实数x都成立,若存在,求出a的取值范围,若不存在,请说明理由. 解 (1)当a=-1时,f(x)=-x+lnx,定义域为(0,+∞), f'(x)=-1+, 显然x∈(0,1),f'(x)>0;x∈(1,+∞),f'(x)<0. 于是f(x)在(0,1)内是增函数,在(1,+∞)内是减函数,故f(x)max=f (1)=-1. 易知直线y=x+3的斜率k=1, 设f(x)的切线斜率为1时,切点P(x0,y0)距离y=x+3最近. 由k==1,可知x0=, 则y0=-+ln, 故P. 因此,d=. (2)假设存在正实数a满足题中条件. 设F(x)=f(x)-g(x)(x>0),即F(x)=ax+lnx-a2x2, 则F'(x)=a+-2a2x= =(x>0), 令F'(x)=0,得x=. 于是x∈时,F'(x)>0;x∈时,F'(x)<0. 故F(x)在内是增函数,在内是减函数. 故F(x)max=F=a·+ln-a2·=1-lna-1=-lna. 要使f(x)≤g(x)对一切正实数x都成立,只需F(x)max≤0,即-lna≤0,即a≥1. 故存在正实数a∈[1,+∞),使f(x)≤g(x)恒成立.〚〛 6.定义在实数集上的函数f(x)=x2+x,g(x)=x3-2x+m. (1)求函数f(x)的图象在x=1处的切线方程; (2)若f(x)≥g(x)对任意的x∈[-4,4]恒成立,求实数m的取值范围. 解 (1)∵f(x)=x2+x,∴当x=1时,f (1)=2, ∵f'(x)=2x+1,∴f' (1)=3, ∴所求切线方程为y-2=3(x-1),即3x-y-1=0. (2)令h(x)=g(x)-f(x)=x3-x2-3x+m, 则h'(x)=(x-3)(x+1). ∴当-4 当-1 当3 要使f(x)≥g(x)恒成立,即h(x)max≤0, 由上知h(x)的最大值在x=-1或x=4处取得,而h(-1)=m+,h(4)=m-, 故m+≤0,即m≤-, 故实数m的取值范围为.〚 7.已知函数f(x)=ax2-(2a+1)x+2lnx(a∈R). (1)求f(x)的单调区间; (2)设g(x)=x2-2x,若对任意x1∈(0,2],均存在x2∈(0,2],使得f(x1) 解f'(x)=ax-(2a+1)+(x>0). (1)f'(x)=(x>0). ①当a≤0时,x>0,ax-1<0,在区间(0,2)上,f'(x)>0,在区间(2,+∞)上,f'(x)<0,故f(x)的单调递增区间是(0,2),单调递减区间是(2,+∞). ②当02,在区间(0,2)和上,f'(x)>0,在区间上,f'(x)<0,故f(x)的单调递增区间是(0,2)和,单调递减区间是. ③当a=时,f'(x)=,故f(x)的单调递增区间是(0,+∞). ④当a>时,0<<2,在区间和(2,+∞)上,f'(x)>0,在区间上,f'(x)<0, 故f(x)的单调递增区间是和(2,+∞),单调递减区间是. (2)对任意x1∈(0,2],均存在x2∈(0,2],使得f(x1) 由题意可知g(x)max=0,由 (1)可知, ①当a≤时,f(x)在(0,2]上单调递增. 故f(x)max=f (2)=2a-2(2a+1)+2ln2 =-2a-2+2ln2, 所以-2a-2+2ln2<0,解得a>ln2-1. 故ln2-1 ②当a>时,f(x)在上单调递增,在上单调递减, 故f(x)max=f-(2a+1)+2ln=--2-2lna<0 .故a>时满足题意. 综上,a的取值范围为(ln2-1,+∞).〚〛 8.(2016江苏,19)已知函数f(x)=ax+bx(a>0,b>0,a≠1,b≠1). (1)设a=2,b=. ①求方程f(x)=2的根; ②若对于任意x∈R,不等式f(2x)≥mf(x)-6恒成立,求实数m的最大值; (2)若01,函数g(x)=f(x)-2有且只有1个零点,求ab的值. 解 (1)因为a=2,b=,所以f(x)=2x+2-x. ①方程f(x)=2,即2x+2-x=2,亦即(2x)2-2×2x+1=0, 所以(2x-1)2=0,于是2x=1,解得x=0. ②由条件知f(2x)=22x+2-2x=(2x+2-x)2-2=(f(x))2-2. 因为f(2x)≥mf(x)-6对于x∈R恒成立,且f(x)>0, 所以m≤对于x∈R恒成立. 而=f(x)+ ≥2=4,且=4, 所以m≤4,故实数m的最大值为4. (2)因为函数g(x)=f(x)-2有且只有1个零点, 而g(0)=f(0)-2=a0+b0-2=0, 所以0是函数g(x)的唯一零点. 因为g'(x)=axlna+bxlnb, 所以g'(x)=0有唯一解x0=lo. 令h(x)=g'(x),则h'(x)=(axlna+bxlnb)'=ax(lna)2+bx(lnb)2, 从而对任意x∈R,h'(x)>0, 所以g'(x)=h(x)是(-∞,+∞)上的增函数. 于是当x∈(-∞,x0)时,g'(x) 当x∈(x0,+∞)时,g'(x)>g'(x0)=0. 因而函数g(x)在(-∞,x0)上是减函数,在(x0,+∞)上是增函数. 下证x0=0. 若x0<0,则x0<<0,于是g 又g(loga2)=-2>-2=0,且函数g(x)在以和loga2为端点的闭区间上的图象不间断,所以在和loga2之间存在g(x)的零点,记为x1. 因为0 若x0>0,同理可得,在和logb2之间存在g(x)的非0的零点,矛盾.因此,x0=0. 于是-=1,故lna+lnb=0,所以ab=1.〚
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