中考数学专题平行线和三角形.docx

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中考数学专题平行线和三角形

中考核心考题---精典专题四、五平行线和三角形

一、基础知识

1.直线三句话：

两点确定一条直线，两点之间线段最短；过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

2.平行线的五种判定方法？

5-1-2

3.一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角的关系是；

同一平面内，一个角的两边和另一个角的两边互相垂直，则这两个角的关系是。

4.三角形的分类：

（1）按边分类

（2）按角分类

5.勾股定理的逆定理的拓展：

6.三角形的三边关系：

|两边之差|<第三边<两边之和。

7.三角形的内角和外角:

内角和为

，（如何证明？

）外角和为

，任意一个外角等于不相邻的内角和，外角大于不相邻的内角。

8.三角形的三线：

中线、高线、角平分线均为线段，且同类三线所在的直线相交于一点。

9.几个常见的规律性结论：

平面内n条直线最多交点个数，n个点最多画直线条数

，n边形的对角线为

条，n条直线分平面最多为

部分，n条直线交于一点，对顶角有n（n-1）对。

二、易混易错结论

平行线

垂线

过一点作已知直线的

0或1条

同一平面内，有且仅有一条

两条直线和第三条直线的关系

则两条直线平行

在同一平面内，这两条直线平行

一个角的两边和另一个角的两边关系

两角相等或互补

在同一平面内，相等或互补

三、三个经典图形（M型、子弹头型、飞鸟型）

1.已知AB||CD，根据平行线的性质易知图

（1）的∠1+∠2=180

；过E作EF||AB,可知图

（2）中的∠1+∠2+∠3=360

；根据上述方法则图（3）中的∠1+∠2+∠3+∠4=，图（4）中的∠1+∠2+…+∠n=。

2.直线AC||BD,连结AB，直线AC、BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：

线上各点不属于任何部分。

当动点P落在某个部分时，连结PA、PB构成∠PAC、

∠PBD、∠APB三个角。

（1）当动点P落在第①部分时，求证：

∠APB=∠PAC+∠PBD;

（2）当动点P落在第②部分时，求证：

∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立？

请画出图形，说明理由;

（3）当动点P落在第③、④部分时，且在直线AB右侧时，直接回答∠PAB、∠PAC、∠PBD的关系;

3.直线L1||L2,直线L3和直线L1,L2分别交于点C和D,P为直线L3上的一点,E,F分别是直线L1,L2上的定点.

（1）若点P在线段AB（A,B两点除外）上运动时,问∠1,∠2,∠3之间是什么关系?

这种关系是否发生变化?

（2）若点P在线段AB之外时,∠1,∠2,∠3的关系又怎样?

说明理由

四、与角有关的考题

例1.

（1）（浙江）一副三角板如图所示叠放在一起，则图中的∠1=度

（2）右上图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=

[练习1]三角形的一个内角大于另外两个内角的和，则此三角形的形状是（）

A锐角三角形B钝角三角形C直角三角形D无法确定

[练习2]∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=

（3）已知：

图

（1）是五角星形，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数；

例2（绵阳）如图，AC||BD,AB与CD相交于O，AO=AC,

A=480，

D=

【练习】1.（内江）将一副直角三角板如图1放置，使含30°角的三角板的直角边和含45°角的三角板一条直角边在同一条直线上，则∠1的度数为（）A.75°B.65°C.45°D.30°

2.在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE＝______.

3.（达州）如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E．若AB=10，BC=16，则线段EF的长为（　　）A.2B．3C．4D．5

4.（2019成都）将等腰直角三角形纸片和矩形纸片叠放在一起，若∠1=300，则∠2的度数为（）

A100B150C200D300

（4小题）

（5小题）

5.（2019年绵阳）如图，AB||CD，∠ABD的平分线和∠BDC的平分线交于点E，则∠1+∠2=

五、三角形的角平分线常见结论

1.已知在三角形中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点D，求∠BDC与∠A的关系。

2.如图所示，∠ABC的平分线和∠ACB的外角平分线交于点E，求∠E与∠A的关系。

3.如图所示，∠ABC和∠ACB的两角外角平分线相交于点P，求∠P与∠A的关系。

4.如图所示,已知∠1=∠2,∠3=∠4,∠C=32°,∠D=28°,求∠P的度数.

【练习】1.、如图，在△ABC中，AD为∠BAC的角平分线，∠C＞∠B，E为AD上一点，且EF⊥BC于F。

（1）试探索∠DEF与∠B，∠C的大小关系；

（2）当带你E在AD的延长线上时，其他条件不变，你在

（1）中探索得到的结论是否还成立？

并说明理由。

2.如图，在△ABA1中，∠B=20°，AB=A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2=A1C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3=A2D；…，按此做法进行下去，∠An的度数为　_________　．

【例题1】问题引入：

【练习】1.如图，已知∠MON=90°，点A、B分别在射线ON、OM上运动，∠OAB的角平分线与△OBA的外角∠ABM的平分线交于点C，试问：

∠ACB的大小是否变动？

说明你的结论。

2.△ABC中，∠ACB>90°，AE平分∠BAC，AD⊥BC交BC的延长线于D点，则∠DAE，∠ACB，∠B之间存在某种等量关系，试写出这种等量关系，并说明理由.

六、三角形常见四大辅助线和动态问题

1.等腰三角形“三线合一”2.角平分线------对称做线3.中线------倍长中线法4.线段和差—截长补短

1、

中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围。

2.如图，在△ABC中，AD为BC上的中线，E为AC的一点，BE与AD交于点F，若AE=EF．求证：

AC=BF．

3.如图，已知在△ABC中，∠A=90°，AB=AC,D为AC的中点，AE⊥BD于点E，延长AE交BC于点F.求证：

∠ADB=∠CDF.

4.如图所示，△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，

以点D为顶点作一个角度为60°的∠MDN，角的两边分别交AB、AC边于

M、N两点，连接MN。

探究：

线段BM、MN、NC长度之间的关系，并加以证明。

5.如图①，在△ABC中，AB=AC，BE⊥AC于E，D为BC中点，过D作DF⊥AC，DG⊥AB。

（1）证明：

BE=DF+DG；

（2）如图②，若D点在BC上滑动（不与B、C重合），上述结论成立吗？

（3）若D在BC的延长线上，如图③，结论成立吗？

若成立，证明你的结论；若不成立，探究BE、DF、DG之间有什么关系？

【例题】问题背景：

如图1:

在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=120∘,∠B=∠ADC=90∘.E,F分别是BC,CD上的点。

且∠EAF=60∘.探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系。

小王同学探究此问题的方法是,延长FD到点G.使DG=BE.连结AG,先证明△ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是___；

探索延伸：

如图2,若在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180∘.E,F分别是BC,CD上的点,且∠EAF=1/2∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；

实际应用：

如图3,在某次军事演习中,舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30∘的A处,舰艇乙在指挥中心南偏东70∘的B处,并且两舰艇到指挥中心的距离相等,接到行动指令后,舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进,舰艇乙沿北偏东50∘的方向以80海里/小时的速度前进.1.5小时后,指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E,F处,且两舰艇之间的夹角为70∘，试求此时两舰艇之间的距离。

【练习】如图1，△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC，且AC=BC；△EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF=FP。

（1）在图1中，请你通过观察测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；

（2）将△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连结AP，BQ。

猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；

（3）将△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连结AP，BQ，你认为

（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？

若成立，给出证明；若不成立，请说明理由。

七．三角形中的分类讨论和拓展

【试一试】

1.一等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成15cm和18cm两部分，则这个等腰三角形的底边长是.

2.等腰三角形的一个角是800，则它的顶角度数是（）A800B800或200C800或500D200

3.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30o，则顶角的度数为（）

（A）60o．（B）120o．（C）60o或150o．（D）60o或120o．

例1.直角三角形三边长分别为x,x+1,5,则△ABC的周长是。

练习

（1）直角三角形中，已知两边的长分别为3和4，则第三边的平方为

（2）已知9,a,15为一组勾股数,则a=

例2.（2017绵阳）

【练习】（2018绵阳）

A√2B3-√2C√3-1D3-√3

例3.（2019绵阳）如图，△ABC,△BDE都是等腰直角三角形，BA=BC,BD=BE,AC=4,DE=2√2，将△BDE绕点B逆时针方向旋转后得△BD,E,,当点E，恰好落在线段AD,上时，则CE,=

【练习1】（达州）

[练习2]（2016年绵阳）.如图，点O是边长为4

的等边△ABC的内心，将△OBC绕点O逆时针旋转30°得到△OB1C1，B1C1交BC于点D，B1C1交AC于点E，则DE=　 . 

例4.（2016绵阳）如图，△ABC中AB=AC=4，∠C=72°，D是AB中点，点E在AC上，DE⊥AB，则cosA的值为（　　）A.

 B.

 C.

  D.

【练习】1.

2.（内江）如图所示，已知点C（1，0），直线y＝－x＋7与两坐标轴分别交于A，B两点，D，E分别是AB，OA上的动点，则△CDE周长的最小值是______.

3.（2018年绵阳）

八、平面和立体图中的最短路径

【1.平面图形中设计最短路径】

【练习】

1.一束光线与水平面成

的角度照射地面，现在地面AB上支放一个平面镜CD，使这束光线经过平面镜反射后成水平光线，则平面镜CD与地面AB所成角

的度数是（）

A

B

C

D

2.如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB=

．试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB=（　　）

A．

6

B．

8

C．

10

D．

12

【2.立体图形中的最短路线】

例1.（圆柱体中的最短路径）有一圆柱形的油罐，如图，要从点A起环绕油罐一圈建梯子，正好到A点的正上方B点，若油罐底面周长是12m，高是5m，问梯子最短是多少米？

2.（长方体中的最短路线）一蚂蚁如果要沿长方体的表面积从A到C，那么沿那条路线走最近，请画出图形，并求出最短路线长，长方体的长为2cm,1cm，4cm.

【当堂训练】

1.（绵阳，3分）如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线BE，CD相交于点F，∠ABC=42°，∠A=60°，

则∠BFC=（　　）A.118°B.119°C.120°D．121°

2.（绵阳，3分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠CBD=90°，BC=4，BE=ED=3，AC=10，则四边形ABCD的面积为

3.（绵阳，3分）如图，AB//CD，∠CDE=119º，GF交∠DEB的平分线EF于F，∠AGF=130º，

则∠F=       。

（4题）（5题）

4.（成都，4分）如下图，直线m∥n，△ABC为等腰三角形，∠BAC=90°，则∠1=45

度．

5.（成都，4分）如图，在▱ABCD中，AB=

，AD=4，将▱ABCD沿AE翻折后，点B恰好与点C重合，则折痕AE的长为         ．

2.（2017绵阳）

6.如图，OP是

MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形，请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：

1.如图2，在

ABC中，

ACB是直角，

B=

AD,CE分别是

的平分线，AD,CE相交于点F，请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；

2.如图3，在

中，如果

ACB不是直角，而

（1）中的其他条件不变，请问，你在

（1）中所得结论是否仍然成立？

若成立，请证明，若不成立，请说明理由。