人教版七年级上册数学复习总结.docx
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人教版七年级上册数学复习总结
人教版七年级上册数学
第一章 有理数
(一)正负数
1、正数:
大于0的数。
2、负数:
小于0的数。
3、0即不是正数也不是负数。
4、正数大于0,负数小于0,正数大于负数。
(二)有理数
1、有理数:
由整数和分数组成的数。
包括:
正整数、0、负整数,正分数、负分数。
可以写成两个整之比的形式。
(无理数是不能写成两个整数之比的形式,它写成小数形式,小数点后的数字是无限不循环的。
如:
π)
2、整数:
正整数、0、负整数,统称整数。
3、分数:
正分数、负分数。
(三)数轴
1、数轴:
用直线上的点表示数,这条直线叫做数轴。
(画一条直线,在直线上任取一点表示数0,这个零点叫做原点,规定直线上从原点向右或向上为正方向;选取适当的长度为单位长度,以便在数轴上取点。
)
2、数轴的三要素:
原点、正方向、单位长度。
3、相反数:
只有符号不同的两个数叫做互为相反数;0的相反数还是0;互为相反的两个数位于数轴上原点的两边,离开原点的距离相等。
4、绝对值:
在数轴上,一个数所对应的点与原点的距离叫该数的绝对值。
显然有:
正数的绝对值是它本身;负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0。
5、倒数:
如果a与b是非零的有理数,并且有a×b=1,我们就说a与b互为倒数。
有了倒数的概念后,有理数的除法运算就可以转化为乘法运算。
(四)有理数的大小比较
(1)正数都大于零,负数都小于零,即负数<零<正数;
(2)两个正数,绝对值大的数较大;
(3)两个负数,绝对值大的数反而小;
(4)在数轴上表示的有理数,右边的数总比左边的大;
(五)有理数的加减法
1、先定符号,再算绝对值。
2、加法运算法则:
同号相加,到相同符号,并把绝对值相加。
异号相加,取绝对值大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
互为相反数的两个数相加得0。
一个数同0相加减,仍得这个数。
3、加法交换律:
a+b=b+a两个数相加,交换加数的位置,和不变。
4、加法结合律:
(a+b)+c=a+(b+c)三个数相加,先把前两个数相加,或者先把后两个数相加,和不变。
5、a−b=a+(−b) 减去一个数,等于加这个数的相反数。
注意:
一切加法和减法运算都可以统一成加法运算。
(六)有理数乘法(先定积的符号,再定积的大小)
1、同号得正,异号得负,并把绝对值相乘。
任何数同0相乘,都得0。
2、乘积是1的两个数互为倒数。
3、乘法交换律:
ab=ba
4、乘法结合律:
(ab)c=a(bc)5、乘法分配律:
a(b+c)=ab+ac
(七)有理数除法
1、先将除法化成乘法,然后定符号,最后求结果。
2、除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数。
3、两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除,
0除以任何一个不等于0的数,都得0。
(八)乘方
1、求n个相同因数的积的运算,叫做乘方。
写作an 。
(乘方的结果叫幂,a叫底数,n叫指数)
2、负数的奇数次幂是负数,负数的偶次幂是正数;
0的任何正整数次幂都是0。
3、同底数幂相乘,底不变,指数相加;同底数幂相除,底不变,指数相减。
(九)有理数的加减乘除混合运算法则
1、先乘方,再乘除,最后加减。
2、同级运算,从左到右进行。
3、如有括号,先做括号内的运算,按小括号、中括号、大括号依次进行。
(十)、值得注意的几个问题
1、数的范围扩大到有理数后,一定要注意考虑负数。
如不能认为“最小的整数是零”。
2、有理数都可以用数轴上的点表示;但数轴上的点不都表示有理数。
3、单独的一个数或字母,省略的指数是“1”,而不是零。
4、对负数或分数进行乘方运算要注意加括号。
如当a=-3时,a2=(-3)2=9;而不是a2=-32=-9。
5、有理数的运算要特别注意符号。
(十一)科学记数法:
是指任何数记成a×10n的形式。
[基础练习]
1.☆-5的相反数是;-(-8)的相反数是;-[+(-6)]=
0的相反数是;a的相反数是;
的相反数的倒数是__
2.☆若a和b是互为相反数,则a+b=()
A.-2aB.2bC.0D.任意有理数
3.★
(1)如果a=-13,那么-a=______;
(2)如果-a=-5.4,那么a=______;
(3)如果-x=-6,那么x=______;(4)-x=9,那么x=______.
4.★★已知a、b都是有理数,且|a|=a,|b|=-b、,则ab是( )
A.负数; B.正数; C.负数或零; D.非负数
【任一个有理数a的绝值】用式子表示就是:
(1)当a是正数(即a>0)时,
∣a∣=;
(2)当a是负数(即a<0)时,
∣a∣=;
(3)当a=0时,∣a∣=.
四、【绝对值】一般地,数轴上表示数a
的点与原点的叫做数a的绝对值,
记作∣a∣.
一个正数的绝对值是;
一个负数的绝对值是它的;
0的绝对值是.
[基础练习]
1.☆—2的绝对值表示它离开原点的距离是个单位,记作.
2.☆|-8|=。
-|-5|=。
绝对值等于4的数是______。
3.☆绝对值等于其相反数的数一定是()A.负数B.正数C.负数或零D.正数或零
4.★
,则x=;
,则x=
5.★如果
,则a的取值范围是()A.a>OB.a≥OC.a≤OD.a<O.
6.★★如果
,则
=,
=.
7.★★绝对值不大于11的整数有()A.11个B.12个C.22个D.23个
五、【有理数的运算】
有理数加减法法则·
先定符号,再计算,同号相加不变号;异号相加“大”减“小”,符号跟着“大数”跑;
减负加正不混淆。
有理数乘除法法则·
同号得,异号得,绝对值相乘(除)。
求几个相同因数的积的运算,叫做有理数的乘方。
即:
an=aa…a(有n个a)
[基础练习]
1☆从运算上看式子an,可以读作 ;从结果上看式子an可以读作 .
2★33=;
=;-52=;22的平方是;
3★下列各式正确的是()
A.-52=(-5)2B.(-1)2013=-2013C.(-1)2013-(-1)=0D.(-1)99-1=0
4★★下列说法正确的是()
A.如果
,那么
B.如果
,那么
C.如果
,那么
D.如果
,那么
5★在2+32×(-6)这个算式中,存在着种运算.请你们讨论、交流,上面这个式子应该先算、再算、最后算.
6▲有理数的运算:
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
⑨
⑩
7★★已知
,求
的值。
8★★某大楼地上共有12层,地下共有4层,每层高2.8米,请用正负数表示这栋楼每层的楼层号,某人乘电梯从地下3层升至地上7层,电梯一共上了多少米?
五、【科学记数法】【近似数及精确度】
把一个大于10的数记成a×10n的形式(其中a是整数数位只有一位的数),叫做科学记数法.
[基础练习]
1☆用科学记数数表示:
1305000000=;-1020=.
2☆水星和太阳的平均距离约为57900000km用科学记数法表示为.
3★120万用科学记数法应写成;2.4万的原数是.
4★近似数3.5万精确到位;5★近似数0.4062精确到,
6★5.47×105精确到位;7★.3.4030×105精确到千位是.
8★★某数有四舍五入得到3.240,那么原来的数一定介于和之间.
9★★用四舍五入法求30951的近似值(精确到百位),结果是.
第二章 整式
一、整式
1、整式:
单项式和多项式的统称叫整式。
2、单项式:
数与字母的乘积组成的式子叫单项式。
单独的一个数或一个字母也是单项式。
3、系数;一个单项式中,数字因数叫做这个单项式的系数。
4、次数:
一个单项式中,所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。
5、多项式:
几个单项式的和叫做多项式。
6、项:
组成多项式的每个单项式叫做多项式的项。
7、常数项:
不含字母的项叫做常数项。
8、多项式的次数:
多项式中,次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数。
9、同类项:
多项式中,所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。
10.合并同类项:
把多项式中的同类项合并成一项,叫做合并同类项。
二、整式加减
整式加减运算时,如果遇到括号先去括号,再合并同类项。
1、去括号:
一般地,几个整式相加减,如果有括号就先去括号,然后再合并同类项。
如果括号外的因数是正数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同。
如果括号外的因数是负数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。
2、合并同类项:
把多项式中的同类项合并成一项,叫做合并同类项。
合并同类项后,所得项的系数是合并前各同类项的系数的和,且字母部分不变。
考点例析
题型一利用定义解决问题
例1若
与
的和仍是一个单项式,则
与
的值分别是()
(A)1,2(B)2,1(C)1,1(D)1,3﹒
解:
依据整式加减的实质是合并同类项,可知题中的
与
是同类项﹒又由同类项的概念知,既然两式所含的字母相同,所以相同字母的字母指数也应相同,可得
解得
题型二化简求值题
例2化简求值-3+a2-5a-a2+4a-4,其中a=
.
解:
原式=(a2-a2)+(-5a+4a)+(-3-4)
=(1-1)a2+(-5+4)a+(-3-4)
=-a-7
当a=
时,原式=-
-7=-7
.
点评:
(1)多项式中含有同类项,但不在一起,利用运算的交换律、结合律把同类项放在一起,用括号括起来.
(2)把多项式中的同类项合并成一项,使多项式中不含同类项,此多项式就化为最简了.
例3按图所示的程序计算代数式的值,若输入的x值为
,则输出的代数式的值y为()
A.
B.
C.
D.
解:
利用计算机程序计算代数式的值,关键是看已输入x的范围.∵x=
∴1≤x≤2.∴y=-
+2=
,故正确答案为C项.
加数的个数n
和S
1
2=1×2
2
2+4=6=2×3
3
2+4+6=12=3×4
4
2+4+6+8=20=4×5
……
……
点评:
利用数值转换器求代数式的值是近几年中考新题型,解题关键是读懂题目要求,按照题目指定顺序计算即可。
题型三探索自然数间的某种规律
例4.从2开始连续的偶数相加,它们和的情况如下表:
(1)S与n之间有什么关系?
能否用公式表示?
(2)计算2+4+6+…+2004+2006的值.
解:
(1)S与n的关系是:
S=n(n+1).
(2)当n=2时,S=2+4=2×3,
当n=3时,S=2+4+6=3×4,
所以最后一个数的一半表示n,从而n=
=1003.
所以2+4+6+…+2006=1003×(1003+1)=1007012
点评:
观察是解题的前提条件,当已知数据有很多组时,需要仔细观察、反复比较,才能发现其中的规律.
例5.有一串单项式:
-a,2a2,-3a3,4a4,…,-19a19,20a20,…
①你能说出它们的规律是什么吗?
②写出第100个,第1999个单项式.
③写出第2n个,第2n+1个单项式.
解:
①都符合代数式(-1)nnan;②(-1)100100a100,(-1)1999199a1999;③2na2n,-(2n+1)a2n+1.
点评:
先认真审题,观察给出的每个单项式的特点即可得出规律.
题型四比较两代数式的大小
例6.已知M=4x2-3x-2,N=6x2-3x+6,试比较M、N的大小.
解:
作差.
M-N=4x2-3x+2-(6x2-3x+6)=4x2-3x+2-6x2+3x-6=-2x2-4=-(2x2+4)
因为2x2+4>0,所以-(2x2+4)<0
即M-N<0,所以M 点评: 作差,再由差的正负来决定大小,这是比较大小常用的方法. 例7.A和B两家公司都准备从社会招聘人才,两家公司招聘条件基本相同,只有工资待遇有如下差异: A公司年薪10000元,每年加工龄工资200元;B公司半年薪5000元,每半年加工龄工资50元,从经济收入的角度考虑的话,选择哪家公司有利? 解: 第n年在A公司的收入: 10000+200(n-1); 第n年在B公司的收入: [5000+100(n-1)]+[5000+100(n-1)+50]=10050+200(n-1). 而[10000+200(n-1)]-[10050+200(n-1)]=-50<0, 所以选择B公司有利. 点评: 此题运用了字母表示数、去括号法则、合并同类项等知识,在计算时把(n-1)看作一项,计算更简便,因此在解题时要注意分析,不要遇见括号就去掉,要结合题的特点,选择简便易行的方法.另外,在比较两个量大小时,不妨将这两个量作差试一试,根据具体的差值对事作作出判断或决定,提高应用数学的意识 第三章 一元一次方程 一、方程 1、方程的定义: 含有未知数的等式叫做方程. 2、方程的解: 能够使方程左、右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解. 3、解方程: 求方程解的过程叫做解方程. 二、一元一次方程 1、一元一次方程: 方程里只含有一个未知数(元),未知数的次数都是1,这样的方程叫做一元一次方程。 2、解: 求出的方程中未知数的值叫做方程的解。 三、等式的性质 1、等式两边加(或减)同一个数(或式子),结果仍相等。 如果a=b,那么a±c=b±c 2、等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等。 如果a=b,那么ac=bc;如果a=b,(c≠0),那么a∕c=b∕c。 四、解一元一次方程的步骤 1、去分母: 在方程的两边都乘以各分母的最小公倍数,注意不要漏乘不含分母的项,分子为多项式的要加上括号。 2、去括号: 一般先去小括号,再去中括号,最后去大括号,注意不要漏乘括号里的项,当括号前是“-”时,去掉括号时注意括号内的项都要变号。 3、移项: 将含有未知数的项移到方程的一边,不含未知数的项移到方程的另一边,注意移项要变号,移项和交换位置不同。 4、合并同类项: 将同类项合并成一项,把方程化为ax=b(a≠0)的形式,注意只合并同类项的系数。 5、系数化为1: 在方程ax=b的两边都除以a,求出方程的解x= ,注意符号,不要把方程ax=b的解写成x= 。 五、实际问题的常见类型 1、利息问题: ①相关公式: 本金×利率×期数=利息(未扣税); ②相等关系: 本息=本金+利息。 2、利润问题: ①相关公式: 利润率=利润÷进价; ②相等关系: 利润=售价-进价。 3、等积变形问题: ①相关公式: 长方体的体积=长×宽×高; 圆柱的体积=底面积×高。 ②相等关系: 变形前的体积=变形后的体积。 4、工程问题: ①数量关系: 工作量=工作时间×工作效率。 ②相等关系: 总工作量=各部分工作量的和。 5、行程问题: ①相关数量关系: 路程=时间×速度; ②相等关系: (相遇问题)两者路程和=总路程; (追及问题)两者路程差=相距路程. 六、思想方法总结 1、方程的思想: 方程的思想就是把末知数看成已知数,让代替未知数的字母和已知数一样参与运算,这是一种很重要的数学思想,很多问题都能归结为方程来处理。 2、数形结合的思想: 数形结合的思想是指在研究问题的过程中,由数思形,由形思数,把数和形结合起来分析问题的思想方法。 在列方程解应用题时常采用画图,列表格的方法展示数量关系,使问题更形象、直观。 3、“化归思想”: 所谓化归思想,是指在如解数学问题时,如果对当前的问题感到困惑,可把它先进行交换,使之筒化,并得到解决的思维方法。 如解方程的过程,就是把形式比较复杂的方程,逐步化简为最简方程ax=b(a=0),从而求出方程的解,通过对解一元一次方程的学习要体会并掌据化归这一数学思想方法。 七、易错点突破 1、应用等式的基本性质时出现错误 例1.下列说法正确的是( ) A、在等式ab=ac中,两边都除以a,可得b=c B、在等式a=b两边都除以c2+1可得 C、在等式 两边都除以a,可得b=c D、在等式2x=2a一b两边都除以2,可得x=a一b 剖析: A中a代表任意数,当a≠0时结论成立;但当a=0时,不能运用等式的性质 (2)结论不一定成立,如0·3=0·(-1)但3≠-1,所以,等式两边同时除以一个数,要保证除数不为0才能行。 B中c2+1≠0所以成立C用的性质错误,应在等式两边都乘以a,D中一b这一项没除以2,应为x=a- 选B 2、去分母去括号时出现漏乘现象或出现符号错误;移项不变号,错把解方程的过程写成“连等”的形式。 例2.解方程 . 错解: =3x-2+10=x+6=2x=-2=x=-1 剖析: 错解的原因是对方程的变形理解不深,受到代数式运算时使用连等式的习惯影响。 正解: 去分母得3x-2+10=x+6 移项合并同类项得2x=-2,所以x=-1 3、列方程解应用题时常出现的错误 ①审题不清,没有弄请各个量所表示的意义;②列方程出现错误; ③应用公式错误;④单住不统一;⑤计算方法出现错误。 考点例析 考点一考查基本概念 例1.若关于x的方程2(x-1)-a=0的解是3,则a的值是() A.4B.-4C.5C.-5 分析: 方程的解是指能使方程左右两边相等的未知数的值,将x=3代入方程,左右两边相等,从而可以解出a. 解: 把x=3代入方程,得2×(3-1)-a=0,解得a=4. 例2.一个一元一次方程的解为2,请写出这个方程: . 分析: 解为2的一元一次方程有无数个,故此题的答案不惟一.解决此题我们可以利用等式的基本性质在x=2的两边同时加(或减)同一个整式,或同时乘上(或除以)同一个数. 解: 如x-1=1;2x=4;3x-2=4等. 考点二考查一元一次方程的构建 例3.如果单项式4x2ya+3与-2x2y3-2a是同类项,那么a为() A.-2B.-1C.0D.1 分析: 同类项是指所含字母相同,相同字母的指数也相同的项,所以a+3=3-2a,从而可以解出a. 解: 根据同类项的定义,知a+2=3-2a,解得a=0.故选C. 例4.某商店销售一批服装,每件售价150元,可获利25%,求这种服装的成本价.设这种服装的成本价为x元,则得到方程() A.x=150×25%B.25%x=150C.150-x=25%xD.150-x=25% 分析: 根据利润率= ,得150-x=25%x.解: 选C. 考点三考查一元一次方程的解法 例5.解方程: x- =2- . 分析: 这是一道一元一次方程的求解题,按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1这五个步骤逐步求解,解时要留意每步的注意点. 解: 去分母,得6x-3(x-1)=12-2(x+1). 去括号,得6x-3x+3=12-2x-2. 移项,得6x-3x+2x=12-2-3. 合并同类项,得5x=7. 系数化为1,得x= . 考点三考查一元一次方程的应用 例6.某同学在A、B两家超市发现他看中的英语学习机的单价相同,书包单价也相同,英语学习机和书包单价之和是452元,且英语学习机的单价比书包单价的4倍少8元. (1)求该同学看中的英语学习机和书包单价各是多少元? (2)某一天该同学上街,恰好赶上商家促销,超市A所有商品打7.5折销售;超市B全场购物满100元返购物券30元销售(不足100元不返券,购物券全场通用),但他只带了400元钱,如果他只在一家超市购买看中的英语学习机、书包,那么在哪一家购买更省钱? 分析: (1)设书包的单价为x元,则英语学习机的单价为(4x-8)元,根据“英语学习机和书包单价之和是452元”列出方程,求出书包和英语学习机的单价; (2)分别求出在超市A、B购买看中的英语学习机、书包的费用,通过比较大小即可知道那种方式购买更省钱. 解: (1)设书包的单价为x元,则英语学习机的单价为(4x-8)元. 根据题意,得4x-8+x=452, 解得x=92. 4x-8=4×92-8=360. 答: 该同学看中的英语学习机单价为360元,书包单价为92元. (2)在超市A购买英语学习机与书包各一件,需花费现金: 452×75%=339(元); 因为339<400,所以可以选择超市A购买. 在超市B可先花费现金360元购买英语学习机,再利用得到的90元购物券,加上2元现金购买书包,总计共花费现金: 360+2=362(元); 因为362<400,所以也可以选择在超市B购买。 但是,由于362>339,所以在超市A购买英语学习机与书包,更省钱。 第四章 图形认识初步 一、图形认识初步 1.几何图形: 把从实物中抽象出来的各种图形的统称。 2.平面图形: 有些几何图形的各部分都在同一平面内,这样的图形是平面图形。 3.立体图形: 有些几何图形的各部分不都在同一平面内,这样的图形是立体图形。 4.展开图: 有些立体图形是由一些平面图形围成的,将它们的表面适当剪开,可以展开成平面图形,这样的平面图形称为相应立体图形的展开图。 5.点,线,面,体 ①图形是由点,线,面构成的。 ②线与线相交得点,面与面相交得线。 ③点动成线,线动成面,面动成体。 二、直线、线段、射线 1.线段: 线段有两个端点。 2.射线: 将线段向一个方向无限延长就形成了射线,射线只有一个端点。 3.直线: 将线段的两端无限延长就形成了直线,直线没有端点。 4.两点确定一条直线: 经过两点有一条直线,并且只有一条直线。 5.相交: 两条直线有一个公共点时,称这两条直线相交。 6.两条直线相交有一个公共点,这个公共点叫交点。 7.中点: C点把线段AB分成相等的两条线段CM与CB,点C叫做线段AB的中点。 若点C是线段AB的中点,则有 (1)AC=BC= AB或 (2)AB=2AC=2BC,反之,若有 (1)式或 (2)式成立,亦能说明点C是线段AB的中点。 8.线段的性质: 两点的所有连线中,线段最短。 (两点之间,线段最短) 9.距离: 连接两点间的线段的长度,叫做这两点的距离。 三、角 1、角的意义: 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角,公共端点是角的顶点,这两条射线是角的两条边,角也可以看做由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形。 2、角的度量单位: 度、分、秒;角的度、分、秒是60进制。 1°=60′;1′=60″;1周角=360°;1平角=180°;1直角=90°。 3、角的大小的比较: ①叠合法: 使两个角的顶点及一边重合,另一边在重合边的同旁进行比较; ②度量法。 4、平角和周角: 一条射线绕着他的端点旋转,当终边和始边成一条直线时,所成的角叫做平角。 始边继续旋转,当他又和始边重合时,所成的角叫做周角。 平角等于180度。 周角等于360度。 直角等于90度。 5、角的平分线: 从一个角的顶点出发,把这个角分成相等的两个角的射线,叫做这个角的平分线。 如图: OC平分∠AOB,则①∠AOC=∠BOC=∠AOB或②2∠AOC=2∠BO
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- 人教版七 年级 上册 数学 复习 总结
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