二次函数图像与系数的关系.docx
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二次函数图像与系数的关系.docx
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二次函数图像与系数的关系
二次函数的图象与各项系数之间的关系
技巧讲解
1.二次项系数:
决定了抛物线开口的大小和方向,的正负决定开口方向,的大小决定开口的大小.
二次函数中,为二次项系数,显然.
①当时,抛物线开口向上;
②当时,抛物线开口向下;
③的值越大,函数图象越靠近y轴,开口越小,反之的值越小,函数图象越远离y轴,开口越大;一次函数图象有类似特点。
2.一次项系数:
①在确定的前提下,决定了抛物线对称轴的位置.
②的符号的判定:
对称轴在轴左边则,在轴的右侧则,概括的说就是“左同右异”
在二次项系数确定的前提下,决定了抛物线的对称轴.
⑴在的前提下,
①当时,,即抛物线的对称轴在轴左侧;
②当时,,即抛物线的对称轴就是轴;
③当时,,即抛物线对称轴在轴的右侧.
⑵在的前提下,结论刚好与上述相反,即
①当时,,即抛物线的对称轴在轴右侧;
②当时,,即抛物线的对称轴就是轴;
③当时,,即抛物线对称轴在轴的左侧.
3.常数项:
决定了抛物线与轴交点的位置.
⑴当时,抛物线与轴的交点在轴上方,即抛物线与轴交点的纵坐标为正;
⑵当时,抛物线与轴的交点为坐标原点,即抛物线与轴交点的纵坐标为;
⑶当时,抛物线与轴的交点在轴下方,即抛物线与轴交点的纵坐标为负.
总之,只要都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的.
4.特殊形式
(1)当x=1时,可以求出a+b+c的值;若x=1时,y>0,则a+b+c>0;若x=1时,y<0,则a+b+c<0;若x=1时,y=0,则a+b+c=0;
(2)当x=-1时,可以求出a-b+c的值;若x=-1时,y>0,则a-b+c>0;若x=-1时,y<0,则a-b+c<0;若x=-1时,y=0,则a-b+c=0;
(3)根的别式b2-4ac,可以用来判断抛物线与x轴的交点个数,当b2-4ac>0时,方程=0有两个根,也就是说y=0时,函数在x轴上可以找到2个对应的自变量值,即断抛物线与x轴有2个交点;同理b2-4ac=0,二次函数图象与x轴有一个交点;b2-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点。
1.(2017•安顺)二次函数y=ax2+bx+c(≠0)的图象如图,给出下列四个结论:
①4ac﹣b2<0;②3b+2c<0;③4a+c<2b;④m(am+b)+b<a(m≠1),其中结论正确的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2.(2017•黔东南州)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=﹣1,给出下列结论:
①b2=4ac;②abc>0;③a>c;④4a﹣2b+c>0,其中正确的个数有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3.(2017•烟台)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,对称轴是直线x=1,下列结论:
①ab<0;②b2>4ac;③a+b+2c<0;④3a+c<0.
其中正确的是( )
A. ①④ B. ②④ C. ①②③ D. ①②③④
4.(2017•宜宾)如图,抛物线y1=(x+1)2+1与y2=a(x﹣4)2﹣3交于点A(1,3),过点A作x轴的平行线,分别交两条抛物线于B、C两点,且D、E分别为顶点.则下列结论:
①a=;②AC=AE;③△ABD是等腰直角三角形;④当x>1时,y1>y2
其中正确结论的个数是( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
5.(2017•日照)已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=2,与x轴的一个交点坐标为(4,0),其部分图象如图所示,下列结论:
①抛物线过原点;
②4a+b+c=0;
③a﹣b+c<0;
④抛物线的顶点坐标为(2,b);
⑤当x<2时,y随x增大而增大.
其中结论正确的是( )
A. ①②③ B. ③④⑤ C. ①②④ D. ①④⑤
6.(2017•菏泽)一次函数y=ax+b和反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的图象如图所示,则二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是( )
A. B. C. D.
7.(2017•南充)二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,且a≠0)的图象如图所示,下列结论错误的是( )
A. 4ac<b2 B. abc<0 C. b+c>3a D. a<b
8.(2017•广安)如图所示,抛物线y=ax2+bx+c的顶点为B(﹣1,3),与x轴的交点A在点(﹣3,0)和(﹣2,0)之间,以下结论:
①b2﹣4ac=0;②a+b+c>0;③2a﹣b=0;④c﹣a=3
其中正确的有( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
9.(2017•达州)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如下,则一次函数y=ax﹣2b与反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的图象大致是( )
A. B. C. D.
10.(2017•遵义)如图,抛物线y=ax2+bx+c经过点(﹣1,0),对称轴l如图所示,则下列结论:
①abc>0;②a﹣b+c=0;③2a+c<0;④a+b<0,其中所有正确的结论是( )
A. ①③ B. ②③ C. ②④ D. ②③④
11.(2017•齐齐哈尔)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=﹣2,与x轴的一个交点在(﹣3,0)和(﹣4,0)之间,其部分图象如图所示,则下列结论:
①4a﹣b=0;②c<0;③﹣3a+c>0;④4a﹣2b>at2+bt(t为实数);⑤点(﹣,y1),(﹣,y2),(﹣,y3)是该抛物线上的点,则y1<y2<y3,正确的个数有( )
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
12.(2016•毕节市)一次函数y=ax+b(a≠0)与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
A. B. C. D.
13.(2016•随州)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示,图象过点(﹣1,0),对称轴为直线x=2,下列结论:
(1)4a+b=0;
(2)9a+c>3b;(3)8a+7b+2c>0;(4)若点A(﹣3,y1)、点B(﹣,y2)、点C(,y3)在该函数图象上,则y1<y3<y2;(5)若方程a(x+1)(x﹣5)=﹣3的两根为x1和x2,且x1<x2,则x1<﹣1<5<x2.其中正确的结论有( )
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
14.(2016•攀枝花)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a>0)图象的顶点为D,其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1和3,则下列结论正确的是( )
A. 2a﹣b=0 B. a+b+c>0 C. 3a﹣c=0 D. 当a=时,△ABD是等腰直角三角形
15.(2016•齐齐哈尔)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1,与x轴的一个交点坐标为(﹣1,0),其部分图象如图所示,下列结论:
①4ac<b2;
②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1,x2=3;
③3a+c>0
④当y>0时,x的取值范围是﹣1≤x<3
⑤当x<0时,y随x增大而增大
其中结论正确的个数是( )
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
16.(2017•荆门)在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的大致图象如图所示,则下列结论正确的是( )
A. a<0,b<0,c>0 B. ﹣=1
C. a+b+c<0 D. 关于x的方程x2+bx+c=﹣1有两个不相等的实数根
17.(2017•黄石)如图,是二次函数y=ax2+bx+c的图象,对下列结论①ab>0,②abc>0,③<1,其中错误的个数是( )
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
18.(2017•六盘水)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则( )
A. b
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