离散数学例题2.docx
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离散数学例题2
量词的辖域
定义:
量词的辖域是邻接量词之后的最小子公式,故除非辖域是个原子公式,否则应在该子公式的两端有括号。
例:
XP(X)→Q(X)
X的辖域是P(X)
X(P(X,Y)→Q(X,Y))P(Y,Z)
X的辖域是P(X,Y)→Q(X,Y)
有限个体域上消去量词
例15:
个体域D={a,b,c},则消去下面公式中的量词xyF(x,y)
x(F(x,a)∧F(x,b)∧F(x,c))
(F(a,a)∧F(a,b)∧F(a,c))∨(F(b,a)∧F(b,b)∧F(b,c))∨(F(c,a)∧F(c,b)∧F(c,c))
例16:
设个体域D={a,b},消去下面各公式中的量词:
(1)∀x∃y(F(x)G(y))∀x(F(x)∃yG(y))
⇔∃xF(x)∃yG(y)(F(a)∨F(b))(G(a)∨G(b))
(2)∀x∃y(F(x,y)G(x,y))
⇔∀x((F(x,a)G(x,a))∨(F(x,b)G(x,b))
⇔((F(a,a)G(a,a))∨(F(a,b)G(a,b)))∧
((F(b,a)G(b,a))∨(F(b,b)G(b,b)))
注:
(1)中量词辖域可以缩小,先缩小量词辖域,再消量词,演算简单;但在
(2)中,因为全称量词和存在量词均约束F与G中个体变量,因而它们的辖域不能缩小,消去量词后的公式也不易化的更简单。
例17将下面命题用两种形式符号化,并证明两者等值:
(1)没有不犯错误的人
解令F(x):
x是人,G(x):
x犯错误.
x(F(x)G(x))或x(F(x)G(x
x(F(x)G(x))
x(F(x)G(x))量词否定等值式
x(F(x)G(x))置换
x(F(x)G(x))置换
(2)不是所有的人都爱看电影
解令F(x):
x是人,G(x):
爱看电影.
x(F(x)G(x))或x(F(x)G(x))
x(F(x)G(x))
x(F(x)G(x))量词否定等值式
x(F(x)G(x))置换
x(F(x)G(x))置换
例18求下列公式的前束范式
(1)x(M(x)F(x))
解x(M(x)F(x))
x(M(x)F(x))(量词否定等值式)
x(M(x)F(x))
后两步结果都是前束范式,说明公式的前束范式不惟一.
(2)xF(x)xG(x)
解xF(x)xG(x)
xF(x)xG(x)(量词否定等值式)
x(F(x)G(x))(量词分配等值式)
或
xF(x)xG(x)
xF(x)xG(x)量词否定等值式
xF(x)yG(y)换名规则
xy(F(x)G(y))辖域收缩扩张规则
(3)xF(x)y(G(x,y)H(y))
解xF(x)y(G(x,y)H(y))
zF(z)y(G(x,y)H(y))换名规则
zy(F(z)(G(x,y)H(y)))辖域收缩扩张规则
或
xF(x)y(G(z,y)H(y))代替规则
xy(F(x)(G(z,y)H(y)))
推理定理
第一组命题逻辑推理定理的代换实例
如,xF(x)yG(y)xF(x)
第二组基本等值式生成的推理定理
如,xF(x)xF(x),xF(x)xF(x)
xF(x)xF(x),xF(x)xF(x)
第三组其他常用推理定律
(1)xA(x)xB(x)x(A(x)B(x))
(2)x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)
(3)x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)
(4)x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)
一个公式如果它的所有量词均非否定的出现在公式的最前面,且它们的辖域一直延伸到公式的末尾,此种形式的公式就叫前束范式。
定义设A为一个一阶逻辑公式,若A具有如下形式
Q1x1Q2x2…QkxkB
则称A为前束范式,其中Qi(1ik)为或,B为不含量词的公式.
例如,x(F(x)G(x))
xy(F(x)(G(y)H(x,y)))是前束范式
而x(F(x)G(x))
x(F(x)y(G(y)H(x,y)))不是前束范式
注:
任何公式的前束范式都是存在的,但一般说来并不是唯一的。
四条重要的推理规则
A.全称量词消去规则,简记为UI
B.存在量词消去规则,简记为EI
C.存在量词引入规则,简记为EG
D.全称量词引入规则,简记为UG
1.全称量词消去规则UI
或
含义:
如果个体域的所有元素都具有性质A,则个体域中的任一元素具有性质A。
(1)x是A(x)中自由出现的个体变项。
(2)y为任意的不在A(x)约束出现的个体变项。
(3)c为论域中任意的个体常项。
例如
(1)x(F(x)→G(x))前提引入
(2)F(a)→G(a)
(1)UI
2.全称量词引入规则UG
(1)y在A(y)中自由出现,且y取何值A(y)均为真。
(2)取代y的x不能在A(y)中约束出现。
例:
yxF(x,y)个体域为实数集R,F(x,y):
x>y
设A(y)=xF(x,y),y在A(x)中是自由出现的,满足条件
(1).若取x代替y
得xA(x)xxF(x,x)
结论为“xx(x>x)”,是假命题。
原因违背条件
(2).
2.
存在量词消去规则EI
该式成立的条件是:
(1)c是使A为真的特定的个体常项。
(2)c不在A(x)中出现。
(3)若A(x)中除自由出现的x外,还有其它自由出现的个体变项,此规则不能使用。
4.存在量词引入消去规则(+)
其中x,y是个体变项符号,c是个体常项符号,且在A中y和c不在x和x的辖域内自由出现.
要特别注意使用-、+、-、+规则的条件.
反例1.对A=xyF(x,y)使用-规则,推得B=yF(y,y).
取解释I:
个体域为R,
在I下A被解释为xy(x>y),真;而B被解释为y(y>y),假
原因:
在A中x自由出现在y的辖域F(x,y)内
反例2.前提:
P(x)Q(x),P(x)
结论:
xQ(x)
取解释I:
个体域为Z,
在I下前提为真,结论为假,从而推理不正确
“证明”:
①P(x)Q(x)前提引入
②P(x)前提引入
③Q(x)①②假言推理
④xQ(x)③+
错误原因:
在④使用+规则,而x在前提的公式中自由出现.
例19在自然推理系统NL中构造下面推理的证明,取个体域R:
任何自然数都是整数.存在自然数.所以,存在整数.
解设F(x):
x是自然数,G(x):
x是整数.
前提:
x(F(x)G(x)),xF(x)
结论:
xG(x)
证明:
①x(F(x)G(x))前提引入
②F(x)G(x)①-
③F(x)xG(x)②+
④xF(x)xG(x)③-
xF(x)前提引入
xG(x)④⑤假言推理
例20在自然推理系统NL中构造下面推理的证明,取个体域R:
不存在能表示成分数的无理数.有理数都能表示成分数.
所以,有理数都不是无理数.
解设F(x):
x是无理数,G(x):
x是有理数,H(x):
x能表示成分数.
前提:
x(F(x)H(x)),x(G(x)H(x))
结论:
x(G(x)F(x))
证明:
①x(F(x)H(x))前提引入
②x(F(x)H(x))①置换
③x(F(x)H(x))②置换
④F(x)H(x)③-
⑤x(G(x)H(x))前提引入
⑥G(x)H(x)⑤-
⑦H(x)F(x)④置换
⑧G(x)F(x)⑥⑦假言三段论
⑨x(G(x)F(x))⑧+
笛卡儿积
定义2设A,B为集合,A与B的笛卡儿积记作AB,且AB={
例20A={1,2,3},B={a,b,c}求笛卡儿积AB,BA
AB
={<1,a>,<1,b>,<1,c>,<2,a>,<2,b>,<2,c>,<3,a>,<3,b>,<3,c>}
BA
(1)不适合交换律
ABBA(AB,A,B)
(2)不适合结合律
(AB)CA(BC)(A,B,C)
(3)对于并或交运算满足分配律
A(BC)=(AB)(AC)(BC)A=(BA)(CA)
A(BC)=(AB)(AC)(BC)A=(BA)(CA)
(4)若A或B中有一个为空集,则AB就是空集.
A=B=
(5)若|A|=m,|B|=n,则|AB|=|BA|=mn
例21
(1)证明A=B,C=DAC=BD
(2)AC=BD是否推出A=B,C=D?
为什么?
解
(1)任取
xAyC
xByD
(2)不一定.反例如下:
A={1},B={2},C=D=,则AC=BD但是AB.
例22:
设A,C,B,D为任意集合,判断以下命题是否为真,并说明理由。
(1)A×B=A×C=>B=C
(2)A-(B×C)=(A-B)×(A-C)
(3)存在集合A,使得AA×A.
解:
(1)不一定为真。
反例A=φ,B、C为任意不相等的非空集合。
(2)不一定为真。
反例A={1},B={2},C={3}.
(3)为真。
当A=φ时成立。
定义3如果一个集合符合以下条件之一:
(1)集合非空,且它的元素都是有序对
(2)集合是空集
则称该集合为一个二元关系,记作R,简称为关系。
对于二元关系R,若
例23:
R1={<1,2>,},R2={5,6,7}
aR1b,1R12,5R16
定义5设A为集合,
(1)是A上的关系,称为空关系
(2)全域关系EA={
恒等关系IA={
小于等于关系LA
整除关系DB
包含关系R
例如,A={1,2},则
EA={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>}
IA={<1,1>,<2,2>}
例如A={1,2,3},则
LA={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<2,3>,<3,3>}
DA={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<3,3>}
关系的定义域、值域与域分别定义为
domR={x|y(
ranR={y|x(
fldR=domRranR
例R={<1,2>,<1,3>,<2,4>,<4,3>},则
domR={1,2,4}
ranR={2,3,4}
fldR={1,2,3,4}
关系的表示:
关系图
例24:
例A={1,2,3,4},R={<1,1>,<1,2>,<2,3>,<2,4>,<4,2>},R的关系矩阵MR和关系图GR如下:
设R是一个X到Y的关系,S是一个Y到Z的关系,则R与S的合成关系(或复合关系):
RS为:
RS={
例25R={<1,2>,<2,3>,<1,4>,<2,2>}
S={<1,1>,<1,3>,<2,3>,<3,2>,<3,3>}
RS={<1,3>,<2,2>,<2,3>}
SR={<1,2>,<1,4>,<3,2>,<3,3>}
利用图示(不是关系图)方法求合成
RS={<1,3>,<2,2>,<2,3>}
SR={<1,2>,<1,4>,<3,2>,<3,3>}
设R为A上的关系,R的性质主要有以下5种
(1)R在A上是自反的:
x(x∈A→
该定义表明在自反的关系R中,除其他有序对外,必须包括有全部由每个xA所组成的元素相同的有序对。
在关系矩阵中,反映为主对角线元素均为1;在关系图中,反映为每结点都有自回路。
例如:
设A={1,2,3},R是A上的关系,
R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>}
则R是自反的
全域关系EA,恒等关系IA,小于等于关系LA,整除关系DA都是自反关系
(2)R在A上是反自反:
x(x∈A
该定义表明了,一个反自反的关系R中,不应包括有任何相同元素的有序对。
在关系矩阵中,反映为主对角线元素均为0;在关系图中,反映为每结点都没有自回路。
例:
设A={1,2,3},R={<2,3>,<3,2>},R是A上的关系,R是反自反的。
再如实数集上的小于关系、幂集上的真包含关系也是反自反关系。
(3)若xy(x,y∈A∧
该定义表明在表示对称的关系R的有序对集合中,若有有序对
在关系矩阵中,反映为是对称矩阵;
在关系图中,反映为若有a到b的边则必有b到a的边。
例如:
设A={1,2,3},R是A上的关系,
R={<1,2>,<2,1>,<3,3>}
则R是对称的
(4)若xy(x,y∈A∧
在关系矩阵中,反映为若aij=1,则aji=0(注:
若aij=0,不一定有aji=1)
在关系图上,反映为若存在a到b的边,则不存在b到a的边。
例如:
设A={1,2,3},R={<1,2>,<1,3>}是A上的关系,则R是反对称的
(5)设R为A上的关系,若
xyz(x,y,z∈A∧
则称R在A上是传递的关系。
例如:
设A={1,2,3},R1,R2,和R3是A上的关系,其中
R1={<1,1>,<2,2>}R2={<1,2>,<2,3>}R3={<1,3>}
说明R1,R2和R3是否为A上的传递关系
解:
R1和R3是A上的传递关系,R2不是A上的传递关系
集合
例26判断下列命题是否为真
(1)
(1)
(2)(0)
(3){}
(1)
(4){}
(1)
(5){a,b}{a,b,c,{a,b,c}}
(1)
(6){a,b}{a,b,c,{a,b}}
(1)
(7){a,b}{a,b,{{a,b}}}
(1)
(8){a,b}{a,b,{{a,b}}}(0
)
解
(1)、(3)、(4)、(5)、(6)、(7)为真,其余为假.
例27判断以下命题的真假,并说明理由.
(1)AB=AB=
(2)A(BC)=(AB)(AC)
(3)AA=A
(4)如果AB=B,则A=E.
(5)A={x}x,则xA且xA.
解
(1)B=是AB=A的充分条件,但不是必要条件.当B不空但是与A不交时也有AB=A.
(2)这是DM律,命题为真.
(3)不符合算律,反例如下:
A={1},AA=,但是A.
(4)命题不为真.AB=B的充分必要条件是BA,不是A=E.
(5)命题为真,因为x既是A的元素,也是A的子集
例28.设A,B为集合,试确定下列各式成立的充分必要条件:
(1)AB=B
(2)AB=BA
(3)AB=AB
(4)AB=A
解
(1)AB=BA=B=.求解过程如下:
由AB=B得
(AB)B=BB
化简得B=.再将这个结果代入原来的等式得A=.从
而得到必要条件A=B=.
再验证充分性.如果A=B=成立,则AB==B也成立.
(2)AB=BAA=B.求解过程如下:
充分性是显然的,下面验证必要性.由AB=BA得
(AB)A=(BA)A
从而有A=AB,即AB.同理可证BA.
商集
定义设R为非空集合A上的等价关系,以R的所有等价类作为元素的集合称为A关于R的商集,记做A/R,
A/R={[x]R|x∈A}
实例设A={1,2,…,8},A关于模3等价关系R的商集为
A/R={{1,4,7},{2,5,8},{3,6}}
A关于恒等关系和全域关系的商集为:
A/IA={{1},{2},…,{8}},
A/EA={{1,2,…,8}}
例28.A=a,b,a,b,a,b,c,a,b,c,d,a,b,c,e,画出的哈斯图。
例29无向图G有16条边,3个4度顶点,4个3度顶点,其余顶点度数均小于3,问G的阶数n为几?
解设除3度与4度顶点外,还有x个顶点v1,v2,…,vx,则
d(vi)2,i=1,2,…,x,
于是
3224+2x
得x4,阶数n4+4+3=11.
例29设无向图G有10条边,3度与4度顶点各2个,其余顶点的度数均小于3,问G至少有多少个顶点?
在最少顶点的情况下,写出度数列、
。
解:
由握手定理图G的度数之和为:
3度与4度顶点各2个,这4个顶点的度数之和为14度。
其余顶点的度数共有6度。
其余顶点的度数均小于3,欲使G的顶点最少,其余顶点的度数应都取2,所以,G至少有7个顶点,出度数列为3,3,4,4,2,2,2,
.
例30设无向图中有6条边,3度与5度顶点各1个,其余顶点都是2度点,问该图有多少个顶点?
解:
由握手定理图G的度数之和为:
设2度点
个,则
,
,该图有4个顶点.
例31有向图D如图
(1)求
到
长度为1,2,3,4的通路数;
(2)求
到
长度为1,2,3,4的回路数;
(3)求D中长度为4的通路数;
(4)求D中长度小于或等于4的回路数;
(5)写出D的可达矩阵。
解:
有向图D的邻接矩阵为:
,
(1)
到
长度为1,2,3,4的通路数为0,2,0,0;
(2)
到
长度为1,2,3,4的回路数为0,0,4,0;
(3)D中长度为4的通路数为32;
(4)D中长度小于或等于4的回路数10;
(4)出D的可达矩阵
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