专题2胡不归问题.docx
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专题2胡不归问题
中考复习之胡不归问题
问题起源:
从前有个少年外出求学,某天不幸得知老父亲病危的消息,便立即赶路回家.根据“两点之间线段最短”,虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地,但他义无反顾踏上归途,当赶到家时,老人刚咽了气,小伙子追悔莫及失声痛哭.邻居告诉小伙子说,老人弥留之际不断念叨着“胡不归?
胡不归?
…”(“胡”同“何”)
而如果先沿着驿道AC先走一段,再走砂石地,会不会更早些到家?
这就是风靡千百年的“胡不归问题”
【问题引入】
如图,等边三角形ABC边长为4,P为中线AD上一动点,求PC+
AP的最小值
【例题1】如图,Rt△AOC是一张放在平面直角坐标系中的直角三角形,点O与原点重合,点A在x轴上,点B在y轴上,点A的坐标为(12,0),∠BAO=30°,将Rt△AOB折叠,使OB边落在AB边上,点O与点D重合,折痕为BC,在线段BC上有一动点P,求
的最小值
【宝安区模拟】.如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(-1.0),
B(0,-
),C(2.0),其对称轴与x轴交于点D
(1)求二次函数的表达式及其顶点坐标
(2)若P为y轴上的一个动点,连接PD,则
PB+PD的最小值为
【例题2】如图,P为正方形ABCD对角线BD上一动点,若AB=2,则AP+BP+CP的最小值为_______
【模型建立】
如图,一动点P在直线MN外的运动速度为V1,在直线MN上运动的速度为V2,且V1 的值最小. 【问题分析】 ,记 ,(k<1)即求BC+kAC的最小值. 【问题解决】 构造射线AD使得sin∠DAN=k, =k,CH=kAC. 将问题转化为求BC+CH最小值,过B点作BH⊥AD交MN于点C,交AD于H点,此时BC+CH取到最小值,即BC+kAC最小. 【模型总结】 在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中,关键是构造与kPB相等的线段,将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型. 而这里的PB必须是一条方向不变的线段,方能构造定角利用三角函数得到kPB的等线段. 【练习】 1.如图,在平面直角坐标系中,已知A(0,4),B(-1,0),在y轴上有一动点G,求BG+ AG的最小值 2.如图,菱形ABCD的对角线AC上有一动点P,BC=6,∠ABC=150°,则线段AP+BP+PD 的最小值为 【例题3】如图,△ABC在直角坐标系中,AB=AC,A(0,2 ),C(1,0),D为射线AO上一点,一动点P从A出发,运动路径为A→D→C,点P在AD上的运动速度是在CD上的3倍,要使整个运动时间最少,则点D的坐标应为( ) A.(0, )B.(0, )C.(0, )D.(0, ) 【例题4】如图,抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点,过B的直线交抛物线于E,且tan∠EBA= ,有一只蚂蚁从A出发,先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处,再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点处觅食,则蚂蚁从A到E的最短时间是 s. 典例练习: 1、抛物线y=ax2+bx+c与x轴分别交于A、B两点,与y轴交于点C,且BO=OC=3AO=3. (1)求抛物线的解析式 (2)点B关于y轴的对称点为P点,在y轴上找一点Q,使 的值最小,求出最小值,以及此时Q点的坐标 2、(2018年龙华区二模23题)在平面直角坐标系中,直y x+4 与x轴交于B点,与y轴交于C点,抛物线y x2+bx+c经过B、C两点,与y轴的另一个交点为点A,P为线段BC上一个动点(不与点B、点C重合). (1)求抛物线的解析式; (2)设抛物线的对称轴与x轴交于点D,连结CD、PD,当△PDC为直角三角形时,求点P的坐标; (3)过点C作CE∥x轴,交抛物线于点E,如图2,求PB+2PE的最小值. 3、(2017年福田区一模23题)已知抛物线y=ax2+bx﹣3经过A(﹣1,0)、B(3,0)两点,与y轴交于C点. (1)求抛物线的解析式; (2)如图①,抛物线的对称轴上有一点P,且点P在x轴下方,线段PB绕点P顺时针旋转90°,点B的对应点B′恰好落在抛物线上,求点P的坐标. (3)如图②,直线y= x+ 交抛物线于A、E两点,点D为线段AE上一点,连接BD,有一动点Q从B点出发,沿线段BD以每秒1个单位的速度运动到D,再沿DE以每秒2个单位的速度运动到E,问: 是否存在点D,使点Q从点B到E的运动时间最少? 若存在,请求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.
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