题型锐角三角函数的实际应用.docx

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题型锐角三角函数的实际应用

二、解答题重难点突破

题型三锐角三角函数的实际应用

针对演练

仰角、俯角问题

1.某数学课外活动小组利用课余时间，测量了安装在一幢楼房顶部的公益广告牌的高度．如图，矩形CDEF为公益广告牌，CD为公益广告牌的高，DM为楼房的高，且C、D、M三点共线．在楼房的侧面A处，测得点C与点D的仰角分别为45°和37.3°，BM＝15米．根据以上测得的相关数据，求这个广告牌的高（CD的长）．（结果精确到0.1米，参考数据：

sin37.3°≈0.6060，cos37.3°≈0.7955，tan37.3°≈0.7618）

第1题图

2.（2014潍坊）如图，某海域有两个海拔均为200米的海岛A和海岛B，一勘测飞机在距离海平面垂直高度为1100米的空中飞行，飞行到点C处时测得正前方一海岛顶端A的俯角4米到达点D处，在的方向水平飞行AB1.99×10D处测得正前方另一45°是，然后沿平行于海岛顶端B的俯角是60°，求两海岛间的距离AB.

第2题图

3.（2015丹东10分）如图，线段AB，CD表示甲、乙两幢居民楼的高，两楼间的距离BD是60米．某人站在A处测得C点的俯角为37°，D点的俯角为48°（人的身高忽略不计），求33711乙楼的高度CD.（参考数据：

sin37°≈，tan37°≈，sin48°≈，tan48°≈）

541010

第3题图

角，57.5°CF固定电线杆，拉线CE和地面成，4.如图，在电线杆上的C处引拉线CEAB30°处的仰角为.已知测角仪6在离电线杆米处安置测角仪AB，在A处测得电线杆上C，米，参考数据：

sin57.5°≈0.843的长．米，求拉线CE（结果精确到0.01的高为1.5，2≈1.414），3≈1.732，cos57.5°≈0.537tan57.5°≈1.570

第4题图

的高度，如张老师利用休息时间组织学生测量山坡上一棵大树CD分（2015本溪12）5.

的仰角为C处测得大树顶端点），在山坡底部A（图，山坡与水平面成30°角即∠MAN＝30°图中各点均在同一平（的仰角为60°处，又测得树顶端点45°，沿坡面前进20米，到达BC米，参考数据：

3≈1.732）（结果精确到0.1，求这棵大树面内）CD的高度．

第5题图

6.如图，某飞机于空中探测某座山的高度，在点A处飞机的飞行高度是AF＝3700米，从飞机上观测山顶目标C的俯角是45°，飞机继续以相同的高度飞行300米到B处，此时观测目标C的俯角是50°，求这座山的高度CD.（参考数据：

sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20）

第6题图

坡度、坡角问题米．汛期2045°，坝高BE＝7.如图，水坝的横断面是梯形，背水坡AB的坡角∠BAE＝的坡处，使新的背水坡BFA来临，为加大水坝的防洪强度，将坝底从处向后水平延伸到F，3≈1.732）米，参考数据：

2≈1.4141AFF角∠＝30°，求的长度．（结果精确到

第7题图

8.（2014山西）如图，点A、B、C表示某旅游景区三个缆车站的位置，线段AB，BC表示连接缆车站的钢缆，已知A，B，C三点在同一铅直平面内，它们的海拔高度AA′，BB′，CC′分别为110米，310米，710米，钢缆AB的坡度i＝1∶2，钢缆BC的坡度i＝1∶1，21景区因改造缆车线路，需要从A到C直线架设一条钢缆，那么钢缆AC的长度是多少米？

（注：

坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）

第8题图

测量问题建）为解决江北学校学生上学过河难的问题，乡政府决定修建一座桥．9.（2015云南6分．在测量时，选定河对岸距离）即两平行河岸AB与MN之间的桥过程中需测量河的宽度（米后到3030°，沿河岸AB前行处为桥的一端，在河岸点MN上的点CA处，测得∠CAB＝，≈1.41参考数据：

2CBA＝60°.请你根据以上测量数据求出河的宽度．（处测得∠B达处，在B3≈1.73；结果保留整数）

第9题图

AB米，4＝BC已知如图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图．）分8遵义10.（2015．

＝6米，中间平台宽度DE＝1米，EN、DM、CB为三根垂直于AB的支柱，垂足分别为N、M、B，∠EAB＝31°，DF⊥BC于F，∠CDF＝45°.求DM和BC的水平距离BM的长度．（结果精确到0.1米，参考数据：

sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）

第10题图

方向角问题．

11.（2015镇江6分）某海域有A、B两个港口，B港口在A港口北偏西30°的方向上，距A港口60海里．有一艘船从A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75°方向的C处．求该船与B港口之间的距离即CB的长（结果保留根号）．

第11题图

点的北B点在A点测得B在的距离，BC点到河岸A要测量如图，）分8郴州1512.（20

点A150m．求＝点测得CA点在C点的北偏西45°方向上，又测得BC偏东30°方向上，在，3≈1.41≈1.73）（结果保留整数）（参考数据：

2的距离．到河岸BC

第12题图

】答案【．

针对演练仰角、俯角问题ANDAANN，在直角三角形中，通过所△【思路分析】过点，构造作Rt⊥CM于点1.

CDDN给的三角函数，建立即可．的表达式，从而求出DAN＝37.3°，⊥CM于点N，则∠CAN＝45°，∠解：

如解图，过点A作AN15.AN＝BM＝∴CN＝中，△AND在Rt

＝15×tan37.3°≈11.43.DN－11.43≈3.6.∴CD＝CN－DN＝151题解图第3.6m.

∴广告牌的高度约为，易得四F，过点B作BF⊥CD于点思路分析2.【】首先，过点A作AE⊥CD于点E1100BFBF.由题意可知，AE＝＝边形ABFE为矩形，根据矩形的性质，可得AB＝EF，AE＝4中，利用三角函数求△AEC与Rt△－200＝900米，CD＝1.99×10BFD米，然后分别在Rt.

CE与DF的长，继而求得两海岛间的距离AB得.F，交CD的延长线于点⊥CD于点E，过点B作BF⊥CDA解：

如解图，过点作AE为矩形，则四边形ABFE.

BFAE＝∴AB＝EF，．）米），CD＝19900（米900（AE由题意可知＝BF＝1100－200＝），AE＝900（米，C∴在Rt△AEC中，∠＝45°AEAE＝900（米），＝∴CE＝45°tanC∠tan），＝BFD中，∠BDF＝60°，BF900（米△在Rt900BF，＝＝＝米3003（）∴DF60°tanBDFtan∠米．＝（19000＋3003）900319900CEDFCDEFAB∴＝＝＋－＝＋300－米．（19000AB答：

两海岛之间的距离是3）300＋

第2题解图

3.【思路分析】本题考查三角函数的实际应用．题中有角度没直角三角形，先考虑过点C向AB作垂线CE构造直角三角形，利用正切分别求得AB、AE，最后利用线段和差关系求解即可．

解：

过点C作CE⊥AB交AB于点E，

则四边形EBDC为矩形，

∴BE＝CD，CE＝BD＝60米．（2分）

根据题意可得，.

＝37°＝48°，∠ACE∠ADBAB题解图3第，在Rt△ADB中，tan48°＝BD11）

米）；分（5≈则AB＝tan48°·BD×60＝66（10AE，tan37°＝△在RtACE中，CE3）

（860＝45（米），分≈＝则AEtan37°·CE×4），＝＝＝CD＝BEAB－AE66－4521（米∴21米．（10分）为∴乙楼的高度CD

】信息梳理【4.

原题信息6×＝

整理后信息

结论

CF在电线杆上的C处引拉线CE、和地面成固定电线杆．拉线CE57.5°角，在离电线杆6米处安置测角仪AB

DB＝6米∠DEC＝57.5°，

BD＝6米，AM＝1.5＝米，AB＝MD，＝AM·tan30°CM＝CMMD＋CD

在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪AB＝1.5米

M，过点A作AM⊥CD，垂足为∠MAC＝30°

求拉线CE的长

求CE的长

CDCE＝57.5°sin

解：

如解图，过点A作AM⊥CD，垂足为M.

∴AM＝BD＝6（米），AB＝MD＝1.5（米）．

CM在Rt△ACM中，tan30°＝，AM

3∴CM＝AM·tan30°＝23米．3∴CD＝CM＋MD＝（23＋1.5）米，

CD在Rt△CED中，sin57.5°＝，CE题解图4第1.53＋2，∴sin57.5°＝CE1.5＋2×1.732米≈5.89（）．≈CE∴0.843答：

拉线CE的长约为5.89米．，延长线于点EBE5.解：

如解图，过点B作⊥CD交CD，30°∵∠CAN＝45°，∠MAN＝，∴∠CAB＝15°

DBE＝，30°60°∵∠CBE＝，∠30°，CBD∴∠＝题解图5第ACBCABCBD∵∠＝∠＋∠，，15°＝ACB＝∠CAB∴∠．

）

分∴AB＝BC＝20（米），（320（中，∠CBE＝60°，BC＝米），在Rt△BCE3∠CBE＝，20×＝103（米）∴CE＝BC·sin21）

分CBE＝20×＝10（米），（6∠BE＝BC·cos2，＝30°，BE＝10（米）△在RtDBE中，∠DBE3103）

分10×＝（米），（9∴DE＝BE·tan∠DBE＝33332010米）．≈11.5（＝＝103－∴CD＝－CEDE33）分11.5米．（12答：

这棵大树CD的高度大约为，EC＝x6.解：

设EC＝，△BCE中，tan∠EBC在RtBE5ECEC≈米）＝＝，x（则BE6tan50°EBC∠tanEC，中，tan∠EAC＝在Rt△ACEAEECEC），＝x（米则AE＝＝45°tanEACtan∠，＋BE＝AE∵AB5，x＝x∴300＋6，1800（米）解得：

x＝）．＝3700－18001900（米＝∴这座山的高度CD＝DE－ECAF－CE＝1900米．答：

这座山的高度是坡度