动力学中三种典型物理模型.docx

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动力学中三种典型物理模型

专题强化四　动力学中三种典型物理模型

专题解读

1.本专题是动力学方法在三类典型模型问题中的应用，其中等时圆模型常在选择题中考查，而滑块—木板模型和传送带模型常以计算题压轴题的形式命题.

2.通过本专题的学习，可以培养同学们审题能力、建模能力、分析推理能力和规范表达等物理学科素养，针对性的专题强化，通过题型特点和解题方法的分析，能帮助同学们迅速提高解题能力.

3.用到的相关知识有：

匀变速直线运动规律、牛顿运动定律、相对运动的有关知识.

一、“等时圆”模型

1.两种模型（如图1）

图1

2.等时性的证明

设某一条光滑弦与水平方向的夹角为α，圆的直径为d（如图2）.根据物体沿光滑弦做初速度为零的匀加速直线运动，加速度为a＝gsinα，位移为s＝dsinα，所以运动时间为t0＝

＝

＝

.

图2

即沿同一起点或终点的各条光滑弦运动具有等时性，运动时间与弦的倾角、长短无关.

二、“传送带”模型

1.水平传送带模型

项目

图示

滑块可能的运动情况

情景1

①可能一直加速

②可能先加速后匀速

情景2

①v0>v，可能一直减速，也可能先减速再匀速

②v0＝v，一直匀速

③v0

情景3

①传送带较短时，滑块一直减速到达左端

②传送带较长时，滑块还要被传送带传回右端.其中v0>v返回时速度为v，当v0

2.倾斜传送带模型

项目

图示

滑块可能的运动情况

情景1

①可能一直加速

②可能先加速后匀速

情景2

①可能一直加速

②可能先加速后匀速

③可能先以a1加速后以a2加速

三、“滑块—木板”模型

1.模型特点

滑块（视为质点）置于长木板上，滑块和木板均相对地面运动，且滑块和木板在摩擦力的作用下发生相对滑动.

2.两种位移关系

滑块从木板的一端运动到另一端的过程中，若滑块和木板向同一方向运动，则滑块的位移和木板的位移之差等于木板的长度；若滑块和木板向相反方向运动，则滑块的位移和木板的位移之和等于木板的长度.

命题点一　“等时圆”模型

例1

　如图3所示，ad、bd、cd是竖直面内三根固定的光滑细杆，a、b、c、d位于同一圆周上，a点为圆周的最高点，d点为圆周的最低点.每根杆上都套着一个小滑环（图中未画出），三个滑环A、B、C分别从a、b、c处由静止开始释放，用t1、t2、t3依次表示滑环A、B、C到达d点所用的时间，则（　　）

图3

A.t1t2>t3C.t3>t1>t2D.t1＝t2＝t3

答案　D

解析　如图所示，滑环在下滑过程中受到重力mg和杆的支持力FN作用.设杆与水平方向的夹角为θ，根据牛顿第二定律有mgsinθ＝ma，得加速度大小a＝gsinθ.设圆周的直径为D，则滑环沿杆滑到d点的位移大小x＝Dsinθ，x＝

at2，解得t＝

.可见，滑环滑到d点的时间t与杆的倾角θ无关，即三个滑环滑行到d点所用的时间相等，选项D正确.

变式1

　如图4所示，位于竖直平面内的固定光滑圆环轨道与水平面相切于M点，与竖直墙相切于A点.竖直墙上另一点B与M的连线和水平面的夹角为60°，C是圆环轨道的圆心.已知在同一时刻a、b两球分别由A、B两点从静止开始沿光滑倾斜直轨道AM、BM运动到M点；c球由C点自由下落到M点.则（　　）

图4

A.a球最先到达M点

B.b球最先到达M点

C.c球最先到达M点

D.b球和c球都可能最先到达M点

答案　C

解析　设圆轨道半径为R，据“等时圆”理论，ta＝

＝2

，tb>ta，c球做自由落体运动tc＝

，C选项正确.

命题点二　“传送带”模型

1.水平传送带

水平传送带又分为两种情况：

物体的初速度与传送带速度同向（含物体初速度为0）或反向.

在匀速运动的水平传送带上，只要物体和传送带不共速，物体就会在滑动摩擦力的作用下，朝着和传送带共速的方向变速（若v物v传，则物体减速），直到共速，滑动摩擦力消失，与传送带一起匀速，或由于传送带不是足够长，在匀加速或匀减速过程中始终没达到共速.

计算物体与传送带间的相对路程要分两种情况：

①若二者同向，则Δs＝|s传－s物|；②若二者反向，则Δs＝|s传|＋|s物|.

2.倾斜传送带

物体沿倾角为θ的传送带传送时，可以分为两类：

物体由底端向上运动，或者由顶端向下运动.解决倾斜传送带问题时要特别注意mgsinθ与μmgcosθ的大小和方向的关系，进一步判断物体所受合力与速度方向的关系，确定物体运动情况.

例2

　如图5所示为车站使用的水平传送带模型，其A、B两端的距离L＝8m，它与水平台面平滑连接.现有物块以v0＝10m/s的初速度从A端水平地滑上传送带.已知物块与传送带间的动摩擦因数为μ＝0.6.试求：

图5

（1）若传送带保持静止，物块滑到B端时的速度大小？

（2）若传送带顺时针匀速转动的速率恒为12m/s，则物块到达B端时的速度大小？

（3）若传送带逆时针匀速转动的速率恒为4m/s，且物块初速度变为v0′＝6m/s，仍从A端滑上传送带，求物块从滑上传送带到离开传送带的总时间？

答案　

（1）2m/s　

（2）12m/s　（3）

s

解析　

（1）设物块的加速度大小为a，由受力分析可知

FN＝mg，Ff＝ma，Ff＝μFN

得a＝6m/s2

传送带静止，物块从A到B做匀减速直线运动，

又x＝

＝

m>L＝8m，

则由vB2－v02＝－2aL

得vB＝2m/s

（2）由题意知，物块先加速到v1＝12m/s

由v12－v02＝2ax1，得x1＝

m

故物块先加速后匀速运动

即物块到达B时的速度为vB′＝v1＝12m/s

（3）由题意可知，物块先向右减速后向左加速

①向右减速到v2＝0时

由v22－v0′2＝－2ax2得x2＝3m

由v2＝v0′－at1得t1＝1s

②向左加速到v3＝4m/s时

由v32－v22＝2ax3得x3＝

m

故向左先加速后匀速

由v3＝v2＋at2得t2＝

s

③向左匀速运动v4＝v3＝4m/s

x4＝x2－x3＝

m

由x4＝v4t3得t3＝

s

故t＝t1＋t2＋t3＝

s

变式2

　（2018·湖北荆州模拟）如图6所示为货场使用的传送带的模型，传送带倾斜放置，与水平面夹角为θ＝37°，传送带AB足够长，传送皮带轮以大小为v＝2m/s的恒定速率顺时针转动.一包货物以v0＝12m/s的初速度从A端滑上倾斜传送带，若货物与皮带之间的动摩擦因数μ＝0.5，且可将货物视为质点.（g＝10m/s2，已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）

图6

（1）求货物刚滑上传送带时加速度为多大？

（2）经过多长时间货物的速度和传送带的速度相同？

这时货物相对于地面运动了多远？

（3）从货物滑上传送带开始计时，货物再次滑回A端共用了多长时间？

答案　

（1）10m/s2，方向沿传送带向下

（2）1s　7m

（3）（2＋2

）s

解析　

（1）设货物刚滑上传送带时加速度为a1，货物受力如图所示：

根据牛顿第二定律得

沿传送带方向：

mgsinθ＋Ff＝ma1

垂直传送带方向：

mgcosθ＝FN

又Ff＝μFN

由以上三式得：

a1＝g（sinθ＋μcosθ）＝10×（0.6＋0.5×0.8）m/s2＝10m/s2，方向沿传送带向下.

（2）货物速度从v0减至传送带速度v所用时间设为t1，位移设为x1，则有：

t1＝

＝1s，x1＝

t1＝7m

（3）当货物速度与传送带速度相等时，由于mgsinθ＞μmgcosθ，此后货物所受摩擦力沿传送带向上，设货物加速度大小为a2，则有mgsinθ－μmgcosθ＝ma2，

得：

a2＝g（sinθ－μcosθ）＝2m/s2，方向沿传送带向下.

设货物再经时间t2，速度减为零，则t2＝

＝1s

货物沿传送带向上滑的位移x2＝

t2＝1m

则货物上滑的总距离为x＝x1＋x2＝8m.

货物到达最高点后将沿传送带匀加速下滑，下滑加速度大小等于a2.设下滑时间为t3，则x＝

a2t32，代入解得t3＝2

s.

所以货物从A端滑上传送带到再次滑回A端的总时间为t＝t1＋t2＋t3＝（2＋2

）s.

命题点三　“滑块—木板”模型

如图7所示，解决此模型的基本思路如下：

图7

运动状态

板块速度不相等

板块速度相等瞬间

板块共速运动

处理方法

隔离法

假设法

整体法

具体步骤

对滑块和木板进行隔离分析，弄清每个物体的受力情况与运动过程

假设两物体间无相对滑动，先用整体法算出一起运动的加速度，再用隔离法算出其中一个物体“所需要”的摩擦力Ff；比较Ff与最大静摩擦力Ffm的关系，若Ff>Ffm，则发生相对滑动

将滑块和木板看成一个整体，对整体进行受力分析和运动过程分析

临界条件

①两者速度达到相等的瞬间，摩擦力可能发生突变

②当木板的长度一定时，滑块可能从木板滑下，恰好滑到木板的边缘，二者共速是滑块滑离木板的临界条件

相关知识

时间及位移关系式、运动学公式、牛顿运动定律、动能定理、功能关系等

例3

　（2017·全国卷Ⅲ·25）如图8，两个滑块A和B的质量分别为mA＝1kg和mB＝5kg，放在静止于水平地面上的木板的两端，两者与木板间的动摩擦因数均为μ1＝0.5；木板的质量为m＝4kg，与地面间的动摩擦因数为μ2＝0.1.某时刻A、B两滑块开始相向滑动，初速度大小均为v0＝3m/s.A、B相遇时，A与木板恰好相对静止.设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度大小g＝10m/s2.求：

图8

（1）B与木板相对静止时，木板的速度；

（2）A、B开始运动时，两者之间的距离.

答案　

（1）1m/s，方向与B的初速度方向相同　

（2）1.9m

解析　

（1）滑块A和B在木板上滑动时，木板也在地面上滑动.设A、B和木板所受的摩擦力大小分别为Ff1、Ff2和Ff3，A和B相对于地面的加速度大小分别为aA和aB，木板相对于地面的加速度大小为a1.在滑块B与木板达到共同速度前有

Ff1＝μ1mAg①

Ff2＝μ1mBg②

Ff3＝μ2（m＋mA＋mB）g③

由牛顿第二定律得

Ff1＝mAaA④

Ff2＝mBaB⑤

Ff2－Ff1－Ff3＝ma1⑥

设在t1时刻，B与木板达到共同速度，其大小为v1.由运动学公式有

v1＝v0－aBt1⑦

v1＝a1t1⑧

联立①②③④⑤⑥⑦⑧式，代入已知数据得

v1＝1m/s，方向与B的初速度方向相同⑨

（2）在t1时间间隔内，B相对于地面移动的距离为

sB＝v0t1－

aBt12⑩

设在B与木板达到共同速度v1后，木板的加速度大小为a2.对于B与木板组成的系统，由牛顿第二定律有

Ff1＋Ff3＝（mB＋m）a2⑪

由①②④⑤式知，aA＝aB；再由⑦⑧式知，B与木板达到共同速度时，A的速度大小也为v1，但运动方向与木板相反.由题意知，A和B相遇时，A与木板的速度相同，设其大小为v2.设A的速度大小从v1变到v2所用的时间为t2，则由运动学公式，对木板有

v2＝v1－a2t2⑫

对A有：

v2＝－v1＋aAt2⑬

在t2时间间隔内，B（以及木板）相对地面移动的距离为

s1＝v1t2－

a2t22⑭

在（t1＋t2）时间间隔内，A相对地面移动的距离为

sA＝v0（t1＋t2）－

aA（t1＋t2）2⑮

A和B相遇时，A与木板的速度也恰好相同.因此A和B开始运动时，两者之间的距离为

s0＝sA＋s1＋sB⑯

联立以上各式，并代入数据得

s0＝1.9m⑰

（也可用如图所示的速度—时间图线求解）

变式3

　如图9所示，质量m＝1kg的物块A放在质量M＝4kg木板B的左端，起初A、B静止在水平地面上.现用一水平向左的力F作用在木板B上，已知A、B之间的动摩擦因数为μ1＝0.4，地面与B之间的动摩擦因数为μ2＝0.1，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g＝10m/s2，求：

图9

（1）能使A、B发生相对滑动的F的最小值；

（2）若F＝30N，作用1s后撤去，要想A不从B上滑落，则木板至少多长；从开始到A、B均静止，A的总位移是多少.

答案　

（1）25N　

（2）0.75m　14.4m

解析　

（1）对于A，最大加速度由A、B间的最大静摩擦力决定，即

μ1mg＝mam，am＝4m/s2

对A、B整体F－μ2（M＋m）g＝（M＋m）am，解得F＝25N

（2）设F作用在B上时A、B的加速度分别为a1、a2，撤掉F时速度分别为v1、v2，撤去外力F后加速度分别为a1′、a2′，A、B共同运动时速度为v3，加速度为a3，

对于A　μ1mg＝ma1，得a1＝4m/s2，v1＝a1t1＝4m/s

对于B　F－μ1mg－μ2（M＋m）g＝Ma2，

得a2＝5.25m/s2，v2＝a2t1＝5.25m/s

撤去外力a1′＝a1＝4m/s，a2′＝

＝2.25m/s2

经过t2时间后A、B速度相等v1＋a1′t2＝v2－a2′t2

解得t2＝0.2s

共同速度v3＝v1＋a1′t2＝4.8m/s

从开始到A、B相对静止，A、B的相对位移即为木板最短的长度L

L＝xB－xA＝

＋

－

a1（t1＋t2）2＝0.75m

A、B速度相等后共同在水平面上匀减速运动，加速度a3＝μ2g＝1m/s2

从v3至最终静止位移为x＝

＝11.52m

所以A的总位移为xA总＝xA＋x＝14.4m.

1.（2018·广东东莞质检）如图1所示，AB和CD为两条光滑斜槽，它们各自的两个端点均分别位于半径R和r的两个相切的圆上，且斜槽都通过切点P.设有一重物先后沿两个斜槽从静止出发，由A滑到B和由C滑到D，所用的时间分别为t1和t2，则t1与t2之比为（　　）

图1

A.2∶1B.1∶1C.

∶1D.1∶

答案　B

2.如图2所示，水平方向的传送带顺时针转动，传送带速度大小恒为v＝2m/s，两端A、B间距离为3m.一物块从B端以初速度v0＝4m/s滑上传送带，物块与传送带间的动摩擦因数μ＝0.4，g取10m/s2.物块从滑上传送带至离开传送带的过程中，速度随时间变化的图象是图中的（　　）

图2

答案　B

3.（多选）如图3所示，一足够长的木板静止在粗糙的水平面上，t＝0时刻滑块从木板的左端以速度v0水平向右滑行，木板与滑块之间存在摩擦，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则滑块的v－t图象可能是下列图中的（　　）

图3

答案　BD

4.（多选）如图4所示，表面粗糙、质量M＝2kg的木板，t＝0时在水平恒力F的作用下从静止开始沿水平面向右做匀加速直线运动，加速度a＝2.5m/s2，t＝0.5s时，将一个质量m＝1kg的小铁块（可视为质点）无初速度地放在木板最右端，铁块从木板上掉下时速度是木板速度的一半.已知铁块和木板之间的动摩擦因数μ1＝0.1，木板和地面之间的动摩擦因数μ2＝0.25，g＝10m/s2，则（　　）

图4

A.水平恒力F的大小为10N

B.铁块放上木板后，木板的加速度为2m/s2

C.铁块在木板上运动的时间为1s

D.木板的长度为1.625m

答案　AC

解析　未放铁块时，对木板由牛顿第二定律：

F－μ2Mg＝Ma，解得F＝10N，选项A正确；铁块放上木板后，对木板：

F－μ1mg－μ2（M＋m）g＝Ma′，解得：

a′＝0.75m/s2，选项B错误；0.5s时木板的速度v0＝at1＝2.5×0.5m/s＝1.25m/s，铁块滑离木板时，木板的速度：

v1＝v0＋a′t2＝1.25＋0.75t2，铁块的速度v′＝a铁t2＝μ1gt2＝t2，由题意：

v′＝

v1，解得t2＝1s，选项C正确；铁块滑离木板时，木板的速度v1＝2m/s，铁块的速度v′＝1m/s，则木板的长度为：

L＝

t2－

t2＝

×1m－

×1m＝1.125m，选项D错误；故选A、C.

5.如图5所示为粮袋的传送装置，已知A、B两端间的距离为L，传送带与水平方向的夹角为θ，工作时运行速度为v，粮袋与传送带间的动摩擦因数为μ，正常工作时工人在A端将粮袋放到运行中的传送带上.设最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，重力加速度大小为g.关于粮袋从A到B的运动，以下说法正确的是（　　）

图5

A.粮袋到达B端的速度与v比较，可能大，可能小也可能相等

B.粮袋开始运动的加速度为g（sinθ－μcosθ），若L足够大，则以后将以速度v做匀速运动

C.若μ≥tanθ，则粮袋从A端到B端一定是一直做加速运动

D.不论μ大小如何，粮袋从Α到Β端一直做匀加速运动，且加速度a≥gsinθ

答案　A

解析　若传送带较短，粮袋在传送带上可能一直做匀加速运动，到达B端时的速度小于v；若传送带较长，μ≥tanθ，则粮袋先做匀加速运动，当速度与传送带的速度相同后，做匀速运动，到达B端时速度与v相同；若μ＜tanθ，则粮袋先做加速度为g（sinθ＋μcosθ）的匀加速运动，当速度与传送带相同后做加速度为g（sinθ－μcosθ）的匀加速运动，到达B端时的速度大于v，选项A正确；粮袋开始时速度小于传送带的速度，相对传送带的运动方向是沿传送带向上，所以受到沿传送带向下的滑动摩擦力，大小为μmgcosθ，根据牛顿第二定律得加速度a＝

＝g（sinθ＋μcosθ），选项B错误；若μ≥tanθ，粮袋从A到B可能是一直做匀加速运动，也可能先匀加速运动，当速度与传送带的速度相同后，做匀速运动，选项C、D均错误.

6.如图6所示，倾角为θ＝37°的传送带始终保持以v＝5m/s的速率顺时针匀速转动，AB两端距离d＝15.25m.现将一物块（可视为质点）无初速度从A端放上传送带，物块与传送带间的动摩擦因数μ＝0.5，取g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，求物块到达B端时的速度大小和物块从A端运动到B端所用的时间.

图6

答案　9m/s　2.5s

解析　设物块由静止运动到传送带速度v＝5m/s的过程，其加速度为a1，运动时间为t1，位移为x1，由牛顿第二定律和运动学规律有

mgsinθ＋μmgcosθ＝ma1

v＝a1t1

x1＝

a1t12

代入数据解得a1＝10m/s2，t1＝0.5s，x1＝1.25m

由于x1＝1.25mμmgcos37°，物块将继续向下做匀加速运动.

设物块此后运动的加速度为a2，运动时间为t2，位移为x2，到B端的速度为vB，由牛顿第二定律和运动学规律，有

mgsinθ－μmgcosθ＝ma2

x2＝d－x1＝vt2＋

a2t22

vB＝v＋a2t2

代入数据解得a2＝2m/s2，t2＝2s，vB＝9m/s

物块从A端运动到B端所用时间为t，有t＝t1＋t2＝2.5s

7.（2018·青海西宁调研）图7甲为一转动的传送带AB，传送带以恒定的速率v逆时针转动.在传送带的左侧边缘的B点有一滑块，若让滑块以初速度v1＝3m/s冲上传送带，滑块运动的v－t图象如图乙中a所示，若让滑块以初速度v2＝6m/s冲上传送带，滑块运动的v－t图象如图乙中b所示.g取10m/s2，试求：

图7

（1）传送带的长度l和传送带与物块之间的动摩擦因数μ；

（2）滑块以初速度v1＝3m/s冲上传送带时，滑块返回B点的时间.

答案　

（1）32m　0.05　

（2）12.5s

解析　

（1）根据v－t图象，滑块以初速度v2＝6m/s冲上传送带时，在t＝8s时刻，到达A点，所以传送带的长度l＝

×（6＋2）×8m＝32m

根据图线a或者图线b，滑块的加速度大小为a＝

＝0.5m/s2

根据牛顿第二定律得μmg＝ma

解得传送带与滑块之间的动摩擦因数μ＝0.05

（2）滑块在0～6s和6～ts内的位移大小相等，方向相反

×6×3m＝

×（t－6＋t－10）×2m

滑块返回B点的时间t＝12.5s.

8.如图8所示，质量M＝1kg的木板A静止在水平地面上，在木板的左端放置一个质量m＝1kg的铁块B（大小可忽略），铁块与木块间的动摩擦因数μ1＝0.3，木板长L＝1m，用F＝5N的水平恒力作用在铁块上，g取10m/s2.

图8

（1）若水平地面光滑，计算说明铁块与木板间是否会发生相对滑动；

（2）若木板与水平地面间的动摩擦因数μ2＝0.1，求铁块运动到木板右端所用的时间.

答案　见解析

解析　

（1）A、B之间的最大静摩擦力为

Ffm>μ1mg＝0.3×1×10N＝3N

假设A、B之间不发生相对滑动则

对A、B整体：

F＝（M＋m）a

对B：

FfAB＝ma

解得：

FfAB＝2.5N

因FfAB

（2）A、B之间发生相对滑动，则

对B：

F－μ1mg＝maB

对A：

μ1mg－μ2（M＋m）g＝MaA

据题意：

xB－xA＝L；xA＝

aAt2；xB＝

aBt2

解得：

t＝

s.