小波变换课件第1章Haar小波.docx
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小波变换课件第1章Haar小波
第1章Haar小波分析
1.1简介
(近距离---小尺度)
(高分辨率)
(远距离---大尺度)
(低分辨率)
1.2平均与细节
●设是一个信号序列。
定义它的平均和细节:
找出了、和、的关系。
这里,是原信号前两个值、的平均。
又叫低频成分,反映前两个值、的基本特征或粗糙趋势;反映了、的差别,即细节信息,又叫高频成分。
找出了、和、的关系。
同样,是原信号后两个值、的平均,反映了、的细节。
我们把看作是对实施了一次变换的结果。
变换还可以往下进行:
=
=
是对4个信号元素最终的平均,它是原信号最基本的信息;。
经过二次变换,我们得到了原信号的另一种表示:
该序列叫做原序列的小波变换,叫做小波系数。
还可以反过来表示:
这是用{,}来恢复原信号、;
用{,}来恢复原信号、。
也就是反变换。
●小波变换过程的塔式算法:
例如,={3,1,-2,4}
最终的小波变换为=
1.3尺度函数与小波函数
(1)Haar尺度函数
不压缩:
不位移位移一个单位位移k个单位
压缩1/倍,不位移压缩1/倍,位移一个单位压缩1/倍,移位K个单位
一般,
◆几个术语
1)支撑(支集),(尺度)函数不为零的区间,上例中为。
2)支撑的宽度,Haar尺度函数的宽度为。
3)为分辨率,越大,尺度越小,分辨率越高。
4)=为尺度。
(分辨率越高,尺度越小)
(2).Haar小波函数
◆Haar小波函数与尺度函数的关系
v不平移、不压缩;平移一个单位;………平移K个单位。
v不平移,压缩1/倍;…先平移一个单位,再压缩1/倍,…平移个K单位,再压缩1/倍。
◆Haar小波函数的一般形式:
=,
位移k个单位,压缩倍。
(3).分段常数函数
也可将序列看成分段常数序列。
用尺度函数和小波函数描述分段常数函数
++
写成
=
重写
+
+
故得
=+
注释:
序列可由尺度函数和小波函数的系数来表示,既
为的小波变换(系数)。
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
1.5小波变换的计算
♦设是长度为(是大于1的整数)的离散序列,记为。
函数展开为
(1-20)
将函数做一次小波分解,得
(1-21)
重复分解多次,可得在不同尺度下尺度函数和小波函数的展开式。
♦归一化尺度函数和小波函数
归一化又叫做标准化或规范化,计算方法如下:
,(限制在横轴0之间)
=
标准化尺度函数
仍记为
(1-22)
同理,可得标准化Haar小波函数
(1-23)
◆标准化二尺度方程
(1-24,1-25)
注释:
标准化函数的物理意义是,尺度函数和小波函数在不同分辨率下具有相同的能量,从而可推出信号进行小波变换前、后能量相等,既
=+
♦如何从快速计算小波变换系数:
♣重写(1-21)式
♣现将式(1-21)二端在范围内对做内积,得
=
==(1-26)
注释:
这里正交性保证了(1-26)式右边只有一项内积不为零;尺度函数的标准化保证了积分结果为1。
♣再将式(1-20),即代入(1-26),左边得
==
注释:
若设k=0,则=
①
所以,
=
②
所以,
=
=
因此,
=
即
♣一般有,
,
=
注释:
1)归一化后,
2)关于积分
=
♣同理,有小波系数
=
1.7小波变换的滤波器组实现―――Mallat算法
1.7.1离散序列的巻积
已知序列
做巻积的两个序列的长度不一定相等。
1)由巻积公式求巻积:
记为与巻积后得到的新序列,为第个元素,则
==
[例1-1]={1,0.1,-1}m=2;={0.1,1,0.1,-1}k=3,
求卷积和。
①简便算法
从下面序列最右边一项开始,分别与
上面序列各项相乘,直到下面序列最
左边一项完成同样相乘,再按列相加。
这种方法结果序列下标是原两序列下
标位的代数和确定的。
利用这种方法,
卷积和可一次计算出来,而且下标确
定简单。
②用MATLAB实现:
a=[0.1,1,0.1,-1];
b=[1,0.1,-1];
y=conv(a,b)
ans=
0.10001.01000.1000-1.9900-0.20001.0000
③滑尺法
两序列0点对齐,计算对应元素乘积并求和得y(0);
下列向右滑动一位,再计算各对应元素乘积并求和,
得y
(1);……直到所有n>0情况下对应元素乘积再
求和等于零为止。
回到两序列0点对齐位置,向左
滑动一位,计算各对应元素乘积并求和得y(-1);再
向左滑动一位,……,直到所有n<0情况下对应元素乘积再求和等于零为止。
这种方法最大优点是结果的下标确定直观,但计算稍复杂。
2)域中的巻积
[例1-2],=
将序列中的每一项转换为的多项式,得
=
=
=
所以,={3,8,1,-2}。
1.7.2二通道滤波器组
高频成分(细节)
低频成分(近似或概貌)
受污染信号
分析滤波器综合滤波器
♦虚线左:
分析滤波器
1)信号通过两路互补对称的
滤波器后,整个频带被划分为
二,得到近似和细节二路信
号。
每路信频宽带是原来的
一半。
2)若原始信号由1000个点,
通过两路互补对称的滤波
器后,共得到2000个点,存
在信息冗余。
3)增加抽样器可减少滤波器
输出数据冗余。
表示2抽取(2元下采样),信号带宽减半,采样率减半,不引起信息丢失。
♦虚线右:
综合滤波器――用来恢复原信号。
低通滤波器;
高通滤波器。
♦二元下抽样:
用表示,每隔一个元素抽取一个,定义算子D:
若,那么二元下抽样序列为
D
或(D
♦对于分析滤波器:
输入信号与低通滤波器做卷积,再进行二元下抽样,得到低频系数;
输入信号与低通滤波器做卷积,再进行二元下抽样,得到高频系数;
♦对于综合滤波器:
低频系数进行二元上抽样后再与低通滤波器做卷积;
高频系数进行二元上抽样后再与高通滤波器做卷积,两个序列相加得到重构信号;
♦二元上抽样
用表示,向序列中每隔一个元素插入一个零,组成一个新序列,定义算子U:
若,那么二元上抽样序列为
U
或
1.7.2小波变换的滤波器组算法
◆对于二尺度方程
改写成和,
则系数序列为和。
令=,=。
可以验证
◆和就是我们以后要用到的滤波器,记,其中,称为的时序反转。
特别是对于Haar小波,有
◆小波变换的滤波器组算法
1)分析滤波器实现Haar小波分解
对于任一长度为的输入序列,利用求平均和细节的方法,可得低频分量和高频分量:
=
其中,
小波变换的滤波器组算法,就是输入序列对滤波器系数作巻积。
为此先将原信号序列补零扩展成无穷序列,再作巻积。
从而,
500个
1000个
500个
图1-15用分析滤波器实现Haar小波变换
2)用综合滤波器实现Haar小波重构
先作上抽样,再与滤波器作巻积。
于是,
Haar小波重构计算公式为
图1-16用综合滤波器实现Haar小波重构
………………………………………………………………………………………
[例1.4]输入信号,用Haar小波滤波器组算法实现信号的小波分解和重构。
首先将有限信号通过两端补零的方法,将嵌入一个无限长的信号{…0,0,a,b,0,0,…}中,
=,
={1,1},={1,-1}
()
=,
={},={}
(b)
,
={1,1},
(c)
图18(续)
[例1.5]设信号={4,-2,1,3},用Haar小波滤波器组,实现信号的小波分解与重构。
图19{4,-2,1,3}的小波滤波器组的小波分解与重构
图19(续)
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