离散数学第1章习题解答.docx
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离散数学第1章习题解答
习题
1.下列句子中,哪些是命题?
哪些不是命题?
如果是命题,指出它的真值。
⑴中国有四大发明。
⑵计算机有空吗?
⑶不存在最大素数。
⑷21+3<5。
⑸老王是山东人或河北人。
⑹2与3都是偶数。
⑺小李在宿舍里。
⑻这朵玫瑰花多美丽呀!
⑼请勿随地吐痰!
⑽圆的面积等于半径的平方乘以。
⑾只有6是偶数,3才能是2的倍数。
⑿雪是黑色的当且仅当太阳从东方升起。
⒀如果天下大雨,他就乘班车上班。
解:
⑴⑶⑷⑸⑹⑺⑽⑾⑿⒀是命题,其中⑴⑶⑽⑾是真命题,⑷⑹⑿是假命题,⑸⑺⒀的真值目前无法确定;⑵⑻⑼不是命题。
2.将下列复合命题分成若干原子命题。
⑴李辛与李末是兄弟。
⑵因为天气冷,所以我穿了羽绒服。
⑶天正在下雨或湿度很高。
⑷刘英与李进上山。
⑸王强与刘威都学过法语。
⑹如果你不看电影,那么我也不看电影。
⑺我既不看电视也不外出,我在睡觉。
⑻除非天下大雨,否则他不乘班车上班。
解:
⑴本命题为原子命题;
⑵ p:
天气冷;q:
我穿羽绒服;
⑶ p:
天在下雨;q:
湿度很高;
⑷ p:
刘英上山;q:
李进上山;
⑸ p:
王强学过法语;q:
刘威学过法语;
⑹ p:
你看电影;q:
我看电影;
⑺ p:
我看电视;q:
我外出;r:
我睡觉;
⑻ p:
天下大雨;q:
他乘班车上班。
3.将下列命题符号化。
⑴他一面吃饭,一面听音乐。
⑵3是素数或2是素数。
⑶若地球上没有树木,则人类不能生存。
⑷8是偶数的充分必要条件是8能被3整除。
⑸停机的原因在于语法错误或程序错误。
⑹四边形ABCD是平行四边形当且仅当它的对边平行。
⑺如果a和b是偶数,则a+b是偶数。
解:
⑴ p:
他吃饭;q:
他听音乐;原命题符号化为:
p∧q
⑵ p:
3是素数;q:
2是素数;原命题符号化为:
p∨q
⑶ p:
地球上有树木;q:
人类能生存;原命题符号化为:
p→q
⑷ p:
8是偶数;q:
8能被3整除;原命题符号化为:
p↔q
⑸ p:
停机;q:
语法错误;r:
程序错误;原命题符号化为:
q∨r→p
⑹ p:
四边形ABCD是平行四边形;q:
四边形ABCD的对边平行;原命题符号化为:
p↔q。
⑺ p:
a是偶数;q:
b是偶数;r:
a+b是偶数;原命题符号化为:
p∧q→r
4.将下列命题符号化,并指出各复合命题的真值。
⑴ 如果3+3=6,则雪是白的。
⑵如果3+3≠6,则雪是白的。
⑶如果3+3=6,则雪不是白的。
⑷如果3+3≠6,则雪不是白的。
⑸
是无理数当且仅当加拿大位于亚洲。
⑹2+3=5的充要条件是
是无理数。
(假定是10进制)
⑺若两圆O1,O2的面积相等,则它们的半径相等,反之亦然。
⑻当王小红心情愉快时,她就唱歌,反之,当她唱歌时,一定心情愉快。
解:
设p:
3+3=6。
q:
雪是白的。
⑴ 原命题符号化为:
p→q;该命题是真命题。
⑵ 原命题符号化为:
p→q;该命题是真命题。
⑶ 原命题符号化为:
p→q;该命题是假命题。
⑷ 原命题符号化为:
p→q;该命题是真命题。
⑸ p:
是无理数;q:
加拿大位于亚洲;原命题符号化为:
p↔q;该命题是假命题。
⑹ p:
2+3=5;q:
是无理数;原命题符号化为:
p↔q;该命题是真命题。
⑺ p:
两圆O1,O2的面积相等;q:
两圆O1,O2的半径相等;原命题符号化为:
p↔q;该命题是真命题。
⑻ p:
王小红心情愉快;q:
王小红唱歌;原命题符号化为:
p↔q;该命题是真命题。
习题
1.判断下列公式哪些是合式公式,哪些不是合式公式。
⑴(p∧q→r)
⑵(p∧(q→r)
⑶((p→q)↔(r∨s))
⑷(p∧q→rs)
⑸((p→(q→r))→((q→p)↔q∨r))。
解:
⑴⑶⑸是合式公式;⑵⑷不是合式公式。
2.设p:
天下雪。
q:
我将进城。
r:
我有时间。
将下列命题符号化。
⑴天没有下雪,我也没有进城。
⑵如果我有时间,我将进城。
⑶如果天不下雪而我又有时间的话,我将进城。
解:
⑴p∧q
⑵r→q
⑶p∧r→q
3.设p、q、r所表示的命题与上题相同,试把下列公式译成自然语言。
⑴r∧q
⑵¬(r∨q)
⑶q↔(r∧¬p)
⑷(q→r)∧(r→q)
解:
⑴我有时间并且我将进城。
⑵我没有时间并且我也没有进城。
⑶我进城,当且仅当我有时间并且天不下雪。
⑷如果我有时间,那么我将进城,反之亦然。
4.试把原子命题表示为p、q、r等,将下列命题符号化。
⑴或者你没有给我写信,或者它在途中丢失了。
⑵如果张三和李四都不去,他就去。
⑶我们不能既划船又跑步。
⑷如果你来了,那末他唱不唱歌将看你是否伴奏而定。
解:
⑴p:
你给我写信;q:
信在途中丢失;原命题符号化为:
(p∧q)∨(p∧q)。
⑵ p:
张三去;q:
李四去;r:
他去;原命题符号化为:
p∧q→r。
⑶ p:
我们划船;q:
我们跑步;原命题符号化为:
(p∧q)。
⑷ p:
你来了;q:
他唱歌;r:
你伴奏;原命题符号化为:
p→(q↔r)。
5.用符号形式写出下列命题。
⑴假如上午不下雨,我去看电影,否则就在家里读书或看报。
⑵我今天进城,除非下雨。
⑶仅当你走,我将留下。
解:
⑴ p:
上午下雨;q:
我去看电影;r:
我在家读书;s:
我在家看报;原命题符号化为:
(p→q)∧(p→r∨s)。
⑵ p:
我今天进城;q:
天下雨;原命题符号化为:
q→p。
⑶ p:
你走;q:
我留下;原命题符号化为:
q→p。
习题
1.设A、B、C是任意命题公式,证明:
⑴AA
⑵若AB,则BA
⑶若AB,BC,则AC
证明:
⑴由双条件的定义可知A↔A是一个永真式,由等价式的定义可知AA成立。
⑵因为AB,由等价的定义可知A↔B是一个永真式,再由双条件的定义可知B↔A也是一个永真式,所以,BA成立。
⑶对A、B、C的任一赋值,因为AB,则A↔B是永真式,即A与B具有相同的真值,又因为BC,则B↔C是永真式,即B与C也具有相同的真值,所以A与C也具有相同的真值;即AC成立。
2.设A、B、C是任意命题公式,
⑴若A∨CB∨C,AB一定成立吗?
⑵若A∧CB∧C,AB一定成立吗?
⑶若¬A¬B,AB一定成立吗?
解:
⑴不一定有AB。
若A为真,B为假,C为真,则A∨CB∨C成立,但AB不成立。
⑵不一定有AB。
若A为真,B为假,C为假,则A∧CB∧C成立,但AB不成立。
⑶一定有AB。
3.构造下列命题公式的真值表,并求成真赋值和成假赋值。
⑴q∧(p→q)→p
⑵p→(q∨r)
⑶(p∨q)↔(q∨p)
⑷(p∧q)∨(r∧q)→r
⑸((¬p→(p∧¬q))→r)∨(q∧¬r)
解:
⑴ q∧(p→q)→p的真值表如表所示。
表
p
q
p→q
q∧(p→q)
q∧(p→q)→p
0
0
1
0
1
0
1
1
1
0
1
0
0
0
1
1
1
1
1
1
使得公式q∧(p→q)→p成真的赋值是:
00,10,11,使得公式q∧(p→q)→p成假的赋值是:
01。
⑵ p→(q∨r)的真值表如表所示。
表
p
q
r
q∨r
p→(q∨r)
0
0
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
0
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
使得公式p→(q∨r)成真的赋值是:
000,001,010,011,101,110,111,使得公式p→(q∨r)成假的赋值是:
100。
⑶ (p∨q)↔(q∨p)的真值表如表所示。
表
p
q
p∨q
q∨p
(p∨q)↔(q∨p)
0
0
0
0
1
0
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
所有的赋值均使得公式(p∨q)↔(q∨p)成真,即(p∨q)↔(q∨p)是一个永真式。
⑷ (p∧q)∨(r∧q)→r的真值表如表所示。
表
p
q
r
q
p∧q
r∧q
(p∧q)∨(r∧q)
(p∧q)∨(r∧q)→r
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
1
1
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
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0
0
1
1
0
1
0
1
0
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0
1
1
1
1
0
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
1
使得公式(p∧q)∨(r∧q)→r成真的赋值是:
000,001,010,011,101,110,111,使得公式(p∧q)∨(r∧q)→r成假的赋值是:
100。
⑸((p→(p∧q))→r)∨(q∧r)的真值表如表所示。
表
p
q
r
p∧q
p→(p∧q)
(p→(p∧q))→r
q∧r
((p→(p∧q))→r)∨(q∧r)
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
0
1
1
1
0
1
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0
0
1
0
1
1
0
0
1
1
0
0
0
1
0
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1
1
0
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
1
1
0
1
1
0
1
使得公式((p→(p∧q))→r)∨(q∧r)成真的赋值是:
000,001,010,011,101,110,111,使得公式((p→(p∧q))→r)∨(q∧r)成假的赋值是:
100。
4.用真值表证明下列等价式:
⑴(p→q)p∧q
证明:
证明(p→q)p∧q的真值表如表所示。
表
p
q
p→q
(p→q)
q
p∧q
0
0
1
0
1
0
0
1
1
0
0
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
0
0
0
由上表可见:
(p→q)和p∧q的真值表完全相同,所以(p→q)p∧q。
⑵p→qq→p
证明:
证明p→qq→p的真值表如表所示。
表
p
q
p→q
p
q
q→p
0
0
1
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
0
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
由上表可见:
p→q和q→p的真值表完全相同,所以p→qq→p。
⑶(p↔q)p↔q
证明:
证明(p↔q)和p↔q的真值表如表所示。
表
p
q
p↔q
(p↔q)
q
p↔q
0
0
1
0
1
0
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
0
0
0
由上表可见:
(p↔q)和p↔q的真值表完全相同,所以(p↔q)p↔q。
⑷p→(q→r)(p∧q)→r
证明:
证明p→(q→r)和(p∧q)→r的真值表如表所示。
表
p
q
r
q→r
p→(q→r)
p∧q
(p∧q)→r
0
0
0
1
1
0
1
0
0
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1
0
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0
1
0
0
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0
0
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0
0
0
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0
1
1
1
1
1
1
1
由上表可见:
p→(q→r)和(p∧q)→r的真值表完全相同,所以p→(q→r)(p∧q)→r。
⑸p→(q→p)p→(p→q)
证明:
证明p→(q→p)和p→(p→q)的真值表如表所示。
表
p
q
q→p
p→(q→p)
p
q
p→q
p→(p→q)
0
0
1
1
1
1
1
1
0
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1
1
1
1
0
0
0
1
由上表可见:
p→(q→p)和p→(p→q)的真值表完全相同,且都是永真式,所以p→(q→p)p→(p→q)。
⑹(p↔q)(p∨q)∧(p∧q)
证明:
证明(p↔q)和(p∨q)∧(p∧q)的真值表如表所示。
表
p
q
p↔q
(p↔q)
p∨q
p∧q
(p∧q)
(p∨q)∧(p∧q)
0
0
1
0
0
0
1
0
0
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0
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0
0
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1
0
1
1
1
1
1
0
1
1
0
0
由上表可见:
(p↔q)和(p∨q)∧(p∧q)的真值表完全相同,所以(p↔q)(p∨q)∧(p∧q)
⑺(p↔q)(p∧q)∨(p∧q)
证明:
证明(p↔q)和(p∧q)∨(p∧q)的真值表如表所示。
表
p
q
p↔q
(p↔q)
p∧q
p∧q
(p∧q)∨(p∧q)
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
0
0
0
0
由上表可见:
(p↔q)和(p∧q)∨(p∧q)的真值表完全相同,所以(p↔q)(p∧q)∨(p∧q)。
⑻p→(q∨r)(p∧q)→r
证明:
证明p→(q∨r)和(p∧q)→r的真值表如表所示。
表
p
q
r
q∨r
p→(q∨r)
q
p∧q
(p∧q)→r
0
0
0
0
1
1
0
1
0
0
1
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1
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0
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0
0
0
0
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0
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0
1
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1
1
1
1
1
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
0
0
1
由上表可见:
p→(q∨r)和(p∧q)→r的真值表完全相同,所以p→(q∨r)(p∧q)→r。
5.用等价演算证明习题4中的等价式。
⑴(p→q)
(p∨q)(条件等价式)
p∧q(德·摩根律)
⑵q→p
q∨p(条件等价式)
q∨p(双重否定律)
p∨q(交换律)
p→q(条件等价式)
⑶(p↔q)
((p→q)∧(q→p))(双条件等价式)
((p∨q)∧(q∨p))(条件等价式)
(p∧q)∨(q∧p)(德·摩根律)
((p∧q)∨q)∧((p∧q)∨p)(分配律)
(p∨q)∧(q∨p)(分配律)
(p∨q)∧(q∨p)(交换律)
(p→q)∧(q→p)(条件等价式)
p↔q(双条件等价式)
⑷p→(q→r)
p∨(q∨r)(条件等价式)
(p∨q)∨r(结合律)
(p∧q)∨r(德·摩根律)
(p∧q)→r(条件等价式)
⑸p→(q→p)
p∨(q∨p)(条件等价式)
T
p→(p→q)
p∨(p∨q)(条件等价式)
T
所以p→(q→p)p→(p→q)
⑹(p↔q)
((p∧q)∨(p∧q))(例
(p∨q)∧(p∨q)(德·摩根律)
(p∨q)∧(p∧q)(德·摩根律)
所以(p↔q)(p∨q)∧(p∧q)
⑺(p↔q)
((p→q)∧(q→p))(双条件等价式)
((p∨q)∧(q∨p))(条件等价式)
(p∧q)∨(p∧q)(德·摩根律)
⑻p→(q∨r)
p∨(q∨r)(条件等价式)
(p∨q)∨r(结合律)
(p∧q)∨r(德·摩根律)
(p∧q)→r(条件等价式)
6.试用真值表证明下列命题定律。
⑴结合律:
(p∨q)∨rp∨(q∨r),(p∧q)∧rp∧(q∧r)
证明:
证明结合律的真值表如表和表所示。
表
p
q
r
p∨q
(p∨q)∨r
q∨r
p∨(q∨r)
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
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0
1
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1
1
1
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0
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0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
表
p
q
r
p∧q
(p∧q)∧r
q∧r
p∧(q∧r)
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
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0
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0
0
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0
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1
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
由真值表可知结合律成立。
⑵分配律:
p∧(q∨r)(p∧q)∨(p∧r),
p∨(q∧r)(p∨q)∧(p∨r)
证明:
证明合取对析取的分配律的真值表如表所示,析取对合取的的分配律的真值表如表所示。
表
p
q
r
q∨r
p∧(q∨r)
p∧q
p∧r
(p∧q)∨(p∧r)
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
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0
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1
1
1
1
1
1
表
p
q
r
q∧r
p∨(q∧r)
p∨q
p∨r
(p∨q)∧(p∨r)
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1
由真值表可知分配律成立。
⑶假言易位式:
p→qq→p
证明:
证明假言易位式的真值表如表所示。
表
p
q
p→q
q
p
q→p
0
0
1
1
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1
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1
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由真值表可知假言易位律成立。
⑷双条件否定等价式:
p↔qp↔q
证明:
证明双条件否定的真值表如表所示。
表
p
q
p↔q
p
q
p↔q
0
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1
1
1
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1
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0
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由真值表可知双条件否定等价式成立。
习题
1.用真值表或等价演算判断下列命题公式的类型。
⑴(p∨q)→q
(p∨q)∨q(条件等价式)
(p∧q)∨q(德·摩根律)
q(可满足式)(吸收律)
⑵(p→q)∧q
(p∨q)∧q(条件等价式)
(p∧q)∧q(德·摩根律)
F(永假式)(结合律、矛盾律)
⑶(p→q)∧p→q
(p∨q)∧p→q(条件等价式)
(p∧p)∨(q∧p)→q(分配律)
(q∧p)→q(同一律、矛盾律)
(q∧p)∨q(条件等价式)
(q∨p)∨q(德·摩根律)
T(永真式)(零律、排中律)
⑷(p→q)∧q
(p∨q)∧q(条件等价式)
q(可满足式)(吸收律)
⑸(p→q)→(q→p)
(p→q)→(p→q)(假言易位式)
T(永真式)
⑹((p→q)∧(q→r))→(p→r)
((p∨q)∧(q∨r))∨(p∨r)(条件等价式)
(p∧q)∨(q∧r)∨(p∨r)(德·摩根律)
(p∧q)∨((p∨q∨r)∧(p∨r∨r))(分配律)
(p∧q)∨(p∨q∨r)(同一律、排中律、零律)
(p∨q∨r∨p)∧(p∨q∨r∨q)(分配律)
T(永真式)
⑺p→(p→q)
p∨(p∨q)(条件等价式)
T(永真式)
⑻p→(p∨q∨r)
p∨(p∨q∨r)(条件等价式)
T(永真式)
2.用真值表证明下列命题公式是重言式。
⑴(p∧(p→q))→q
(p∧(p→q))→q的真值表如表所示。
由表可以看出(p∧(p→q))→q是重言式。
表
p
q
p→q
p∧(p→q)
(p∧(p→q))→q
0
0
1
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1
0
1
1
0
1
1
0
0
0
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1
1
1
⑵(q∧(p→q))→p
(q∧(p→q))→p的真值表如表所示。
由表可以看出(q∧(p→q))→p是重言式。
表
p
q
p→q
q
q∧(p→q)
p
(q∧(p→q))→p
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1
1
1
1
1
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1
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0
1
1
1
1
0
0
0
1
⑶(p∧(p∨q))→q
(p∧(p∨q))→q的真值表如表所示。
由表可以看出(p∧(p∨q))→q是重言式。
表
p
q
p∨q
p
p∧(p∨q)
(p∧(p∨q))→q
0
0
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