定积分与微积分基本定理随堂练习含答案doc.docx
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定积分与微积分基本定理随堂练习含答案doc
定积分与微积分基本定理
基础巩固强化
1.(2011•宁夏银川一中月考)求曲线与y=x所围成图形的面
积,其中正确的是()
[答案]B
[分析]根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数.
[解析]两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,,故函数y=疽与y=x所围成图形的面积S=C\x~x2)dx.
[答案]C
[解析]图中阴影部分面积为
S=「(3-x2-2x)dx=(3x%2)l-3=~3~-
J-3
3.J2a/4—x2dx=()
A.4ttB.2ti
C.71D.t
[答案]c
[解析]令y=.4_x2,则x2+y2=4(y^0),由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积,
.*.S=^XkX22=7t.
Cz,乙R
t
4.
0
0"1
已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为”甲和”乙(如图所示).那么对于图中给定的姑和S下列判断中一定正确的是()
A.在h时刻,甲车在乙车前面
B.在4口寸刻,甲车在乙车后面
C.在而时刻,两车的位置相同
D.t.时刻后,乙车在甲车前面
[答案]A
[解析]判断甲、乙两车谁在前,谁在后的问题,实际上是判断在如4时刻,甲、乙两车行驶路程的大小问题.根据定积分的几何意义知:
车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积分,即速度函数NO的图象与,轴以及时间段围成区域的面积.从图象知:
在「0时刻,"甲的图象与♦轴和t=0,t=tQ围成区域的面积大于华的图象与♦轴和f=0,围成区域的面积,因此,在£。
时刻,甲车在乙车的前面,而且此时乙车的速度刚刚赶上甲车的速度,所以选项C,D错误;同样,在》时刻,"甲的图象与£轴和t=t{围成区域的面积,仍然大于"乙的图象与F轴和t=tx围成区域的面积,所以,可以断定:
在4时刻,甲车还是在乙车的前面.所以选A.
IT7T
5.(2012-山东日照模拟)向平面区域Q={(x,y)|—云,
OW)W1}内随机投掷一点,该点落在曲线y=cos2x下方的概率是
d.2
71
A71a-4
B.?
[答案]D
[解析]平面区域。
是矩形区域,其面积是3,在这个区
域中尚线y=cos2工下方区域的面积是J12Lcos2ad27=―4
・八17t1
2.@cos2t(1t=2(—sin2x)|g=l.故所求的概率是一=Z2L
—.故选D.
7C
「_7£
27t
6.-(sinr—cosx)ck的值是()
71
A.0B.$C.2D.-2
[答案]D
r7t7t
[角卒析]2(sinx-cosx)dx=(一cosx-sinx)?
=_
l+xOWxWl
[解析]..•>=
2.
3-x1 -11-x\)dx= *(1+x)dx+o _x)dx =(x++(3x-p)K=|+|=3. 8.(2010-芜湖十二中)已知函数人x)=3J+2x+1,若Ji-\f(x)dx=2f(ci)成立,则。 =. [答案]-1[解析].•尸-顷=尸一1(3J+2x+1)dx=(x3+J+尤)|! ]= 4,Ji-\f{x)Ax=2/(^1),.,南? ++2=4, a=-I或: . TT1 9.欧口a=/^o(sinx+cosx)(ir,则二项式(a\[x—j=)6的展开式中 2yjx 含尤2项的系数是. [答案]—192 7T71 [解析]由已知得a=f2()(sirLv+cosx)dx=(-cosx+sinx)0o= (si号-cos,)-(sinO-cosO)=2, (2山-十)6的展开式中第,+1项是Tr+1=(-l)rxqx26-rx? -yjx 令3-r=2得,Ll,故其系数为(-1)】XC;X25=-192. 10.有一条直线与抛物线y=x2相交于*、B两点,线段AB与抛 4 物线所围成图形的面积恒等于%求线段的中点P的轨迹方程. [解析]设直线与抛物线的两个交点分别为A(①q2),B(b,。 2),不妨设a 则直线"的方程为尸疽=芬淀"即y=(。 +b)x-ab. 则直线A8与抛物线围成图形的面积为S=Cb[(a+b)x~ab-x2]dx)a 号= _q)'. •••加3)3号 解得b~a=2.设线段AB的中点坐标为P(x,y), X= 其中< 。 +b a21-b2 2 将b-a=2代入得 x=a+1, y=疽+2。 +2. 消去。 得y=x2+1. .・・线段AB的中点P的轨迹方程为y=/+i. 能力拓展提升 11.(2012-郑州二测)等比数列{□〃}中,久=6,前三项和53=J34xck 则公比g的值为() A.1 B. C.1或一! D. [答案]C 「4对尤=2瑚=18, 2q2-q-\=0.解得q=l或q=-? 故选C. [解析]因为&= 所以'+§+6=18,化简得qq 12.(2012-太原模拟)已知(xliix)7=lnx+l,则plnxck=() A.1B.eC.e—1D.e+1 [答案]A [解析]由Qdn对=lax+l,联想到(x\nx-x)f=(hu+l)-1= Inx,于是plnxdx=(x\nx-x)\ei=(e\ne-e)-(1Xlnl-1)=1. 13.抛物线)F=2尤与直线y=4-x围成的平面图形的面积为 1答案]18 y~=2x, [解析]由方程组卜…,解得两交点心)、瑚,-4), 选y作为积分变量x=;、x=4-y, 223 ・・・S=f2[(4-力号曲=(4、号_言)1? 4=18. J-4 14. 已知函数f(x)=ex—l,直线,i: x=Ll2: y=e'—l(r为常数,且OW,W1).直线与函数/(X)的图象围成的封闭图形如图中区域II所示,其面积用,表示.直线如y轴与函数犬工)的图象围成的封闭图形如图中区域I所示,其面枳用表示.当[变化时,阴影部分的面积的最小值为・ [答案]醇一1)2 [解析]由题意得+S2=『(/-1-e'+l)dr+『(,-1-e'+l)dx=(e-e,)dx+^\ex-e')dx=(xe1-e,)l"+(/-xe,)l,1=(2t-3)e'+e+1,令gQ)=(2r-3)d+e+1(OWY1),则gf⑺=2d+⑵-3)4=。 -1)4,令矿⑺=0,得r=§当注[0,5时,g'(0<0,g⑺是减函数,当氏g,1]时,gf(0>0,g。 )是增函数,因此g。 )的最小值为gg)=e+1-2e§=(衣-1尸.故阴影部分的面积的最小值为(y[e~I)2. 15.求下列定积分. (1)^—1kick; (2)^cos2^dx; ⑶顷左dx|解析] (1)J1-1\x\dx=2Clxdx=2X^x2lo=1. Jo m0Xml+COSX1”171 (2)pcos^dA: =p——dx=尹I。 +万sirulo=方. J。 一一一一 (3)fr1-ck=ln(x-l)lj'=1.x_1 16.已知函数f(x)^-x3+ax2+bx(a9b^R)的图象如图所示,它与x轴在原点处相切,且工轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为二,求。 的值. yi o [解析]ff(x)=-3x2+2ax+b,,尸(0)=0,."=0,•项尤)=一户+履,令f(x)=0,得尤=0或工=a(a<0). 二S阴影=j^[0一(一疽+ax2)]dx -|■履)E=土/=占, •••qvO,二。 =-L BXTK备选题库 1.(201b龙岩质检)已知函数»=sin5x+l,根据函数的性质、 积分的性质和积分的几何意义,探求 2» ) A.t+? B.71o2 C.1 D.0 [答案] [解析] -2L 27t乙7t 2fMd^c= Tr 二sin\xdx+ 「K fix 2lek,由于函 数y=sin^x是奇函数,所以 「— 2sin\dx=0,而 3=兀,故选B. J —x—1(_]W«0), 2.若函数»=S-7T的图象与坐标轴所围 cosx(0耳1〈沙 成的封闭图形的面积为们则。 的值为() b4 J 2+兀A・4 C.1 D.| [答案]D [解析] 由图可知。 =! + [;cosxdx=^s^0=|. y 3.对任意非零实数。 、们若。 助的运算原理如图所示,则皿叩 sin^ch= [答案]乎 [解析].・• ^sinxdx=一cosxlS=2>皿,0 .'•V2®psinxdx=也®2=之皿]=乎. 4.设函数f(x)=ax2-\-c(a^0),若 dx=/3)),0Wx()W1,则 而的值为 [答案]平 3 =「(亦+c)dr=(号+c? x)l()=? +c,故§+c=axlJoJo +c,即ax^=又qUO,所以工*=§又0Wx()Wl,所以心=平.故 [解析] 5. 2 ,则(L行展开式中含 J项的系数是 [答案]40 [解析]・.・(尤3-2工)‘=3/-2, 2)ck n =(23-2X2)-(1-2)=5. ・•.(尤-令5的通项公式为7;+i=C护”(-yjx 5-互 ~o3, =(-2)'Gx,令5-3=2,得,= ・・.•? 项的系数是(-2)2(3;=40.
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