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统计与概率练习题精编版
第10章第1节
一、选择题
1.某公司甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点.公司为了调查产品销售的情况,需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本,记这项调查为①在丙地区中有20个特大型销售点,要从中抽取7个调查其收入和售后服务等情况,记这项调查为②.则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是( )
A.分层抽样法,系统抽样法
B.分层抽样法,简单随机抽样法
C.系统抽样法,分层抽样法
D.简单随机抽样法,分层抽样法
[答案] B
[解析] ①因为抽取销售点与地区有关,因此要采用分层抽样法;②从20个特大型销售点中抽取7个调查,总体和样本都比较少,适合采用简单随机抽样法.
2.为规范学校办学,省教育厅督察组对某所高中进行了抽样调查.抽到的班级一共有52名学生,现将该班学生随机编号,用系统抽样的方法抽到一个容量为4的样本,已知7号、33号、46号同学在样本中,那么样本中还有一位同学的编号应是( )
A.13B.19
C.20D.51
[答案] C
[解析] 由系统抽样的原理知抽样的间隔为
=13,故抽取的样本的编号分别为7,7+13,7+13×2,7+13×3,即7号、20号、33号、46号,从而可知选C.
3.(2010·山东潍坊)某工厂的三个车间在12月份共生产了3600双皮靴,在出厂前要检查这批产品的质量,决定采用分层抽样的方法进行抽取,若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a、b、c,且a、b、c构成等差数列,则第二车间生产的产品数为( )
A.800B.1000
C.1200D.1500
[答案] C
[解析] 因为a、b、c成等差数列,所以2b=a+c,
∴
=b,∴第二车间抽取的产品数占抽样产品总数的三分之一,根据分层抽样的性质可知,第二车间生产的产品数占总数的三分之一,即
为1200双皮靴.
4.(2010·曲阜一中)学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况,抽取了一个容量为n的样本,其频率分布直方图如图所示,其中支出在[50,60)的同学有30人,若想在这n个人中抽取50个人,则在[50,60)之间应抽取的人数为( )
A.10
B.15
C.25D.30
[答案] B
[解析] 根据频率分布直方图得总人数
n=
=100,依题意知,应采取分层抽样,再根据分层抽样的特点,则在[50,60)之间应抽取的人数为50×
=15.
5.在100个产品中,一等品20个,二等品30个,三等品50个,用分层抽样的方法抽取一个容量20的样本,则二等品中A被抽取到的概率( )
A.等于
B.等于
C.等于
D.不确定
[答案] A
[解析] 每一个个体被抽到的概率相等,等于
=
.
6.(2010·四川文,4)一个单位职工800人,其中具有高级职称的160人,具有中级职称的320人,具有初级职称的200人,其余人员120人,为了解职工收入情况,决定采用分层抽样的方法,从中抽取容量为40的样本,则从上述各层中依次抽取的人数分别是( )
A.12,24,15,9B.9,12,12,7
C.8,15,12,5D.8,16,10,6
[答案] D
[解析] 从各层中依次抽取的人数分别是40×
=8,40×
=16,40×
=10,40×
=6.
7.(文)(2010·江西抚州一中)做了一次关于
“手机垃圾短信”的调查,在A、
B、C、D四个单位回收的问卷依次成等差数列,再从回收的问卷中按单位分层抽取容量为100的样本,若在B单位抽取20份问卷,则在D单位抽取的问卷份数是( )
A.30份B.35份
C.40份D.65份
[答案] C
[解析] 由条件可设从A、B、C、D四个单位回收问卷数依次为20
-d,20,20+d,20+2d,则(20-d)+20+(20+d)+(20+2d)=100,∴d=10,∴D单位回收问卷20+2d=40份.
(理)(2010·广西南宁一中模考)从8名女生,4名男生中选出6名学生组成课外
小组,如果按性别比例分层抽样,则不同的抽样方法种数为( )
A.C84C42B.C83C43
C.2C86D.A84A42
[答案] A
[解析]抽样比
=
,∴女生抽8×
=4名,男生抽4×
=2名,∴抽取方法共有C84C42种.
8.(2010·湖北理,6)将参加夏令营的600名学生编号为:
001,002,…,600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本,且随机抽得的号码为003,这600名学生分住在三个营区.从001到300在第Ⅰ营区,从301到495在第Ⅱ营区,从496到600在第Ⅲ营区.三个营区被抽中的人数依次为( )
A.26,16,8B.25,17,8
C.25,16,9D.24,17,9
[答案] B
[解析] 根据系统抽样的特点可知抽取的号码间隔为
=12,故抽取的号码
构成以3为首项,公差为12的等差数列.在第Ⅰ营区001~300号恰好有25组,故抽取25人,在第Ⅱ营区301~495号有195人,共有16组多3人,因为抽取的第一个数是3,所以Ⅱ营区共抽取17人,剩余50-25-17=8人需从Ⅲ营区抽取.
9.(2010·茂名市调研)某学校在校学生2000人,为了迎接“2010年广州亚运会”,学校举行了“迎亚会”跑步和爬
山比赛活动,每人都参加
而且只参与其中一项比赛,各年级参与比赛人数情况如下表:
第一级
第二级
第三级
跑步
a
b
c
爬山
x
y
z
其中abc=253,全校参与爬山的人数占总人数的
.为了了解学生对本次活动的满意程度,从中抽取
一个200人的样本进行调查,则高三级参与跑步的学生中应抽取
( )
A.15人B.30人
C.40人D.45人
[答案] D
[解析] 由题意,全校参与爬山人数为x+y+z=2000×
=500人,故参与跑步人数为a+b+c=2000-500=1500人,又abc=253,∴a=300,b=750,c=450,∴高三级参与跑步的学生应抽取450×
=45人.
10.(2010·山东日照模考)某企业三月中旬生产A、B、C三种产品共3000件,根据分层抽样的结果,企业统计员制作了如下的统计表格.由于不小心,表格中A、C产品的有关数据已被污染看不清楚,统计员记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10件,根据以上信息,可得C产品的数量是( )
产品类别
A
B
C
产品数量(件)
1300
样本容量(件)
130
A.900件B.800件
C.90件D.80件
[答案] B
[解析] 设A,C产品数量分别为x件、y件,则由题意可得:
,
∴
,∴
,故选B.
二、填空题
11.(文)(2010·瑞安中学)某校有学生1485人,教师132人,职工33人.为有效防控甲
型H1N1流感,拟采用分层抽样的方法,从以上人员中抽取50人进行相关检测,则在学生中应抽取________人.
[答案]
45
[解析] 设在学生中抽取x人,则
=
,∴x=45.
(理)(2010·山东潍坊质检)一个总体分为A,B两层,其个体数之比为41,用分层抽样法从总体中抽取一个容量为10的样本,已知B层中甲、乙都被抽到的概率为
,则总体中的个体数是________.
[答案] 40
[解析] 设x、y分别表示A,B两层的个体数,由题设易知B层中应抽取的个体数为2,
∴
=
,即
=
,解得y=8或y=-7(舍去),∵xy=41,∴x=32,x+y=40.
12.一个总体中的80个个体编号为0,1,2,…,79,并依次将其分为8个组,组号为0,1,…,7,要用下述抽样方法抽取一个容量为8的样本
:
即在第0组先随机抽取一个号码i,则第k组抽取的号码为10k+j,其中j=
,若先在0组抽取的号码为6,则所抽到的8个号码依次为__________________.
[答案] 6,17,28,39,40,51,62,73
[解析] 因为i=6,∴第1组抽取号码为10×1+(6+1)=17,第2组抽取号码为10×2+(6+2)=28,第3组抽取号码为10×3+(6+3)=39,第4组抽取号码为10×4+(6+4-10)=40,第5组抽取号码为10×5+(6+5-10)=51,第6组抽取号码为10×6+(6+6-10)=62,第7组抽取号码为10×7+(6+7-10)=73.
13.(2010·安徽文)某地有居民100000户,其中普通家庭99000户,高收入家庭1000户.从普
遍家庭中以简单随机抽样方式抽取990户,从高收入家庭中以简单随机抽样方式抽取100户进行调查,发现共有120户家庭拥有3套或3套以上住房,其中普通家庭50户,高收入家庭70户.依据这些数据并结合所掌握的统计知识,你认为该地拥有3套或3套以上住房的家庭所占比例的合理估计是____________.
[答案] 5.7%
[解析] 拥有3套或3套以上住房的家庭所占比例普通家庭为
,而高收入家庭为
.
∴该地拥有3套或3套以上住房的家庭所占比例为
=
=5.7%.
14.从某地区15000位老人中随
机抽取500
人,
其生活能否自理的情况如下表所示:
男
女
能
178
278
不能
23
21
则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多______人.
[答案] 60
[解析] 由表可知所求人数为
(23-21)×
=60(人).
三、解答题
15.(2010·山东滨州)某高级中学共有学生2000人,各年级男、女生人数如下表:
高一
高二
高三
女生
373
x
y
男生
377
370
z
已知在全校学生中随机抽取1名,抽到高二年级女生的概率是0.19.
(1)现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生,问应在高三年级抽取多少人?
(2)已知y≥245,z≥245,求高三年级女生比男生多的概率.
[解析]
(1)∵
=0.19,∴x=380.
∴高三年级学生人数为y+z=2000-(373+377+380+370)=500
现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生,应在高三年级抽取的人数为
×500=12(人).
(2)设“高三年级女生比男生多”为事件A,高三年级女生、男生数记为(y,z).
由
(1)知,y+z=500,且y,z∈N*,又已知y≥245,z≥245,所有基本事件为:
(245,255),(246,254),(247,253),(248,252),(249,251),(250,250),(251,249),(252,248),(253,247),(254,246),(255,245).共11个.
事件A包含的基本事件有
(251,249),(252,248),(253,247),(254,246),(255,245).共5个.
∴P(A)=
.
答:
高三年级女生比男生多的概率为
.
16
.(文)(2010·泰安模拟)某校举行了“环保知识竞赛”,为了了解本次竞赛成绩情况,从中随机抽取部分学生的成绩(得分均为整数,满分100分),进行统计,请根据频率分布表中所提供的数据,解答下列问题:
(1)求a、b、c的值及随机抽取一考生其成绩不低于70分的概率;
(2)若从成绩较好的3、4、5组中按分层抽样的方法抽取6人参加社区志愿者活动,并指定2名负责人,求从第4组抽取的学生中至少有一名是负责人的概率.
组号
分组
频数
频率
第1组
[50,60)
5
0.05
第2组
[60,70)
b
0.35
第3组
[70,80]
30
c
第4组
[80,90]
20
0
.20
第5组
[90,100)
10
0.10
合计
a
1.00
[解析]
(1)a=100,b=35,c=0.30
由频率分布表可得成绩不低于70分的概率约为:
p=0.30+0.20+0.10=0.60.
(2)因为第3、4、5组共有60名学生,所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生,每组分别为:
第3组:
×6=3人,
第4组:
×6=2人,
第5组:
×6=1人,
所以第3、4、5组分别抽取3人,2人,1人.
设第3组的3位同学为A1、A2、A3,第4组的2位同学为B1、B2,第5组的1位同学为C1,则从六位同学中抽两位同学有15种可能抽法如下:
(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,C1),(A3,B1),(A3,B2),(A3,C1),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1),
其中第4组的2位同学B1、B2至少有一位同学是负责人的概率为
=
.
(理)(2010·厦门三中阶段训练)某学校在2010年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩,按成绩分组:
第1组[160,165),第2组[165,170),第3组[170,175),第4组[175,180),第5组[180,185),得到的频率分布直方图如图所示.
(1)求第3、4、5组的频率;
(2)为了能选拔出最优秀的学生,该校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试,则第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试?
(3)在
(2)的前提下,学校
决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试,求:
第4组至少有一名学生被甲考官面试的概率?
[解析]
(1)由题设可知,第3组的频率为0.06×5=0.3,
第4组的频率为0.04×5=0.2,
第5组的频率为0.02×5=0.1.
(2)第3组的人数为0.3×100=30,
第4组的人数为0.2×10
0=20,
第5组的人数为0.1×100=10.
因为第3、4、5组共有60名学生,所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生,每组抽取的人数分别为:
第3组:
×6=3,
第4组:
×6=2,
第5组:
×6=1,
所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人.
(3)设第3组的3位同学为A1,A2,A3,第4组的2位同学为B1,B2,第5组的1位同学为C1,则从六位同学中抽两位同学有:
(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,C1),(A3,B1),(A3,B2),(A3,C1),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1)共15种可能.
其中第4组的2位同学B1、B2至少有一位同学入选的有:
(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(B1,B2),(A3,B2),(B1,C1),(B2,C1)共9种可能,
所以第4组至少有一名学生被甲考官面试的概率为P=
=
.
17.(
文)(2010·
山东邹平一中模考)已知某单位有50名职工,现要从中抽取10名职工,将全体职工随机按1~50编号,并按编号顺序平均分成10组,按各组内抽取的编号依次增加5进行系统抽样.
(1)若第5组抽出的号码为22,写出所有被抽出职工的号码;
(2)分别统计这10名职工的体重(单位:
公斤),获得体重数据的茎叶图如图所示,求该样本的方差;
(3)在
(2)的条件下,从这10名职工中随机抽取两名体重不轻于73公斤(≥73公斤)的职工,求体重为76公斤的职工被抽取到的概率.
[解析]
(1)由题意,第5组抽出的号码为22.
因为2+5×(5-1)=22,
所以第1组抽出的号码应该为2,抽出的10名职工的号码分别为
2,7,12,17,22,27,32,37,42,47.
(2)因为1
0名职工的平均体重为
=
(81+70+73+76+78+79+62+65+67+59)
=71
所以样本方差为:
s2=
(102+12+22+52+72+82+92+62+42+122)
=52.
(3)从10名职工中随机抽取两名体重不轻于73公斤的职工,共有10种不同的取法:
(73,76),(73,78),(73,79),(73,81),(76,78),(76,79),(76,81),(78,79),(78,81),(79,81).
故所求概率为P(
A)=
=
.
(理)(2010·沈阳市)从某校高三年级800名学生中随机抽取50名测量身高,据测量被抽取的学生的身高全部介于155cm和195cm之间,将测量结果按如下方式分成八组:
第一组[155,160),第二组
[160,165),……,第八组[190.195],下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.
(1)根据已知条件填写下列表格:
组别
一
二
三
四
五
六
七
八
样本数
(2)试估计这所学校高三年级800名学生
中身高在180cm以上(含180cm)的人数为多少;
(3)在样本中,若第二组有1名男生,其余为女生,第七组有1名女生,其余为男生,在第二组和第七组中各选一名同学组成实验小组,问:
实验小组中恰有一男一女的概率是多少?
[解析]
(1)由频率分布直方图得第七组频率为:
1-(0.008×2+0.016×2+0.04×2+0.06)×5=0.06,
∴第七组的人数为0.06×50=3.
由各组频率可得以下数据:
组别
一
二
三
四
五
六
七
八
样本数
2
4
10
10
15
4
3
2
(2)由频率分布直方图得后三组频率和为0.08+0.06+0.04=0.18,
估计这所学校高三年级800名学生中身高在180cm以上(含180cm)的人数为800×0.18=144.
(3)第二组中四人可记为a、b、c、d,其中a为男生,b、c、d为女生,第七组中三人可记为1、2、3,其中1、2为男生,3为女生,基本事件列表如下:
a
b
c
d
1
1a
1b
1c
1d
2
2a
2b
2c
2d
3
3a
3b
3c
3d
所以基本事件有12
个.
实验小组中恰有一男一女的事件有1b,1c,1d,2b,2c,2d,3a,共7个,
因此实验小组中恰有一男一女的概率是
.
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