普通高等学校招生全国统一考试北京卷数学理.docx
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普通高等学校招生全国统一考试北京卷数学理
2019年普通高等学校招生全国统一考试
数学(理工农医类)(北京卷)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至9页,共150分.考试时间120分钟.考试结束,将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷(选择题共40分)
注意事项:
1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上.
2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.不能答在试卷上.
一、本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1.已知全集,集合,,那么集合等于()
A.B.
C.D.
2.若,,,则()
A.B.C.D.
3.“函数存在反函数”是“函数在上为增函数”的()
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
4.若点到直线的距离比它到点的距离小1,则点的轨迹为()
A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线
5.若实数满足则的最小值是()
A.0B.1C.D.9
6.已知数列对任意的满足,且,那么等于()
A.B.C.D.
7.过直线上的一点作圆的两条切线,当直线关于对称时,它们之间的夹角为()
A.B.C.D.
8.如图,动点在正方体的对角线上.过点作垂直于平面的直线,与正方体表面相交于.设,,则函数的图象大致是()
2019年普通高等学校招生全国统一考试
数学(理工农医类)(北京卷)
第Ⅱ卷(共110分)
注意事项:
1.用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上.
2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.
二、填空题:
本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.
9.已知,其中是虚数单位,那么实数.
10.已知向量与的夹角为,且,那么的值为.
11.若展开式的各项系数之和为32,则,其展开式中的常数项为.(用数字作答)
12.如图,函数的图象是折线段,其中的坐标分别为,则;
.(用数字作答)
13.已知函数,对于上的任意,有如下条件:
①;②;③.
其中能使恒成立的条件序号是.
14.某校数学课外小组在坐标纸上,为学校的一块空地设计植树方案如下:
第棵树种植在点处,其中,,当时,
表示非负实数的整数部分,例如,.
按此方案,第6棵树种植点的坐标应为;第2019棵树种植点的坐标应为.
三、解答题:
本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
15.(本小题共13分)
已知函数()的最小正周期为.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求函数在区间上的取值范围.
16.(本小题共14分)
如图,在三棱锥中,,,,
.
(Ⅰ)求证:
;
(Ⅱ)求二面角的大小;
(Ⅲ)求点到平面的距离.
17.(本小题共13分)
甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到四个不同的岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者.
(Ⅰ)求甲、乙两人同时参加岗位服务的概率;
(Ⅱ)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率;
(Ⅲ)设随机变量为这五名志愿者中参加岗位服务的人数,求的分布列.
18.(本小题共13分)
已知函数,求导函数,并确定的单调区间.
19.(本小题共14分)
已知菱形的顶点在椭圆上,对角线所在直线的斜率为1.
(Ⅰ)当直线过点时,求直线的方程;
(Ⅱ)当时,求菱形面积的最大值.
20.(本小题共13分)
对于每项均是正整数的数列,定义变换,将数列变换成数列
.
对于每项均是非负整数的数列,定义变换,将数列各项从大到小排列,然后去掉所有为零的项,得到数列;
又定义.
设是每项均为正整数的有穷数列,令.
(Ⅰ)如果数列为5,3,2,写出数列;
(Ⅱ)对于每项均是正整数的有穷数列,证明;
(Ⅲ)证明:
对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列,存在正整数,当时,.
2019年普通高等学校招生全国统一考试
数学(理工农医类)(北京卷)参考答案
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)
1.D2.A3.B4.D5.B6.C7.C8.B
二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
9.10.11.51012.
13.②14.
三、解答题(本大题共6小题,共80分)
15.(共13分)
解:
(Ⅰ)
.
因为函数的最小正周期为,且,
所以,解得.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得.
因为,
所以,
所以,
因此,即的取值范围为.
16.(共14分)
解法一:
(Ⅰ)取中点,连结.
,
.
,
.
,
平面.
平面,
.
(Ⅱ),,
.
又,
.
又,即,且,
平面.
取中点.连结.
,.
是在平面内的射影,
.
是二面角的平面角.
在中,,,,
.
二面角的大小为.
(Ⅲ)由(Ⅰ)知平面,
平面平面.
过作,垂足为.
平面平面,
平面.
的长即为点到平面的距离.
由(Ⅰ)知,又,且,
平面.
平面,
.
在中,,,
.
.
点到平面的距离为.
解法二:
(Ⅰ),,
.
又,
.
,
平面.
平面,
.
(Ⅱ)如图,以为原点建立空间直角坐标系.
则.
设.
,
,.
取中点,连结.
,,
,.
是二面角的平面角.
,,,
.
二面角的大小为.
(Ⅲ),
在平面内的射影为正的中心,且的长为点到平面的距离.
如(Ⅱ)建立空间直角坐标系.
,
点的坐标为.
.
点到平面的距离为.
17.(共13分)
解:
(Ⅰ)记甲、乙两人同时参加岗位服务为事件,那么,
即甲、乙两人同时参加岗位服务的概率是.
(Ⅱ)记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件,那么,
所以,甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是.
(Ⅲ)随机变量可能取的值为1,2.事件“”是指有两人同时参加岗位服务,
则.
所以,的分布列是
1
3
18.(共13分)
解:
.
令,得.
当,即时,的变化情况如下表:
0
当,即时,的变化情况如下表:
0
所以,当时,函数在上单调递减,在上单调递增,
在上单调递减.
当时,函数在上单调递减,在上单调递增,在上单调递减.
当,即时,,所以函数在上单调递减,在上单调递减.
19.(共14分)
解:
(Ⅰ)由题意得直线的方程为.
因为四边形为菱形,所以.
于是可设直线的方程为.
由得.
因为在椭圆上,
所以,解得.
设两点坐标分别为,
则,,,.
所以.
所以的中点坐标为.
由四边形为菱形可知,点在直线上,
所以,解得.
所以直线的方程为,即.
(Ⅱ)因为四边形为菱形,且,
所以.
所以菱形的面积.
由(Ⅰ)可得,
所以.
所以当时,菱形的面积取得最大值.
20.(共13分)
(Ⅰ)解:
,
,
;
,
.
(Ⅱ)证明:
设每项均是正整数的有穷数列为,
则为,,,,,
从而
.
又,
所以
,
故.
(Ⅲ)证明:
设是每项均为非负整数的数列.
当存在,使得时,交换数列的第项与第项得到数列,
则.
当存在,使得时,若记数列为,
则.
所以.
从而对于任意给定的数列,由
可知.
又由(Ⅱ)可知,所以.
即对于,要么有,要么有.
因为是大于2的整数,所以经过有限步后,必有.
即存在正整数,当时,.
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- 普通高等学校 招生 全国 统一 考试 北京 学理