学大精品讲义六下数学含答案期末复习2.docx
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学大精品讲义六下数学含答案期末复习2
数与代数
(二)期末复习
适用学科
小学数学
适用年级
小学六年级
适用区域
新人教版
课时时长
120分钟
知识点
数的运算
(二),式与方程,比和比例及应用题
(二)
学习目标
1、掌握四则运算混合运算的运算顺序。
2、掌握基本运算律,灵活运用运算律进行简便运算。
3、掌握质数合数的概念,掌握最大公因数、最小公倍数的求法及应用。
4、会用代数式表达数量关系,表达规律。
5、会用各部分关系法、移项法解方程。
6、会用方程解应用题。
7、理解比及比例的意义和基本性质;
8、利用比例的基本性质解比例;
9、理解比例尺的含义,会应用比例的知识求平面图的比例尺,以及根据比例尺求图上距离或实际距离。
学习重点
用方程解应用题。
最大公因数、最小公倍数的实际应用;根据比例尺求图上距离或实际距离;
学习难点
用方程解应用题。
最大公因数、最小公倍数的实际应用;根据比例尺求图上距离或实际距离;
一、知识梳理
(一)数的整除
1.数的整除
整数a除以整数b(b≠0),除得的商是()而没有()数,我们就说a能被b整除,或者说b能整除a。
如果数a能被数b(b≠0)整除,a就叫做b的倍数,b就叫做a的约数(或a的因数)。
倍数和约数是相互依存的。
例如:
35÷7=5,因为35能被7整除,所以35是7的倍数,7是35的约数。
【练习】判断:
1.因为42÷7=6,所以42能整除7。
()
2、一个数的倍数一定比这个数的约数大。
( )
3、因为6÷1.2=5,所以6能被1.2整除。
( )
4.因为16÷0.8=20,所以16能被0.8整除。
()
2.一个数的约数的个数是有限的,其中最小的约数是1,最大的约数是它本身。
例如:
10的约数有1、2、5、10,其中最小的约数是(),最大的约数是()。
一个数的倍数的个数是无限的,其中最小的倍数是它本身。
3的倍数有:
3、6、9、12……其中最小的倍数是(),()最大的倍数。
3.被2.3.5整除的数的特征:
个位上是0、2、4、6、8的数,都能被2整除,例如:
202、480、304,都能被2整除。
。
个位上是0或5的数,都能被5整除,例如:
5、30、405都能被5整除。
。
一个数的各位上的数的和能被3整除,这个数就能被3整除,例如:
12、108、204都能被3整除。
一个数各位数上的和能被9整除,这个数就能被9整除。
能被3整除的数不一定能被9整除,但是能被9整除的数一定能被3整除。
【练习】下面各数能同时被2、3、5整除的数是()(07年省实)
A.215B.30C.75D.94
4.偶数和奇数:
能被2整除的数叫做()。
不能被2整除的数叫做()。
0也是偶数。
自然数按能否被2整除的特征可分为奇数和偶数。
5.质数和合数:
一个数,如果只有1和它本身两个约数,这样的数叫做()(或素数)。
100以内的质数有:
2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。
一个数,如果除了1和它本身还有别的约数,这样的数叫做(),
例如4、6、8、9、12都是合数。
1不是质数也不是合数,自然数除了1外,不是质数就是合数。
如果把自然数按其约数的个数的不同分类,可分为质数、合数和1。
【练习】在所有的质数中,偶数的个数有()。
(07年联考)
A、一个也没有B、有一个C、有两个D、有无数个
6.质因数和分解质因数:
每个合数都可以写成几个()相乘的形式。
其中每个质数都是这个合数的( )数,叫做这个合数的质因数。
例如15=3×5,3和5叫做15的质因数。
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。
例如把28分解质因数
28=
7.最大公约数:
几个数公有的约数,叫做这几个数的公约数。
其中最大的一个,叫做这几个数的最大公约数。
例如12的约数有1、2、3、4、6、12;18的约数有1、2、3、6、9、18。
其中,1、2、3、6是12和18的公约数,6是它们的最大公约数。
8.互质数:
公约数只有1的两个数,叫做( )。
成互质关系的两个数,有下列几种情况:
(1)1和任何自然数互质。
如:
1和2,1和10等;
(2)相邻的两个自然数互质。
如:
8和9,9和10等
(3)两个不同的质数互质。
如;3和7,( )和( )
(4)当合数不是质数的倍数时,这个合数和这个质数互质。
如:
( )和( )
(5)两个合数的公约数只有1时,这两个合数互质,如果几个数中任意两个都互质,就说这几个数两两互质。
如;( )和( ),( )和( )
如果较小数是较大数的约数,那么较( )数就是这两个数的最大公约数。
如果两个数是互质数,它们的最大公约数就是( )。
【练习】判断:
任意两个相邻的自然数(0除外)都是互质数;()(2010年联考卷)
9.最小公倍数:
几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数,其中最小的一个,叫做这几个数的最小公倍数,如2的倍数有2、4、6、8、10、12、14、16、18……
3的倍数有3、6、9、12、15、18……其中6、12、18……是2、3的公倍数,6是它们的最小公倍数。
。
如果较大数是较小数的倍数,那么较( )数就是这两个数的最小公倍数。
如果两个数是互质数,那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。
几个数的公约数的个数是( )的,而几个数的公倍数的个数是( )的。
10.数的整除
1.把一个合数分解质因数,通常用( )法。
先用能整除这个合数的质数去除,一直除到商是( )数为止,再把除数和商写成连乘的形式。
如:
126=
2.求几个数的最大公约数的方法是:
先用这几个数的公约数连续去除,一直除到所得的商只有公约数1为止,然后把所有的除数连乘求积,这个积就是这几个数的的最大公约数。
3.求几个数的最小公倍数的方法是:
先用这几个数(或其中的部分数)的公约数去除,一直除到互质(或两两互质)为止,然后把所有的除数和商连乘求积,这个积就是这几个数的最小公倍数。
11.奇偶性:
偶数±偶数=偶数奇数±奇数=偶数奇数±偶数=奇数
偶数个偶数相加是偶数,奇数个奇数相加是奇数。
偶数×偶数=偶数奇数×奇数=奇数奇数×偶数=偶数
相邻两个自然数之和为( ),相邻自然数之积为( )。
如果乘式中有一个数为偶数,那么乘积一定是( )数。
(二)数的运算
1、四则运算的意义
数的分类
运算名称
整数
小数
分数
加法
把两个数合并成一个数的运算。
减法
已知两个加数的和与其中一个加数,求另一个加数的运算。
乘法
求几个相同加数的和的简便运算。
小数乘整数与整数乘法意义相同。
分数乘整数与整数乘法意义相同。
一个数乘小数,就是求这个数的十分之几,百分之几…是多少。
一个数乘分数,就是求这个数的几分之几是多少。
除法
已知两个因数的积与其中一个因数,求另一个因数的运算。
2、四则运算的法则
整数
小数
分数
加减
相同数位对齐,从低位算起
加法:
满十就向前一位进一
减法:
不够减就从前一位退,退一当十
小数点对齐,从低位算起,按整数加减法进行计算,结果中的小数点和加减的数的小数点对齐。
1、同分母分数相加减,分母不变,分子相加减。
2、异分母分数相加减,先通分,然后再按同分母分数相加减的方法计算。
3、结果能约分的要约分。
乘法
1、从个位乘起,依次用第二个因数每一位上的数去乘第一个因数。
2、用第二个因数哪一位上的数去乘,得数的末位就和第二个因数的哪一位对齐。
3、再把几次乘得的数加起来。
1、按整数乘法法则算出积。
2、看因数中一共有几位小数,就从积的右边起数出几位点上小数点。
1、分数乘分数,用分子相乘的积作分子,分母相乘的积作分母。
2、有整数的把整数看作分母是1的假分数。
3、有带分数的,通常先把带分数化成假分数。
除法
除数是整数:
从被除数的高位除起,除数是几位就先看被除数的前几位,如果不够除,就要多看一位,除到哪一位就要把商写在哪一位的上面。
商的小数点和被除数的小数点对齐。
除数是小数:
先移动除数的小数点,使它变成整数,除数的小数点向右移动几位,被除数的小数点也向右移动相同的位数(位数不够的补0),然后按照除数是整数的除法进行计算。
甲数除以乙数(0除外),等于甲数乘以乙数的倒数。
3、四则运算各部分的关系:
加数+加数=和被减数—减数=差
一个加数=和—另一个加数减法被减数=减数+差
减数=被减数—差
因数×因数=积被除数÷除数=商
一个因数=积÷另一个因数 除法 被除数=商×除数
除数=被除数÷商
4、运算定律和运算性质
加法交换律:
a+b=b+a
加法结合律:
(a+b)+c=a+(b+c)
乘法交换律:
a×b=b×a
乘法结合律:
(a×b)×c=a×(b×c)
乘法分配律:
(a+b)×c=a×c+b×c
减法的运算性质:
a-b-c=a-(b+c)
除法的运算性质:
a÷(b×c)=a÷b÷c
5、四则运算的顺序:
在一个没有括号的算式里,如果只含有同一级运算,要从左往右依次计算;如果含有两级运算,要先算第二级运算,再算第一级运算。
有括号的算式里,要先算括号里的,再算括号外的。
二、方法归纳
1.一个数被整除的判断方法:
被2整除:
个位是0、2、4、6、8的,则这个数能被2整除。
被3(或9)整除:
数字之和能被3或9整除,则这个数能被3或9整除。
被5整除:
若一个整数的末位是0或5,则这个数能被5整除。
2.判断互质数的技巧:
①和其它的自然数。
例:
1和99、1和46
②两个连续的或相邻的自然数一定是互质数。
例:
3和4、9和10
③两个连续的奇数或相邻的奇数是互质数。
例:
7和9、13和15
④两个质数是互质数。
例:
5和7、11和17
3.判断最大公因数的技巧:
①如果两个数是互质数关系,那么最大公因数是1。
例:
7和11
②如果两个数是倍数关系,那么最大公因数是较小数。
例:
7和21
4.判断最小公倍数的技巧:
①如果两个数是互质数关系,那么最小公倍数是它们的乘积。
例:
5和7
②如果两个数是倍数关系,那么最小公倍数是较大数。
例:
7和14
三、课堂精讲
(一)最大公因数和最小公倍数
例1
(1)甲数=2×3×5×7,乙数=2×3×11,甲乙两数的最大公约数是(),最小公倍数是()。
(2)把自然数a与b分解质因数,得到a=2×5×7×m,b=3×5×m,如果a与b的最小公倍数是2730,那么m=()。
【规律方法】掌握两数的最大公因数和最小公倍数的求法。
两数的最大公因数是这两数中的相同质因数的积,最小公倍数是两数中相同的质因数和不同质因数的乘积。
【变式训练1】
1、a=2×3×5,b=2×3×7,a和b的最大公约数是(),最小公倍数是()。
(2008年联考)
2、A=2×3×7,B=2×5×7,A和B的最大公约数是(),最小公倍数是()。
(2009年联考)
3、如果A=60,B=42,那么A、B的最大公因数是(),最小公倍数是();(2010年联考卷)
4、A=2×3×aB=2×a×7,已知A、B的最大公约数是6,则a=();A、B的最小公倍数是()。
5、(2012年大联盟)a=2×3×m,b=3×5×m(m≠0且是自然数),如果a和b的最大公约数是21,则m是(),此时a和b的最小公倍数是()。
6、如果a=4b,a、b都是大于0的自然数,那么a、b的最小公倍数是(),最大公因数是()。
7、已知(A,40)=8,[A,40]=80,那么A=()。
(二)数的整除
例2
(1)有9、7、2、1、0五个数字,用其中的四个数字,组成能同时被2、3、5整除的最小的四位数是( )。
(2)一个三位数既能被2整除,又能被3整除,而且个位、十位上相同,这个三位数最大是()。
(3)在6、3、5、0、8、7这六个数中选中五个数组成一个能同时被2、3、5整除的最小五位数()。
(08年联考)
【规律方法】掌握同时被2,3,5整除的数的特征。
【变式训练2】
1、四个数字0、2、5、8组成的四位数中,能同时被3和5整除的最大的数是(),最小的数是()。
2、一个能被2和3整除的四位数,它的千位上的数是奇数又是合数,它的百位上的数不是质数也不是合数,它十位上的数是最小的质数,个位上的数是()。
3、一个三位数,百位上既不是质数也不是合数,十位上是最大的奇数,这个数又是2和3的倍数,这个三位数是()或( )。
4、一个能被2和3整除的四位数,它的千位上的数是奇数又是合数,它的百位上的数不是质数也不是合数,它十位上的数是最小的质数,个位上的数是()。
例3(1)a与b是互质数,它们的最小公倍数是最大公约数的m倍,则m是().(2008年联考)
①ab②a③b④1
(2)如果自然数A除以自然数B商是17,那么A与B的最大公约数是(),最小公倍数是()。
【规律方法】
【变式训练3】
1、自然数a是自然数b的3倍,那么a与b的最小公倍数是()
A、abB、3C、aD、b
2、自然数m和n,n=m+1,m和n的最大公约数是(),最小公倍数是()。
3、m、n是非零自然数,m÷n=1……1,那么m和n的最大公因数是()。
A、1B、mnC、mD、n
4、a与b是相邻的两个非零自然数,它们的最大公约数是( ),最小公倍数是( )。
四则运算及简便计算
例4脱式计算,能简算的要简算。
800-(287+365)717×99+7172013-1728÷32
13÷9+15÷9+17÷9104×0.250.32+11.7+4.68
8.2-0.6×(0.9-0.75)47.3-1.7×5-1.53.7×5.4+0.37×46
×
+
÷
÷9×
÷
+(
-
)×
[(
-
)×
]÷
(
+
)÷(
÷4-
)(
+
)×15-45÷49
式与方程
1.列代数式的方法:
直接法、间接法(先列等式,然后将等式变形)
2.解方程的方法:
算式各部分关系法(倒推法)、天平原理法、移项法。
3.列方程的方法:
找到等量关系,把文字语言转化为数学语言。
课堂精讲
(一)列代数式
例1学校有男生x人,女生人数比男生的3倍少20人,女生有()人,女生比男生多()人。
【变式训练1】某水果店运进苹果m千克,比梨的4倍少n千克,运进梨多少千克?
正确的是()
A.m÷4-nB.(m-n)÷4C.(m+n)÷4D.m×4-n
例2如图,用火柴棍拼成一排由三角形组成的图形。
观察规律填下表:
三角形个数
1
2
3
…
n
火柴根数
(1)填表
(2)用99根火柴可以摆多少个三角形?
【变式训练2】有一棵树苗,刚栽下去时,树高2.1米,一年后树高2.4米,二年后树高2.7米,三年后树高3米,按照这种规律,预测n年后树高()米。
【规律方法】代数式表达数量关系、表达规律。
(二)解方程
例3
(2)5×3.82-4x=9.5
(3)7(x+1.3)=56(4)(x-6)÷1.5=5
(5)4x-24=2x+20(6)一个数的60%是35的
,求这个数。
【变式训练3】
(1)x-80%x=600
(2)
(3)
(4)8(x+9)=112
用方程解应用题
例4
1.四年级某班的同学去植树,他们分了一下小组。
如果增加一小组,正好每小组5人,如果减少一小组,正好每组7人。
问这个班共有多少个同学?
(盈亏问题)
2.小文和小学一共有存款104元,如果小文拿出2元钱给小学,两人的存款就相等了。
小文和小学原来各有存款多少元?
3.今有鸡兔同笼,上有35个头,下有94只脚,鸡和兔各有多少只?
4.甲种铅笔每支0.3元,乙种铅笔每支0.6元,用9元钱买了两种铅笔共20支,两种铅笔各买了多少支?
5.某瓷器厂要为商场运送900个瓷花瓶,双方商定每个运费为1元,如果打碎1个,这个不但不给运费,而且要赔偿4元,结果运到目的地后结算时,瓷器厂共得运费800元。
问打碎了几个瓷花瓶?
【规律方法】用方程解盈亏问题、调配问题、鸡兔同笼问题。
【变式训练4】
1.小芳把鲜花插入一些花瓶中,如果每个花瓶里插5枝则多12枝,如果每个花瓶里插8枝还多3枝。
请问每个花瓶里插多少枝花可以刚好把鲜花分完。
(盈亏问题-住店问题)
2.导游给某旅行团的成员分配宿舍,如果每个房间住4人,则24人没有位置;如果每个房间住6人,则空出8个房间。
求宿舍有多少间?
旅行团的成员有多少人?
(盈亏问题)
3.小英和小华有同样多的钱,小英用去了50元,小华用去了38元,这时,小华剩下的钱数是小英剩下的3倍,小英和小华原来各有多少钱?
4.妈妈的年龄是儿子的5倍,4年前,妈妈和儿子的年龄和是28岁,妈妈、儿子今年各是多少岁?
5.学校组织春游,一共用了10辆客车。
已知大客车每辆坐100人,小客车每辆坐60人,大客车比小客车一共多载520人。
问大、小客车各几辆?
6.有面值分别为拾元、伍元、贰元的人民币34张,共178元。
拾元的张数和伍元的张数一样多。
拾元、伍元、贰元的人民币各有多少张?
比和比例
1、比例的概念:
表示两个比相等的式子叫做比例。
2、比和比例的区别:
比是表示两个数相除,有两项;
比例是一个等式,表示两个比相等,有四项。
3、比例的基本性质:
在比例里,两个外项的积等于两个内项的积
如果把比例写成分数形式,比例的基本性质就是等号两端分子和分母分别交叉相乘,积相等。
如:
=
80×5=2×200
前面要判断两个比是不是成比例,我们是通过计算它们的比值来判断的。
学过比例的基本性质以后,也可以应用比例的基本性质来判断两个比能不能成比例。
4、解比例:
如果知道比例中的任何三项,就可以求出这个比例中的另外一个未知项。
求比例中的未知项,叫做解比例。
5、比例尺:
图上距离和实际距离的比叫做比例尺。
图上距离:
实际距离=比例尺。
①比例尺与一般的尺不同,这是一个比,不应带计量单位。
②求比例尺时,前、后项的长度单位一定要化成同级单位。
如10厘米:
10米,要把后项的米化成厘米后再算出比例尺。
③为了计算简便,通常把比例尺的前项或后项化简成“1”,如果写成分数形式,分子也应化简成“1”。
比例尺通常写成20:
1或
6、两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,并且这两种量中相对应的两个数的比值(也就是商)一定。
像这样的两种量我们就把它们叫做成正比例的量,它们的关系叫做正比例关系。
7、两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的积一定,这两种量就叫做成反比例的量,它们的关系叫做反比例关系。
二、方法归纳
1、因为这两个比的比值相等,所以这两个比也是相等的,我们把它们用等号连起来。
4.5:
2.7=10:
6,像这样表示两个比相等的式子叫做比例。
2、应用比例的基本性质判断3:
4和6:
8能不能组成比例。
先假设3:
4和6:
8可以组成比例。
再算出两个外项的积(两个外项的积:
3×8=24)和两个内项的积(两个内项的积:
4×6=24)。
因为3×8=4×6.也就是说两个外项的积等于两个内项的积,所以3:
4和6:
8可以组成比例,3:
4=6:
8。
3、第一次所行驶的路程和时间的比是80:
280:
2=:
200:
5
80:
2=40└-内项-┘
第二次所行驶的路程和时间的比是200:
5└------外项-----┘
200:
5=40两个外项的积是80×5=400
80:
2=200:
5或
=
)两个内项的积是2×200=400
80×5=2×200
4、图上距离=实际距离×比例尺
实际距离=图上距离÷比例尺
比例尺=图上距离÷实际距离
5、如果我们用字母X,y表示两种相关联的量.用字母K表示它们的比值,正比例关系用字母表示出来:
=K(一定)
6、如果用字母x和y表示两种相关联的量,用k表示它们的积(一定),成反比例的字母公式:
x×y=k(一定)。
7、正反比例的区别和联系:
相同点是:
都有两种相关联的量,都有一个定量。
不同点是:
成正比例的量,两种相关联的量同扩同缩,而且相对应的两个数的商(比值)一定;成反比例的量,两种相关联的量一扩一缩,相对应的两个数的积是一定的。
8、正比例:
1两种相关联的量。
2一种量增加,另一种量也相应增加;一种量减少,另一种量也相应减少。
3两种量的比值一定。
4关系式:
9、反比例:
1两种相关联的量;
2一种量增加,另一种量反而减少;一种量减少,另一种量反而增加;
3两种量的乘积一定。
4关系式:
三、课堂精讲
(一)比例的意义
例1判断下面每组的两个比能不能组成比例。
(1)6:
3和12:
6
(2)35:
7和45:
9
(3)20:
5和16:
8(4)0.8:
0.4和
:
【规律方法】两个比的比值相等时,能够组成比例。
【变式训练1】
【难度分级】A
判断下面哪组中的两个比可以组成比例。
(1)
和0.5:
0.3
(2)
和0.6:
0.1
(二)比例的基本性质
例2
(1)把3:
6=4.5:
9改写成()×()=()×()。
(2)把
改写成()×()=()×()。
(3)6X=2×9改写成():
()=():
()。
(4)x=
那么x:
y=():
()
(5)在一个比例式中,两个外项的积是最小的质数,其中一个内项是3,另一个内项是()。
(6)根据()的基本性质可以得到2:
3=10:
15;根据()的基本性质可以得到
;根据()的基本性质可以把2:
3=10:
15写成2×15=3×10。
【规律方法】在比例里,两个外项的积等于两个内项的积。
【变式训练2】
【难度分级】A
1、
(1)在a:
7=9:
b中,()是内项,()是外项,a×b=()
(2)一个比例的两个内项分别是3和8,则两个外项的积是(),两个外项可能是
()和()。
(3)在一个比例里,两个外项互为倒数,那么两个内项的积是(),如果一个外项是
,另一个外项是()
(4)在一个比例里,两个外项的积是最小的质数,一个内项是0.5,另一个内项是
( )。
(5)甲数×
=乙数×60%,甲:
乙=( :
)。
(6)已知一个比例的两个外项分别是3和
,组成比例的两个比的比值是
,这个比例
是( )。
2、把下面的等式改写成比例。
(1)4×10=8×5
(2)2.5×0.4=0.5×2
3、写出12的所有约数,取出四个
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