k12精品学年人教A版高中数学必修二同步学习讲义第三章直线与方程333334.docx
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k12精品学年人教A版高中数学必修二同步学习讲义第三章直线与方程333334
3.3.3 点到直线的距离
3.3.4 两条平行直线间的距离
学习目标
1.了解点到直线距离公式的推导方法.2.掌握点到直线距离公式,并能灵活应用于求平行线间的距离等问题.3.初步掌握用解析法研究几何问题.
知识点一 点到直线的距离
思考1 如图,点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0)的距离d同线段PS,PR,RS间存在什么关系?
答案 d=.
思考2 根据思考1的思路,点P到直线Ax+By+C=0的距离d怎样用A,B,C及x0,y0表示?
答案 d=.
思考3 点到直线的距离公式对于A=0或B=0时的直线是否仍然适用?
答案 仍然适用,①当A=0,B≠0时,直线l的方程为By+C=0,
即y=-,d=|y0+|=,适合公式.
②当B=0,A≠0时,直线l的方程为Ax+C=0,x=-,d=|x0+|=,适合公式.
梳理 点到直线的距离
(1)定义:
点到直线的垂线段的长度.
(2)图示:
(3)公式:
d=.
知识点二 两条平行直线间的距离
思考 直线l1:
x+y-1=0上有A(1,0)、B(0,1)、C(-1,2)三点,直线l2:
x+y+1=0与直线l1平行,那么点A、B、C到直线l2的距离分别为多少?
有什么规律吗?
答案 点A、B、C到直线l2的距离分别为、、.规律是当两直线平行时,一条直线上任一点到另一条直线的距离都相等.
梳理 两条平行直线间的距离
(1)定义:
夹在两平行线间的公垂线段的长.
(2)图示:
(3)求法:
转化为点到直线的距离.
(4)公式:
两条平行直线l1:
Ax+By+C1=0与l2:
Ax+By+C2=0之间的距离d=.
类型一 点到直线的距离
例1
(1)求点P(2,-3)到下列直线的距离.
①y=x+;②3y=4;③x=3.
解 ①y=x+可化为4x-3y+1=0,
点P(2,-3)到该直线的距离为
=;
②3y=4可化为3y-4=0,
由点到直线的距离公式得=;
③x=3可化为x-3=0,
由点到直线的距离公式得=1.
(2)求过点M(-1,2),且与点A(2,3),B(-4,5)距离相等的直线l的方程.
解 方法一 当过点M(-1,2)的直线l的斜率不存在时,
直线l的方程为x=-1,
恰好与A(2,3),B(-4,5)两点距离相等,
故x=-1满足题意,
当过点M(-1,2)的直线l的斜率存在时,
设l的方程为y-2=k(x+1),
即kx-y+k+2=0.
由点A(2,3)与B(-4,5)到直线l的距离相等,得
=,解得k=-,
此时l的方程为y-2=-(x+1),
即x+3y-5=0.
综上所述直线l的方程为x=-1或x+3y-5=0.
方法二 由题意得l∥AB或l过AB的中点,
当l∥AB时,设直线AB的斜率为kAB,
直线l的斜率为kl,则kAB=kl==-,
此时直线l的方程为y-2=-(x+1),
即x+3y-5=0.
当l过AB的中点(-1,4)时,直线l的方程为x=-1.
综上所述,直线l的方程为x=-1或x+3y-5=0.
反思与感悟
(1)应用点到直线的距离公式时应注意的三个问题:
①直线方程应为一般式,若给出其他形式应化为一般式.
②点P在直线l上时,点到直线的距离为0,公式仍然适用.
③直线方程Ax+By+C=0,当A=0或B=0时公式也成立,但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直),故也可用数形结合求解.
(2)用待定系数法求直线方程时,首先考虑斜率不存在是否满足题意.
跟踪训练1
(1)若点(4,a)到直线4x-3y=0的距离不大于3,则a的取值范围是________________.
(2)已知直线l过点P(3,4)且与点A(-2,2),B(4,-2)等距离,则直线l的方程为______.
答案
(1)[,]
(2)2x-y-2=0或2x+3y-18=0
解析
(1)由题意知≤3,
解得≤a≤,故a的取值范围为[,].
(2)过点P(3,4)且斜率不存在时的直线x=3与A、B两点的距离不相等,
故可设所求直线方程为y-4=k(x-3),
即kx-y+4-3k=0,
由已知得=,
∴k=2或k=-,
∴所求直线l的方程为
2x+3y-18=0或2x-y-2=0.
类型二 两平行线间的距离
例2
(1)两直线3x+y-3=0和6x+my-1=0平行,则它们之间的距离为_________.
(2)已知直线l与两直线l1:
2x-y+3=0和l2:
2x-y-1=0的距离相等,则l的方程为________________.
答案
(1)
(2)2x-y+1=0
解析
(1)由题意,得=,∴m=2,
将直线3x+y-3=0化为6x+2y-6=0,
由两平行线间距离公式,得==.
(2)设直线l的方程为2x-y+c=0,
由题意,得=,解得c=1,
∴直线l的方程为2x-y+1=0.
反思与感悟 求两平行线间的距离,一般是直接利用两平行线间的距离公式,当直线l1:
y=kx+b1,l2:
y=kx+b2,且b1≠b2时,d=;当直线l1:
Ax+By+C1=0,l2:
Ax+By+C2=0且C1≠C2时,d=.但必须注意两直线方程中x,y的系数对应相等.
跟踪训练2
(1)求与直线l:
5x-12y+6=0平行且到l的距离为2的直线方程;
(2)两平行直线l1,l2分别过P1(1,0),P2(0,5),若l1与l2的距离为5,求两直线方程.
解
(1)方法一 设所求直线的方程为5x-12y+C=0,
在直线5x-12y+6=0上取一点P0(0,),
则点P0到直线5x-12y+C=0的距离为
=,
由题意,得=2,所以C=32或C=-20,
故所求直线的方程为5x-12y+32=0或5x-12y-20=0.
方法二 设所求直线的方程为5x-12y+C=0,
由两平行直线间的距离公式得2=,
解得C=32或C=-20,
故所求直线的方程为5x-12y+32=0或5x-12y-20=0.
(2)依题意,两直线的斜率都存在,
设l1:
y=k(x-1),即kx-y-k=0,
l2:
y=kx+5,即kx-y+5=0.
因为l1与l2的距离为5,
所以=5,解得k=0或.
所以l1和l2的方程分别为y=0和y=5或5x-12y-5=0和5x-12y+60=0.
类型三 利用距离公式求最值
例3 已知实数x,y满足6x+8y-1=0,则的最小值为________.
答案
解析 ∵=,
∴上式可看成是一个动点M(x,y)到定点N(0,1)的距离,
即为点N到直线l:
6x+8y-1=0上任意一点M(x,y)的距离,
∴S=|MN|的最小值应为点N到直线l的距离,
即|MN|min=d==.
反思与感悟 解决此题的关键是理解式子表示的几何意义,将“数”转化为“形”,从而利用图形的直观性加以解决.
跟踪训练3
(1)动点P(x,y)在直线x+y-4=0上,O为原点,求|OP|最小时P点的坐标;
(2)求过点P(1,2)且与原点距离最大的直线方程.
解
(1)直线上的点到原点距离的最小值即为原点到直线的距离,此时OP垂直于已知直线,则kOP=1,
∴OP所在直线方程为y=x,
由解得
∴P点坐标为(2,2).
(2)由题意知过P点且与OP垂直的直线到原点O的距离最大,
∵kOP=2,
∴所求直线方程为y-2=-(x-1),
即x+2y-5=0.
例4 两条互相平行的直线分别过点A(6,2),B(-3,-1),并且各自绕着点A,B旋转,如果两条平行直线间的距离为d.
(1)求d的取值范围;
(2)求d取最大值时,两条直线的方程.
解
(1)设经过A点和B点的直线分别为l1、l2,
显然当时,l1和l2的距离最大,
且最大值为|AB|==3,
∴d的取值范围为(0,3].
(2)由
(1)知dmax=3,此时k=-3,
两直线的方程分别为3x+y-20=0或3x+y+10=0.
反思与感悟 两平行线间的距离可转化为两点间的距离,通过两点间的距离利用数形结合思想得到两平行线间距离的最值.
跟踪训练4 已知P,Q分别是直线3x+4y-5=0与6x+8y+5=0上的动点,则|PQ|的最小值为( )
A.3B.C.D.
答案 D
解析 两平行线间的距离就是|PQ|的最小值,3x+4y-5=0可化为6x+8y-10=0,则|PQ|==.
1.已知点(a,1)到直线x-y+1=0的距离为1,则a的值为( )
A.1B.-1C.D.±
答案 D
解析 由题意知=1,
即|a|=,∴a=±.
2.直线x-2y-1=0与直线x-2y-c=0的距离为2,则c的值为( )
A.9B.11或-9
C.-11D.9或-11
答案 B
解析 两平行线间的距离为d==2,
解得c=-9或11.
3.已知点M(1,2),点P(x,y)在直线2x+y-1=0上,则|MP|的最小值是( )
A.B.
C.D.3
答案 B
解析 点M到直线2x+y-1=0的距离,即为|MP|的最小值,所以|MP|的最小值为=.
4.两平行直线3x+4y+5=0与6x+ay+30=0间的距离为d,则a+d=________.
答案 10
解析 由两直线平行知,a=8,d==2,
∴a+d=10.
5.直线3x-4y-27=0上到点P(2,1)距离最近的点的坐标是________________.
答案 (5,-3)
解析 由题意知过点P作直线3x-4y-27=0的垂线,
设垂足为M,则|MP|为最小,
直线MP的方程为y-1=-(x-2),
解方程组
得
∴所求点的坐标为(5,-3).
1.点到直线的距离即是点与直线上点连线的距离的最小值,利用点到直线的距离公式,解题时要注意把直线方程化为一般式.当直线与坐标轴垂直时可直接求之.
2.利用点到直线的距离公式可求直线的方程,有时需结合图形,数形结合,使问题更清晰.
3.已知两平行直线,其距离可利用公式d=求解,也可在已知直线上取一点,转化为点到直线的距离.
课时作业
一、选择题
1.点(1,-1)到直线y=1的距离是( )
A.B.
C.3D.2
答案 D
解析 d==2,故选D.
2.两平行线3x-4y-7=0和6x-8y+3=0之间的距离为( )
A.B.2
C.D.
答案 C
解析 3x-4y-7=0可化为6x-8y-14=0,
由两平行线间的距离公式可得=.
3.已知点A(-3,-4),B(6,3)到直线l:
ax+y+1=0的距离相等,则实数a的值等于( )
A.B.-
C.-或-D.-或
答案 C
解析 由点到直线的距离公式可得
=,
化简得|3a+3|=|6a+4|,
解得实数a=-或-.故选C.
4.到直线2x+y+1=0的距离等于的直线方程为( )
A.2x+y=0
B.2x+y-2=0
C.2x+y=0或2x+y-2=0
D.2x+y=0或2x+y+2=0
答案 D
解析 根据题意可设所求直线方程为2x+y+c=0,
因为两直线间的距离等于,
所以d==,
解得c=0或c=2,
故所求直线方程为2x+y=0或2x+y+2=0.
5.点P(2,3)到直线:
ax+(a-1)y+3=0的距离d为最大时,d与a的值依次为( )
A.3,-3B.5,2
C.5,1D.7,1
答案 C
解析 直线恒过点A(-3,3),根据已知条件可知当直线ax+(a-1)y+3=0与AP垂直时,距离最大,最大值为5,此时a=1.故选C.
6.两平行线分别经过点A(3,0),B(0,4),它们之间的距离d满足的条件是( )
A.0 C.0 答案 B 解析 当两平行线与AB垂直时,两平行线间的距离最大为|AB|=5,所以0 7.过两直线x-y+1=0和x+y-1=0的交点,并与原点的距离等于1的直线共有( ) A.0条B.1条 C.2条D.3条 答案 B 解析 联立 得 ∴两直线交点为(0,1), 由交点到原点的距离1,故只有1条. 8.若动点A(x1,y1),B(x2,y2)分别在直线l1: x+y-7=0和l2: x+y-5=0上移动,则AB的中点M到原点距离的最小值是( ) A.3B.2 C.3D.4 答案 A 解析 由题意知,M点的轨迹为平行于直线l1,l2且到l1,l2距离相等的直线l,其方程为x+y-6=0,∴M到原点的距离的最小值为d==3. 二、填空题 9.点P(x,y)在直线x+y-4=0上,则x2+y2的最小值是________. 答案 8 解析 由x2+y2的实际意义可知,它代表直线x+y-4=0上的点到原点的距离的平方,它的最小值即为原点到该直线的距离的平方, 所以(x2+y2)min=2=8. 10.若点(2,-k)到直线5x+12y+6=0的距离是4,则k的值是________. 答案 -3或 解析 d==, 由题意知=4,即=1, ∴k=-3或k=. 11.经过点P(-3,4),且与原点的距离等于3的直线l的方程为________. 答案 x=-3或7x+24y-75=0 解析 (1)当直线l的斜率不存在时,原点到直线l: x=-3的距离等于3,满足题意; (2)当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-4=k(x+3),即kx-y+3k+4=0. 原点到直线l的距离d==3, 解得k=-. 直线l的方程为7x+24y-75=0. 综上,直线l的方程为x=-3或7x+24y-75=0. 三、解答题 12.如图,已知直线l1: x+y-1=0,现将直线l1向上平移到直线l2的位置,若l2、l1和坐标轴围成的梯形面积为4,求l2的方程. 解 设l2的方程为y=-x+b(b>1), 则图中A(1,0),D(0,1),B(b,0),C(0,b), ∴|AD|=,|BC|=b. 梯形的高h就是A点到直线l2的距离, 故h===(b>1), 由梯形面积公式得×=4, ∴b2=9,b=±3.但b>1, ∴b=3. 从而得到直线l2的方程是x+y-3=0. 四、探究与拓展 13.已知入射光线在直线l1: 2x-y=3上,经过x轴反射到直线l2上,再经过y轴反射到直线l3上.若点P是直线l1上某一点,则点P到直线l3的距离为( ) A.6B.3C.D. 答案 C 解析 如图所示,结合图形可知,直线l1∥l3,则直线l1上一点P到直线l3的距离即为l1与l3之间的距离. 由题意知l1与l2关于x轴对称,故l2的方程为y=-2x+3,l2与l3关于y轴对称,故l3的方程为y=2x+3. 由两平行线间的距离公式得l1与l3间的距离 d==, 即点P到直线l3的距离为. 14.已知A(4,-3),B(2,-1)和直线l: 4x+3y-2=0,求一点P,使|PA|=|PB|,且点P到l的距离等于2. 解 AB的中点坐标为(3,-2),kAB==-1, 所以线段AB的垂直平分线方程为y+2=x-3, 即x-y-5=0,设点P(a,b), 则P在直线x-y-5=0上,故a-b-5=0, 又=2, 解得或 故所求的点为P(1,-4)或P(,-).
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