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有理数培优题有答案汇编
有理数培优题
基础训练题
一、填空:
1、在数轴上表示-2的点到原点的距离等于()。
2、若∣a∣=-a,则a()0.
3、任何有理数的绝对值都是()。
4、如果a+b=0,那么a、b一定是()。
5、将0.1毫米的厚度的纸对折20次,列式表示厚度是()。
6、已知,则()
7、的最小值是()。
8、在数轴上,点A、B分别表示,则线段AB的中点所表示的数是()。
9、若互为相反数,互为倒数,P的绝对值为3,则()。
10、若abc≠0,则的值是().
11、下列有规律排列的一列数:
1、、、、、…,其中从左到右第100个数是()。
二、解答问题:
1、已知x+3=0,|y+5|+4的值是4,z对应的点到-2对应的点的距离是7,求x、y、z这三个数两两之积的和。
3、若的值恒为常数,求满足的条件及此时常数的值。
4、若为整数,且,试求的值。
5、计算:
-+-+-+-+
6、应用拓展:
将七只杯子放在桌上,使三只口朝上,四只口朝下。
现要求每次翻转其中任意四只,使它们杯口朝向相反,问能否经有限次翻转后,让所有杯子杯口朝下?
能力培训题
知识点一:
数轴
例1:
已知有理数在数轴上原点的右方,有理数在原点的左方,那么()
A.B.C.D.
拓广训练:
1、如图为数轴上的两点表示的有理数,在中,负数的个数有()(“祖冲之杯”邀请赛试题)
A.1B.2C.3D.4
3、把满足中的整数表示在数轴上,并用不等号连接。
2、利用数轴能直观地解释相反数;
例2:
如果数轴上点A到原点的距离为3,点B到原点的距离为5,那么A、B两点的距离为。
拓广训练:
1、在数轴上表示数的点到原点的距离为3,则
2、已知数轴上有A、B两点,A、B之间的距离为1,点A与原点O的距离为3,那么所有满足条件的点B与原点O的距离之和等于。
(北京市“迎春杯”竞赛题)
3、利用数轴比较有理数的大小;
例3:
已知且,那么有理数的大小关系是。
(用“”号连接)(北京市“迎春杯”竞赛题)
拓广训练:
1、若且,比较的大小,并用“”号连接。
例4:
已知比较与4的大小
拓广训练:
1、已知,试讨论与3的大小
2、已知两数,如果比大,试判断与的大小
4、利用数轴解决与绝对值相关的问题。
例5:
有理数在数轴上的位置如图所示,式子化简结果为()
A.B.C.D.
拓广训练:
1、有理数在数轴上的位置如图所示,则化简的结果为。
2、已知,在数轴上给出关于的四种情况如图所示,则成立的是。
①②③④
3、已知有理数在数轴上的对应的位置如下图:
则化简后的结果是()
(湖北省初中数学竞赛选拨赛试题)
A.B.C.D.
三、培优训练
1、已知是有理数,且,那以的值是()
A.B.C.或D.或
2、(07乐山)如图,数轴上一动点向左移动2个单位长度到达点,再向右移动5个单位长度到达点.若点表示的数为1,则点表示的数为( )
A.B.C.D.
3、如图,数轴上标出若干个点,每相邻两点相距1个单位,点A、B、C、D对应的数分别是整数且,那么数轴的原点应是()
A.A点B.B点C.C点D.D点
4、数所对应的点A,B,C,D在数轴上的位置如图所示,那么与的大小关系是()
A.B.C.D.不确定的
5、不相等的有理数在数轴上对应点分别为A,B,C,若,那么点B()
A.在A、C点右边B.在A、C点左边C.在A、C点之间D.以上均有可能
6、设,则下面四个结论中正确的是()(全国初中数学联赛题)
A.没有最小值B.只一个使取最小值
C.有限个(不止一个)使取最小值D.有无穷多个使取最小值
7、在数轴上,点A,B分别表示和,则线段AB的中点所表示的数是。
8、若,则使成立的的取值范围是。
9、是有理数,则的最小值是。
10、已知为有理数,在数轴上的位置如图所示:
且求的值。
11、(南京市中考题)
(1)阅读下面材料:
点A、B在数轴上分别表示实数,A、B两点这间的距离表示为,当A、B两点中有一点在原点时,不妨设点A在原点,如图1,;当A、B两点都不在原点时,
①如图2,点A、B都在原点的右边;
②如图3,点A、B都在原点的左边;
③如图4,点A、B在原点的两边。
综上,数轴上A、B两点之间的距离。
(2)回答下列问题:
①数轴上表示2和5两点之间的距离是,数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是,数轴上表示1和-3的两点之间的距离是;
②数轴上表示和-1的两点A和B之间的距离是,如果,那么为;
③当代数式取最小值时,相应的的取值范围是;
④求的最小值。
聚焦绝对值
一、阅读与思考
绝对值是初中代数中的一个重要概念,引入绝对值概念之后,对有理数、相反数以及后续要学习的算术根可以有进一步的理解;绝对值又是初中代数中一个基本概念,在求代数式的值、代数式的化简、解方程与解不等式时,常常遇到含有绝对值符号的问题,理解、掌握绝对值概念应注意以下几个方面:
1、脱去绝值符号是解绝对值问题的切入点。
脱去绝对值符号常用到相关法则、分类讨论、数形结合等知识方法。
去绝对值符号法则:
2、恰当地运用绝对值的几何意义
从数轴上看表示数的点到原点的距离;表示数、数的两点间的距离。
3、灵活运用绝对值的基本性质
①②③④⑤⑥
二、知识点反馈
1、去绝对值符号法则
例1:
已知且那么。
拓广训练:
1、已知且,那么。
(北京市“迎春杯”竞赛题)
2、若,且,那么的值是()
A.3或13B.13或-13C.3或-3D.-3或-13
2、恰当地运用绝对值的几何意义
例2:
的最小值是()
A.2B.0C.1D.-1
解法1、分类讨论
当时,;
当时,;
当时。
比较可知,的最小值是2,故选A。
解法2、由绝对值的几何意义知表示数所对应的点与数1所对应的点之间的距离;表示数所对应的点与数-1所对应的点之间的距离;的最小值是指点到1与-1两点距离和的最小值。
如图易知
当时,的值最小,最小值是2故选A。
拓广训练:
1、已知的最小值是,的最大值为,求的值。
三、培优训练
1、如图,有理数在数轴上的位置如图所示:
则在中,负数共有()(湖北省荆州市竞赛题)
A.3个B.1个C.4个D.2个
2、若是有理数,则一定是()
A.零B.非负数C.正数D.负数
3、如果,那么的取值范围是()
A.B.C.D.
4、是有理数,如果,那么对于结论
(1)一定不是负数;
(2)可能是负数,其中()(第15届江苏省竞赛题)
A.只有
(1)正确B.只有
(2)正确C.
(1)
(2)都正确D.
(1)
(2)都不正确
5、已知,则化简所得的结果为()
A.B.C.D.
6、已知,那么的最大值等于()
A.1B.5C.8D.9
7、已知都不等于零,且,根据的不同取值,有()
A.唯一确定的值B.3种不同的值C.4种不同的值D.8种不同的值
8、满足成立的条件是()(湖北省黄冈市竞赛题)
A.B.C.D.
9、若,则代数式的值为。
10、若,则的值等于。
11、已知是非零有理数,且,求的值。
12、已知是有理数,,且,求的值。
13、阅读下列材料并解决有关问题:
我们知道,现在我们可以用这一个结论来化简含有绝对值的代数式,如化简代数式时,可令和,分别求得(称分别为与的零点值)。
在有理数范围内,零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况:
(1)当时,原式=;
(2)当时,原式=;
(3)当时,原式=。
综上讨论,原式=
通过以上阅读,请你解决以下问题:
(1)分别求出和的零点值;
(2)化简代数式
14、
(1)当取何值时,有最小值?
这个最小值是多少?
(2)当取何值时,有最大值?
这个最大值是多少?
(3)求的最小值。
(4)求的最小值。
15、某公共汽车运营线路AB段上有A、D、C、B四个汽车站,如图,现在要在AB段上修建一个加油站M,为了使加油站选址合理,要求A,B,C,D四个汽车站到加油站M的路程总和最小,试分析加油站M在何处选址最好?
16、先阅读下面的材料,然后解答问题:
在一条直线上有依次排列的台机床在工作,我们要设置一个零件供应站P,使这台机床到供应站P的距离总和最小,要解决这个问题,先“退”到比较简单的情形:
①②
如图①,如果直线上有2台机床(甲、乙)时,很明显P设在和之间的任何地方都行,因为甲和乙分别到P的距离之和等于到的距离.
如图②,如果直线上有3台机床(甲、乙、丙)时,不难判断,P设在中间一台机床处最合适,因为如果P放在处,甲和丙分别到P的距离之和恰好为到的距离;而如果P放在别处,例如D处,那么甲和丙分别到P的距离之和仍是到的距离,可是乙还得走从到D近段距离,这是多出来的,因此P放在处是最佳选择。
不难知道,如果直线上有4台机床,P应设在第2台与第3台之间的任何地方;有5台机床,P应设在第3台位置。
问题
(1):
有机床时,P应设在何处?
问题
(2)根据问题
(1)的结论,求的最小值。
有理数的运算
一、阅读与思考
在小学里我们已学会根据四则运算法则对整数和分数进行计算,当引进负数概念后,数集扩大到了有理数范围,我们又学习了有理数的计算,有理数的计算与算术数的计算有很大的不同:
首先,有理数计算每一步要确定符号;其次,代数与算术不同的是“字母代数”,所以有理数的计算很多是字母运算,也就是通常说的符号演算。
数学竞赛中的计算通常与推理相结合,这不但要求我们能正确地算出结果,而且要善于观察问题的结构特点,将推理与计算相结合,灵活选用算法和技巧,提高计算的速成度,有理数的计算常用的技巧与方法有:
1、利用运算律;2、以符代数;3、裂项相消;4、分解相约;5、巧用公式等。
二、知识点反馈
1、利用运算律:
加法运算律乘法运算律
例1:
计算:
解:
原式=
拓广训练:
1、计算
(1)
(2)
例2:
计算:
解:
原式=
拓广训练:
1、计算:
2、裂项相消
(1);
(2);(3)
(4)
例3、计算
解:
原式=
=
=
拓广训练:
1、计算:
3、以符代数
例4:
计算:
解:
分析:
令=,则
原式=
拓广训练:
1、计算:
4、分解相约
例5:
计算:
解:
原式==
=
三、培优训练
1、是最大的负整数,是绝对值最小的有理数,则=。
2、计算:
(1)=;
(2)=。
3、若与互为相反数,则=。
4、计算:
=。
5、计算:
=。
6、这四个数由小到大的排列顺序是。
7、(“五羊杯”)计算:
=()
A.3140B.628C.1000D.1200
8、(“希望杯”)等于()
A.B.C.D.
9、(“五羊杯”)计算:
=()
A.B.C.D.
10、(2009鄂州中考)为了求的值,可令S=,则2S=,因此2S-S=,所以=仿照以上推理计算出的值是()
A、B、C、D、
11、都是正数,如果,,那么的大小关系是()
A.B.C.D.不确定
12、设三个互不相等的有理数,既可表示为的形式,又可表示为的形式,求的值(“希望杯”邀请赛试题)
13、计算
(1)(2009年第二十届“五羊杯”竞赛题)
(2)(北京市“迎春杯”竞赛题)
14、已知互为相反数,互为负倒数,的绝对值等于,
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