5.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,cos2A=sinA,bc=2,则△ABC的面积为________.
解析:
由cos2A=sinA,得1-2sin2A=sinA,解得sinA=(负值舍去),由bc=2,可得△ABC的面积S=bcsinA=×2×=.
答案:
………………考点一 利用正、余弦定理解三角形……|多维探究型|……………
|多角探明|
角度一 求三角形的边长
【例1】 (2018届贵阳模拟)在△ABC中,内角A,B,C的对边a,b,c成公差为2的等差数列,C=120°.
(1)求边长a;
(2)(一题多解)求AB边上的高CD的长.
[解]
(1)由题意得b=a+2,c=a+4,
由余弦定理cosC=得cos120°=,即a2-a-6=0,∴a=3或a=-2(舍去),∴a=3.
(2)解法一:
由
(1)知a=3,b=5,c=7,由三角形的面积公式得absin∠ACB=c×CD,∴CD===,即AB边上的高CD=.
解法二:
由
(1)知a=3,b=5,c=7,
由正弦定理得==,
即sinA=,
在Rt△ACD中,CD=ACsinA=5×=,
即AB边上的高CD=.
角度二 求三角形的角或角的三角函数值
【例2】
(1)在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则cosA=( )
A.B.
C.-D.-
(2)(2018届河北“五个一名校联盟”模拟)已知a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C所对的边,且c=2,C=,若sinC+sin(B-A)=2sin2A,则A=________.
[解析]
(1)设△ABC中角A,B,C的对边分别是a,b,c,由题意可得a=csin=c,则a=c.在△ABC中,由余弦定理可得b2=a2+c2-ac=c2+c2-3c2=c2,则b=c.由余弦定理,可得cosA===-,故选C.
(2)在△ABC中,由sinC+sin(B-A)=2sin2A可得sin(A+B)+sin(B-A)=2sin2A,即sinAcosB+cosAsinB+cosAsinB-sinAcosB=4sinAcosA,∴cosAsinB=2sinAcosA,即cosA(sinB-2sinA)=0,即cosA=0或sinB=2sinA,
①当cosA=0时,A=;
②当sinB=2sinA时,根据正弦定理得b=2a,
由余弦定理c2=b2+a2-2abcosC,结合c=2,C=,得a2+b2-ab=4,
∴a=,b=,∴b2=a2+c2,∴B=,∴A=.
综上可得,A=或.
[答案]
(1)C
(2)或
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应用正弦、余弦定理的解题技巧
(1)求边:
利用公式a=,b=,c=或其他相应变形公式求解.
(2)求角:
先求出正弦值,再求角,即利用公式sinA=,sinB=,sinC=或其他相应变形公式求解.
(3)已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解.
(4)灵活利用式子的特点转化;如出现a2+b2-c2=λab形式用余弦定理,等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理.
|变式训练|
1.(2018届福建莆田联考)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若asinBcosC+csinBcosA=b,且a>b,则B=( )
A.B.
C.D.
解析:
选A ∵asinBcosC+csinBcosA=b,∴根据正弦定理可得sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=sinB,即sinB(sinAcosC+sinCcosA)=sinB.∵sinB≠0,∴sin(A+C)=,即sinB=.∵a>b,∴A>B,即B为锐角,∴B=,故选A.
2.(2019届黄冈模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.
(1)若23cos2A+cos2A=0,且△ABC为锐角三角形,a=7,c=6,求b的值;
(2)若a=,A=,求b+c的取值范围.
解:
(1)∵23cos2A+cos2A=23cos2A+2cos2A-1=0,
∴cos2A=,
又A为锐角,∴cosA=,
a2=b2+c2-2bccosA,即b2-b-13=0,
得b=5(负值舍去),∴b=5.
(2)解法一:
由正弦定理可得b+c=2(sinB+sinC)=2=2sin,
又0
解法二:
由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA可得b2+c2-3=bc,
∴(b+c)2-3=3bc≤(b+c)2,当且仅当b=c时取等号,
∴b+c≤2,又由两边之和大于第三边可得b+c>,
∴b+c∈(,2].
………………考点二 判断三角形的形状…………|重点保分型|……………
|研透典例|
【典例】 (一题多解)在△ABC中,若a2+b2-c2=ab,且2cosAsinB=sinC,试判断△ABC的形状.
[解] 解法一:
利用边的关系来判断
由正弦定理得=,
由2cosAsinB=sinC,有cosA==.
又由余弦定理得cosA=,
所以=,
即c2=b2+c2-a2,所以a2=b2,所以a=b.
又因为a2+b2-c2=ab.
所以2b2-c2=b2,所以b2=c2,
所以b=c,所以a=b=c.
所以△ABC为等边三角形.
解法二:
利用角的关系来判断
因为A+B+C=180°,
所以sinC=sin(A+B),
又因为2cosAsinB=sinC,
所以2cosAsinB=sinAcosB+cosAsinB,
所以sin(A-B)=0.
又因为A与B均为△ABC的内角,所以A=B,
又由a2+b2-c2=ab,
由余弦定理,得cosC===,
又0°所以C=60°,
所以△ABC为等边三角形.
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判定三角形形状的两种常用途径
[提醒]“角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系;“边化角”后要注意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关系.
|变式训练|
在△ABC中,若(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),则△ABC的形状是( )
A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形
解析:
选D 因为(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),所以b2[sin(A+B)+sin(A-B)]=a2[sin(A+B)-sin(A-B)],
所以2sinAcosB·b2=2cosAsinB·a2,
即a2cosAsinB=b2sinAcosB.
解法一:
由正弦定理知a=2RsinA,b=2RsinB,
所以sin2AcosAsinB=sin2BsinAcosB,
又sinA·sinB≠0,
所以sinAcosA=sinBcosB,所以sin2A=sin2B.
在△ABC中,0<2A<2π,0<2B<2π,
所以2A=2B或2A=π-2B.所以A=B或A+B=.
所以△ABC为等腰三角形或直角三角形,故选D.
解法二:
由正弦定理、余弦定理得:
a2b=b2a,
所以a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2),
所以(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,
所以a2-b2=0或a2+b2-c2=0,
即a=b或a2+b2=c2.
所以△ABC为等腰三角形或直角三角形.故选D.
………………考点三 三角形面积的计算………………|多维探究型|……………
|多角探明|
角度一 求三角形的面积
【例1】 (2018届武汉调研)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且2bcosC=2a+c.
(1)求B;
(2)若b=2,a+c=,求△ABC的面积.
[解]
(1)由正弦定理,知2sinBcosC=2sinA+sinC,
由A+B+C=π,得2sinBcosC=2sin(B+C)+sinC,
化简,得2sinBcosC=2(sinBcosC+cosBsinC)+sinC,
即2cosBsinC+sinC=0.
因为sinC≠0,所以cosB=-.
因为0
(2)由余弦正理b2=a2+c2-2accosB,可知b2=(a+c)2-2ac-2accosB,
因为b=2,a+c=,所以22=()2-2ac-2accos,得ac=1.
所以S△ABC=