核反应堆物理分析习题答案第四章.docx
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核反应堆物理分析习题答案第四章
解:
第四章
1.试求边长为a,b,c(包括外推距离)的长方体裸堆的几何曲率和中子通量密度的分布。
设
有一边长a=b0.5m,c=0.6m(包括外推距离)的长方体裸堆,L=0.043m,
.=610-mo
(1)求达到临界时所必须的k.;
(2)如果功率为5000kW〕f=4.01m—1,求中子通量密度分布。
长方体的几何中心为原点建立坐标系,则单群稳态扩散方程为:
D(豊+空+空)锂3乙心0
:
X:
y:
z
边界条件:
(a/2,y,z)(x,b/2,z)=(x,y,c/2)=0
(以下解题过程都不再强调外推距离,可认为所有外边界尺寸已包含了外推距离)因为三个方向的通量拜年话是相互独立的,利用分离变量法:
*(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z)
V2Xv2yV2Za—1
将方程化为:
一
XYZ
其中0是待定常数。
(2)
23
其中:
M2=L2宀=0.00248m2
二k:
:
=1.264
只须求出通量表达式中的常系数'0
P二Ef「fdV二Ef'fo2aCOS(—x)dx2cos(:
y)dy』cos(—z)dz二E「f°abc(—)
(或用二=1:
k:
J
对于单群修正理论:
M2=L2=0.03m2
BM二k:
J=9.33m,
在临界条件下:
11
2222=0.7813
1BJM21B;M2
(注意:
这时能用丸=1k:
:
实际上在维持临界的前提条件下修正理论不会
对不泄露几率产生影响,但此时的几何曲率、几何尺寸已发生了变化,不
再是之前的系统了。
)
2
4.设有圆柱形铀-水栅装置,R=0.50米,水位高度H=1.0米,设栅格参数为:
k-=1.19,L=6.6-42-22
x10米,t=0.50x10米。
(a)试求该装置的有效增殖系数k;(b)当该装置恰好达临
界时,水位高度H等于多少?
(c)设某压水堆以该铀-水栅格作为芯部,堆芯的尺寸为R=1.66米,H=3.50米,若反射层节省估算为Sr=0.07米,Sh=0.1米。
试求反应堆的初始反应性p
几何曲率岂栅讐呱
II*L、T
修正单群
临界理论
材料曲率Be
等效裸堆
R=R卡勇H*=H+2片
5.一个球壳形反应堆,内半径为R,外半径为R2,如果球的内、外均为真空,求证单群理论的
临界条件为:
tanBRi-BRitanBR2:
1+BRtanBR
-2C
~2
.rr
边界条件:
解答:
以球心为坐标原点建立球坐标系,单群稳态扩散方程:
2「j.
B
a
i.limJ=0;
ii.(R2)=0
(如果不R2包括了外推距离的话,所得结果将与题意相悖)
球域内方程通解:
(rHAC0SBLVs诅
rr
i可得:
一D「「才ABCOSBB1_AS^-CB-cCOSB^=0
r=R1R1R2RR2
_。
_aBRcosBR1—sinBR_人tanBR,-BR
BR-isinBR,+cosBR,BR,tanBR,+1
由条件ii可得:
丄“tanBR—BR、〒“
由此可见,tanBR2--,证毕。
BRtanBR+-
7•—由纯235U金属(=18.7-03kg/m3)组成的球形快中子堆,其周围包以无限厚的纯238U(^=19.0103kg/m3),试用单群理论计算其临界质量,单群常数如下:
23U:
;「f=1.5b,;「a=1.78b,'L=35.4m',v=2.51;238U:
;「f=0,;「a=0.18b,'tr=35.4m'。
解:
以球心为左边原点建立球左边系,对于设其分界面在半径为R处:
2k——1
U-235和U-238分别列单群稳态扩散方程,
方程
U-235「5二——丁5
RR、
(1)exp()
IL/D8exp^R/L8)R
A888A8sinBR—BRcosBR=
(1)sinBR
sinBR—BRcosBRD5sinBRL8
R
即:
-BRcosBRsinBR
L8
代入数据:
B2
==0.1043m
R=arccot(-1/BL8)="arctan(1/BL8)=0.06474m
W3瓦a,5》f,5
B
43
m=:
,5V5=*R21.3kg
3
8•试证明有限高半圆形反应堆中子通量密度分布和几何曲率
(r,z「)=AJ1(竺
R
Bf2
其中:
X1=3.89是JdxJ的第一个零点,即。
单群稳态扩散方程可写为(临界条件下,
证明:
(1)书上图4-8所示的柱坐标系下,
几何曲率与材料曲率相等):
严1「1严乎2
—2^-Bg,(0乞心R,0「「,一H/2乞Z乞H/2)
.rr:
rrz
边界条件(不考虑外推距离):
i.'r出二r£=0
ILh==0
III.\出/2=z=_H/2=0
(注意,这里不能用线性微分方程解的存在唯一性定理:
如果ai(t)(i=1,2,…,n),f(t)都是区间〔a,b1上的连续函数,则对于任一t°•(a,b)及任意的x(0),x0°,x02),…x0n」),方程:
x(n)盼⑴)亠亠an』xanx=f(t)
存在唯一解
X=卩(t)
定义于区间l-a,b1上,且满足初值条件x(k)(to)=x0k)(k=O,;n-1),
而此扩散方程并非线性微分方程。
)
对于表达式:
(r,乙二)=AJ1(xlr)sin二cos(——),为=3.89
RH
不难证明其满足上述全部三个边界条件。
(J1(0)=J1(3.89)=0)
xJi=-nJxJ,oJ-iJ
可推得:
JixJ0
Ji—
X
-Ji2xJo^|_JrxJ0J
XX
x1rxir
R
Ji(晋)
-J(空)-
一j1_(r)-
r
J
(二)2
IL(r)一
rr
Xir、2
X1
1J
R
Ji(等)
(Xir)Xir|(Xir)i()J0()
RRR
所以:
RJ,(討等J。
(等)i
(兀
.2
C
Xi「、2
冉有:
jiz2
FC0畤)
cos()H
Xi2
Ir丿Ih丿可知该表达式为方程的解。
证毕。
(也可如此推出解的形式:
分离变量:
艺d2Q
方程变形:
d「2rdr.三42
申r2Q
所以方程为:
二2
-
(一)2
H
(L,z)八(r)QL)Z(z)
d2Z
dQd2Z
22-
设:
-n2(n为任意实数),生B;;
QZ
d2「1d:
+22
―r-d^_再B:
B;—B:
二r2-牙r-(B;_n2)「=0
rdrdr
2d2®d申22
变量替换:
x=Brr,Br「(x)V(r),x:
x(x-n)—0
dxdx
此为nBessel阶方程,通解为
却Jn(x)Jn(Bj)
Yn(x)Yn(Brx)
由边界条件i可得,n须取使Jn(0)=0的值,在其中,我们只去基波,即n=1,相应的BrR=为:
玖r)=Ji(xd/R)
相应的:
QD^A^sinvC,sinv
由边界条件ii可得:
C厂0,Q(R=A护inr
对于z有:
Z(z)=Azsin(Bzz)Czcos(Bzz)
由边界条件ii可得,Az=0,Bz=二/H,Z(z)=CzCOS(二z/H)
所以:
+=AJ1(x-ir/R)sin8cosprz/H)
10.设有均匀圆柱形裸堆,其材料曲率等于,试求:
(1)使临界体积为最小的R/H的值;
(2)最小临界体积V与B;的关系。
■:
2
2可得,在临界条件下:
R22.405
B,-(―)
gH
(2)由上可得临界最小体积:
B:
V「r2h二啤丄互2.40523忌2B,2Bg
由于临界条件下:
B;二B;,所以:
V=148.4/Bm
23933
11.设有意纯Pu(J=14.410kg/m)组成的球形快中子临界裸堆,试用下列单群常数:
v=2.19,f
1b8:
5
解:
由已知条件可得:
N
血;:
26二,计算其临界半径与临界质量。
103TNa28卫
A=3.6410m
M
v瓦fk:
:
―a
=1.92
二f
L21.7710Jm2
Ea3EaEtr3N%NQf+S)
设临界半径为R,则临界条件:
B:
二B;,可得:
2
k「1
R二
心.0.138m
k:
:
-1
需要考虑外推距离:
d=0.7104,打二0^104=0.0288m
N%
所以实际临界体积为:
4333
V(R-d)=5.4010m
3
对于这一实际问题,
临界质量:
m='V77.8kg
12.试求下列等效裸堆内热中子通量密度的最大值与平均值,即热中子通量密度的不均匀系数:
(1)
半径为
(2)
(3)
R的球形堆,反射层节省为;
R,高度为H的圆柱形堆,反射层节省分别为r和:
H;
a,b,c的长方形堆,反射层节省分别为,「。
半径为
边长为
解:
可利用裸堆的结论,球:
圆柱:
K
H,bare
箱;3・27
sin(r)4二rdr
0R
兀2R3
H3'R、T
兀r2h=2/Hcosez)dzRJo(2^05-2/HH0r
-3.62(R)2(H)
R+®H+26h
r)2二rdr
立方体:
Kh,bare
-3.62
abc
__b/2____
._^/2cos(-x)dx七/2cos(by)dy.acos(-z)dz
a/2兀
c/2二
二3
3.88
8
3
兀aaa
_8(a2、x)(a2y)(a2z)
详细推导:
据97页4-1裸堆的通解形式可得:
='Kh
球:
1
(r)二Asin(
r
r)
Kh
max
"max
-1兀1
[Arsin(R+6Tr)_
=limr_#
JI
A
R+5t
ji"I
cos(-——r)
R+6t
1
!
J
JI
=Ar、T
R、T
3
V=4二R3/3
2汀打R
I:
dV=A0d「0sinvd0rsin(r)dr
R亠门T
r)d-cos——:
—r)[R+耳
R帖
=A2「:
(_cosv)l00'
rsin(—
R、T
JI
Kh
SA一jcos(-
J严(d[_cos亠J一’0兀[R+6t一
=4A
©
1max
1-dVVV
0o(^-T)2cos(x)dx=4A(R、T)
兀4兀R3
A
RT3
4A(RT)
3占
2405
(r,z)=AJ°(r)cos(z)
R+6tH+26z
2405江
max」im°AJ0(r)cos(z)=A
z0RTH2、z
2
VkRh
2応R弋24052/H
VdV二A0d》0「J0(R~^r)dr2Hcos(
H2z•/sinE
圆柱:
弋Z)dz
RT、./2.405、.
A2二(匚)J(r)|
2.405RT
(R-T)2H2、z
二A2T0.5191
2.405
r=
0
JI
\'|2/H
z)L/H
71
2=0.863337A(RT)2(H2z)
-丄dV「0.863337A(R、t)2(H2z)
VV
764(壮)2(总)
立方体:
(x,y,z)"cos(px)cos(下y)cos(弋z)
JI
-
®max=limAcos(
XTIyT-z0
JI
31JI
片x)cos(ky)cos(kz)+
vdV
a/2.-b/;;2y
C4co——xdX[°
一ja-2x•-5
Hc4&2z
c-os-(ydy)
b2y臥J
cos(zdz)c•2y
Kh
”2—
ji
ji
二A(?
)'(a2x)(b-2y)(c-2z)
H
max
Aabc
-21
A(—)(a2x)(b2y)(c2Z)
兀
a
a2x
)(
b2y)(
c
c2、z
16.设有如图4-9所示的一维无限平板反应堆。
中间区域(I)的k:
;=1,厚度2b为已知,两侧区域(II)的k:
1,试用单群理论导出确定临界尺寸a的公式及临界时中子通量
密度的分布。
说明尺寸b对临界尺寸有无影响及其理由。
解:
以平板厚度方向上的几何中心为原点建立坐标系,对两区分别建立单群稳态扩
散方程(由于几何上的对称性,对于本体只需考虑一侧,如X为正一侧)
-Di:
b:
2"a:
:
d^(kL-1)/a:
dx(kH:
-1)bb^ai:
dx=(k:
:
:
:
-1)bfa:
:
dx
-B:
2=(k|:
:
-1)二/D:
:
过对通量分布产生影响从而作用于泄漏率的)
IIAi=AII
k"二Bik:
:
-1/Li=0
中子通量密度分布为:
Ahcos
ii(x)二AiicosX,i(x)
2a2b
其中Ai由临界时的功率条件确定。
17.设有高度为H(端部无反射层)径向为双区的圆柱形反应堆,中心为通量密度展平区,要求中子通量密度等于常数,假定单群理论可以适用。
试求:
(1)中心区的k:
:
应等于多少?
(2)临界判别式及中子通量密度分布。
解:
自己设定材料有关参数,以几何中心为原点建立坐标系:
『丨1I
—2―I
〒_
.:
2■■
-II-2
一r
解:
对于单群理论:
B:
H2-兀2
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