北京市海淀区学年高二下学期数学期中数学试题及答案.docx

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北京市海淀区学年高二下学期数学期中数学试题及答案

海淀区高二年级第二学期期中练习

数学

2021.4

本试卷共4页，100分.考试时长90分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一､选择题：

共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1.已知等差数列中，，公差，则（）

A.9B.10C.11D.12

2.已知等比数列的公比为，前项和为若，则（）

A.8B.12C.14D.16

3.函数的导函数（）

A.B.C.D.

4.已知函数的图象如图所示，则的极小值点的集合为（）

A.B.

C.D.

5.已知函数若对于任意都有，则实数的范围是（）

A.B.C.D.

6.科学家经过长期监测，发现在某一段时间内，某物种的种群数量可以近似看作时间的函数，记作，其瞬时变化率和的关系为，其中为常数.在下列选项所给函数中，可能是（）

A.B.

C.D.

7.若函数有唯一零点，则实数的取值范围为（）

A.B.C.D.或

8.一个小球作简谐振动，其运动方程为，其中（单位：

是小球相对于平衡点的位移，（单位：

）为运动时间，则小球的瞬时速度首次达到最大时，（）

A.1B.C.D.

9.已知等比数列满足，记，则数列（）

A.有最大项，有最小项B.有最大项，无最小项

C.无最大项，有最小项D.无最大项，无最小项

10.已知等比数列满足若，则（）

A.B.

C.D.

二､填空题：

共5小题，每小题4分，共20分.

11.函数在处的切线方程为__________.

12.已知函数，则__________.

13.已知等比数列的前项和，则__________，__________.

14.已知等比数列满足能说明“若，则为假命题的数列的通项公式__________.（写出一个即可）

15.物体的温度在恒定温度环境中的变化模型为：

，其中表示物体所处环境的温度，是物体的初始温度，是经过小时后物体的温度，且现将与室温相同的食材放进冰箱的冷冻室，如果用以上模型来估算放入冰箱食材的温度变化情况，则食材的温度在单位时间下降的幅度__________（填写正确选项的序号）.

①越来越大②越来越小③恒定不变

三､解答题：

共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

16.已知等差数列的前项和为，且

（1）求的通项公式；

（2）求数列的前20项和；

（3）在数列中是否存在不同的两项，使得它们的等比中项中至少有一个仍是该数列中的项？

若存在，请写出这两项的值（写出一组即可）；若不存在，请说明理由.

17.已知函数

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）若恒成立，求的取值范围.

18.易拉罐用料最省问题的研究.小明同学最近注意到一条新闻，易拉罐（如图所示）作为饮品的容器，每年的用量可达数万亿个.这让他想到一个用料最优化的问题，即在易拉罐的体积一定的情况下，如何确定易拉罐的高和半径才能使得用料最省？

他研究发现易拉罐的上盖､下底和侧壁的厚度是不同的，进而结合数学建模知识进行了深入研究.以下是小明的研究过程，请你补全缺失的部分.

以下是小明的研究过程，请你补全缺失的部分.

（I）模型假设：

①易拉罐近似看成圆柱体；

②上盖､下底､侧壁的厚度处处均匀；

③上盖､下底､侧壁所用金属相同；

④易拉罐接口处的所用材料忽略不计.

（II）建立模型

记圆柱体积为，高为，底面半径为，上盖､下底和侧壁的厚度分别为，

金属用料总量为C.

由几何知识得到如下数量关系：

①

②

由①得，代入②整理得：

.

因为都是常数，不妨设，

则用料总量的函数简化为.

请写出表格中代入整理这一步的目的是：

___________________________.

（III）求解模型：

所以，在___________（用表示）时，取得最小值，即在此种情况下用料最省.

（Ⅳ）检验模型：

小明上网查阅到目前330毫升可乐易拉罐的数据，得知，代入（III）的模型结果，经计算得

经验算，确认计算无误，但是这与实际罐体半径差异较大.实际上，在经济利益驱动之下，目前的罐体成本应该已经达最优.

（Ⅴ）模型评价与改进：

模型计算结果与现实数据存在较大差异的原因可能为：

__________________________

_______________________________________________________________________.

相应改进措施为：

__________________________________________________________

_______________________________________________________________________.

19.集合，集合，若集合中元素个数为，且所有元素从小到大排列后是等差数列，则称集合为“好集合”.

（1）判断集合是否为“好集合”；

（2）若集合是“好集合”，求的值；

（3）“好集合”的元素个数是否存在最大值？

若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由.

海淀区高二年级第二学期期中练习参考答案

数学

2021.4

本试卷共4页，100分.考试时长90分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上

作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题

目要求的一项

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

C

C

A

B

B

A

D

D

A

A

二､填空题共5小题，每小题4分，共20分.

11.

12.

13.（每空2分）

14.（答案不唯一）

15.②

三､解答题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

16.【解析】

（1）设等差数列的公差为，由题意得，

解得，

所以.

（2）由可得，由可得，

所以，

所以.

（3）存在

答案不唯一）

17.【解析】

（1）当时，，定义域为，

当时，；

当时，，所以的单调递增区间是；

当时，，所以的单调递减区间是；

综上，的单调递增区间是，单调递减区间是.

（2）定义域为，

所以恒成立，等价于恒成立，

设，则，

当时，；

当时，的单调递增区间是；

当时，的单调递减区间是

所以，的极大值，此时也是最大值，为.

所以的取值范围是.

18.【解析】

（2）表格中代入整理这一步的目的是：

消元，消去变量，使②中的表达式只含有一个自变量.

（3）解：

由可得，

当时，；

当时，，所以的单调递增区间是.

当时，，所以的单调递减区间是.

所以，在时，取得最小值，即在此种情况下用料最省.

（Ⅴ）说明：

本小题的答案不唯一，下面两种是常见的两个考虑维度，答出任何一条即可，但是学生指出的原因和改进措施必须相匹配，只填出一空不给分.

模型计算结果与现实数据存在较大差异的原因可能为：

①模型假设过于简单，把易拉罐近似看成圆柱体，但实际上易拉罐的上部为近似圆台体，尤其是底部有凹进去的部分相应改进措施：

更精细描述易拉罐，例如将易拉罐体看作是圆台和圆柱的组合体.

②模型主要考虑了如何设计使得用料最省，但实际上还需要考虑生产与运输中的其它限制条件，还有消费者的喜好等其它因素.相应改进措施：

了解在现实中，商家认为的最优内涵要素，重新界定问题.

19.【解析】

（1），相应的符合题意，所以是“好集合”；

，因为，所以不符合题意，所以不是“好集合”；

（2），相应的，

又因为，所以元素由小到大排列后为：

或

因为这个序列是等差数列，所以公差.

所以或，所以或

经检验，当时，，符合题意；时，不符合题意.

所以

（3）“好集合”的元素个数存在最大值.

由

（2）可知即为“好集合”.

以下证明都不是“好集合"，共分为两步：

先证明“好集合”的元素个数，再证明也不符合题意.

不妨设，记，

中的所有元素从小到大排列为，构成的等差数列公差为

显然，所以.

第一步，证明“好集合”的元素个数.

（反证法）假设，以下分与两种情况进行讨论：

（1）若，

又因为且公差，

可得，

所以，

所以，

因为余下的两项之和中，最小，

所以，所以，

因为，

在余下的项中，是和是较小的，

因为，所以，

所以，则

所以

这与“中元素个数为”矛盾!

（2）若，则，

在余下的项中，是和是较小的，

①若，那么，

所以，，

而与“中元素个数为”矛盾!

②若，

那么

所以，

因为余下的两项之和中，最小，

所以，所以，

又因为，

所以，所以，

所以，与“中元素个数为”矛盾!

综合

（1）

（2）可知，假设不成立，所以.

第二步，证明也不符合题意

当时，显然，

所以，且，即公差为，

因为

所以，

注意到，否则成等差数列，，与“中元素个

数为”矛盾!

所以，

又因为，

所以，

所以，

所以，

所以成等差数列，所以，与“中元素个数为”矛盾!

所以，也不符合题意.