导数的计算.docx

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导数的计算

§1.2导数的计算

§1.2.1几个常用函数的导数

教学目标：

1.使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数yc、yx、21

yx2、y的导数公式;

x

2.掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数

教学重点：

四种常见函数yc、yx、y

教学难点：

四种常见函数yc、yx、y

21

x2、y的导数公式及应用

x

21

x2、y的导数公式.

x

教学过程：

一、创设情景

我们知道,导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率,物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度.那么,对于函数yf（x）,如何求它的导数呢？

由导数定义本身,给出了求导数的最基本的方法,但由于导数是用极限来定义的

所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦,有时甚至很困难,为了能够较快地求出某些函数的导数,这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法,下面我们求几个常用的函数的导数.

二、新课讲授

1.函数yf（x）c的导数

根据导数定义,因为yf（xx）f（x）cc0

xxx

函数

导数

yc

y0

所以ylimylim00

x0xx0

y0表示函数yc图像（图3.2-1）上每一点处的切线的斜率都为路程关于时间的函数,则y0可以解释为某物体的瞬时速度始终为

0.若yc表示

0,即物体一直处

于静止状态

2.函数yf（x）x的导数

因为yf（xx）f（x）xxx1

xxx

所以ylimylim11

x0xx0

函数

导数

yx

y1

y1表示函数yx图像（图3.2-2）上每一点处的切线的斜率都为1,若yx表示

路程关于时间的函数,则y1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动.

3.函数y

因为yx

所以y

f（x）x12的导数

f（xx）f（x）（xx）2x2

x22xx（x）2x2

2x

lixm0yx

函数

导数

2yx

y2x

lim（2x

x）2x

y2x表示函数yx图像（图3.2-3）上点（x,y）处的切线的斜率都为2x,说明随

着x的变化,切线的斜率也在变化.另一方面,从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看,表明:

当x0时,随着x的增加,函数yx2减少得越来越慢;当x0时,随着x的增加,函数yx2增加得越来越快.若yx2表示路程关于时间的函数,则y2x

可以解释为某物体做变速运动

它在时刻x的瞬时速度为2x.

4.函数y

因为yx

所以y

lixm0

函数

导数

1

1

y

y2

x

x

1

2）xxx

ylixm（0

2x

5.函数yf（x）x的导数因为yf（xx）f（x）xx

（xxx）（xxx）x（xxx）

（xx）x

x（xxx）

所以y

y11limlim

x0xx0xxx2x

函数

导数

yx

1

y2x

推广:

若yf（x）xn（nQ*）,则f（x）nxn1注:

这里n可以是全体实数.

三、课堂练习

1.课本P13探究1

2.课本P13探究2

四、回顾总结

函数

导数

y

c

y'

0

y

x

y'

1

y

x2

y'

2x

1

1

y

y'

2

x

x

y

x

y

1

2x

yf（x）

xn（nQ*）

y'

nxn1

五、布置作业

§1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则

教学目标：

1.熟练掌握基本初等函数的导数公式;

2.掌握导数的四则运算法则;

3.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.

教学重点：

基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则

教学难点：

基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用教学过程：

一、创设情景

五种常见函数yc、yx、yx2、y1、yx的导数公式及应用

x

函数

导数

y

c

y'

0

y

x

y'

1

y

2x

y'

2x

1

1

y

y'

2

x

x

y

x

y

1

2x

yf（x）

xn（nQ*）

y'

n1

nx

二、新课讲授

（一）基本初等函数的导数公式表

函数

导数

yc

y'0

n*yf（x）xn（nQ*）

'n1ynx

ysinx

y'cosx

ycosx

y'sinx

yf（x）ax

y'axlna（a0）

yf（x）ex

'xy'ex

f（x）logax

'1

f（x）logaxf'（x）（a0且a1）

xlna

f（x）lnx

'1f'（x）

x

（二）导数的运算法则

导数运算法则

1．

f（x）g（x）

f'（x）g'（x）

2．

f（x）g（x）'

f'（x）g（x）f（x）g'（x）

3．

f（x）f'（x）g（x）f（x）g'（x）

g（x）

2

g（x）2

推论:

cf（x）'cf'（x）（常数与函数的积的导数,等于常数乘函数的导数）

（三）运算法则的证明

加上第一个函

[u（x）v（x）]'u'（x）v'（x）.证明:

令yf（x）u（x）v（x）.

y[u（xx）

v（x

x）][u（x）

v（x）]

[u（xx）

u（x）]

[v（x

x）

v（x）]

uv

yuu

xxx

y

uv

u

v

limlim

lim

lim

x0xx0

xx

x

0x

x0x

即[u（x）v（x）]'

u'（x）

v'（x）.

法则1：

两个函数的和（或差）的导数,等于这两个函数的导数的和（或差）,即:

（uv）'u'v'.

342

范例:

（1）求yx3sinx的导数.

（2）求yx4x2x3的导数.

法则2：

两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数数乘以第二个函数的导数,即:

（uv）'u'vuv'.

指导学生尝试法则令y

f（x）u（xu（xu（x

2的证明:

u（x）v（x）.

x）v（xx）u（x）v（x）

x）v（xx）u（x）v（xx）u（x）v（x

x）u（x）vA（xx）v（xx）u（x）limx

y

x因为v（x）在点x处可导,所以它在点x处连续,于是当x

xu（x）v（x）.v（x）.

x

从而limy

x0x

0时,v（xx）v（x）.limu（xx）u（x）x0

v（xx）u（x）

y'（uv）'

u'（x）v（x）u'vuv'

xu（x）v'（x）.

limv（xx）v（x）

x0x

说明:

1.

（uv）'u'v'.

2.若C为常数,则（Cu）'

等于常数乘以函数的导数

C'uCu'

（Cu）'

0Cu'Cu'.即常数与函数的积的导数Cu'.

法则3：

两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的

积,再除以分母的平方：

回顾导数定义：

f'（x）

证明：

设

yf（x）

u（xy

v（x

u（x

limyx0xu（x）,v（x）v（x）

x）u（x）

x）v（x）

uu'vuv'

2（v0）vv

f（xx）f（x）

0

lim

x

u（x

x）v（x）u（x）v（xx）v（xx）v（x）

x）u（x）v（x）u（x）v（xx）v（x）

v（xx）v（x）

u（xx）u（x）v（x）u（x）v（xx）v（x）yxxv（xx）v（x）

因为v（x）在点x处可导,所以v（x）在点x处连续.

于是当x

从而lixm0

0时,v（xx）v（x）u'（x）v（x）u（x）v'（x）

v（x）2

即y'u

v

u'vuv'

2

v

说明:

若两个函数可导

则它们的和、差、积、商（商的分母不为0）必可导.若两个函数均不可导,则它们的和、差、积、商不一定不可导.

11

例如:

设f（x）sinx,g（x）cosx,则f（x）、g（x）在x0处均不可导,

xx

但它们的和

三、典例分析

例1假设某国家在

f（x）g（x）sinxcosx在x0处可导.

20年期间的年均通货膨胀率为5%,物价p（单位:

元）与时间t（单位:

年）有如下函数关系p（t）p0（15%）t,其中p0为t0时的物价.假定某种商品的p01,那么在第10个年头,这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精

确到0.01）?

解:

根据基本初等函数导数公式表,有p'（t）1.05tln1.05所以p'（10）1.0510ln1.050.08（元/年）

因此,在第10个年头,这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨.

例2根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则

3

1

1x

lnx

求下列函数的导数.

（1）

y

3x

2x

（2）

y

1

1

x

（3）

y

x

sinx

（4）

y

x

4x

（5）

y

1

lnx

1

lnx

（6）

y

（2x25

（7）

y

sinx

y

解:

（1）

cosx

（x32x3x22。

5x1）ex

xcosxxsinx

3）'（x3）

3'

（2x）（3）

3x22

（2）

（11x）'

1x

1

2x

（1x）2

1（1

（11x）

1

2x

（1x）2x）2（1x）

（1x）'

（1x）'

（1x）2

2x[（1x）2

2

（1x）2]

（1x）x

x（1x）2

（1lnxsinx

x1）sinx

（xlnx）cosx

x

x

lnx

sinx

lnx

cosx

y'

sinx

lnx

sinx

x

lnx

cosx

（4）y'

（4xx）'

x'

x

4x

（4x）2

（4x）'

14xx4xln41xln4（4x）24x

（3）

lnx）sinx]（xlnx）sinx（xlnx）（sinx）

y

2x（1x）2（1x）xx（1x）2

（xsinxlnx）'[（x

1xln4

y

4x

（5）y'

y'

（6）y'

y'

（7）y'

1

lnx'

2

'2（

1'

2

x

2

（

）'（1

）

）'

1

lnx1

lnx

1

lnx

（1

lnx）

2

x（1

lnx）2

（2x

25x1）'ex

（2x2

5x

1）（ex）'

（4x

5）ex（2x2

5x

x

1）ex

（2x2

x4）

xe，

1

（2x2x4）ex。

2x（1lnx）2

sinx

cosx

xcosx）'xsinx

（sinxxcosx）（cosx

xsinx）（sinx

xcosx）（cosxxsinx）

xcosx）

例3日常生活中的饮水通常是经过净化的

随着水纯净度的提高,所需净化费用不断

增加.已知将1吨水净化到纯净度为

x%时所需费用（单位:

元）为

c（x）

5284（80x

100x

100）

（cosxxsinx）2

（cosxcosxxsinx）（cosxxsinx）（sinxxcosx）（sinxsinx

（cosxxsinx）2

xsinx（cosxxsinx）（sinxxcosx）xcosx

求净化到下列纯净度时,所需净化费用的瞬时变化率:

（1）90%

（2）98%解:

净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数

'5284'5284'（100x）5284（100x）'

c'（x）（）'2

100x（100x）20（100x）5284

（1）5284

（100x）2

（100x）2

5284

（1）因为c'（90）2

（10090）2

所以,纯净度为90%时,费用的瞬时变化率是52.84元/吨

（2）因为c'（98）528421321

（10098）2

所以,纯净度为98%时,费用的瞬时变化率是1321元/吨

注:

函数f（x）在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢.由上述计算可知,c'（98）25c'（90）.它表示纯净度为98%左右时净化费用的瞬时变化率,大约是纯净度为90%左右时净化费用的瞬时变化率的25倍.这说明,水的纯净度越高,需要的净化费用就越多,而且净化费用增加的速度也越快.

52.84

1

例4求曲线ysinx在点A（,）的切线方程.

62

分析:

先要求出函数ysinx的导函数,然后利用导函数求出曲线在点

A（,1）的

62

切线的斜率,最后应用点斜式求出切线的方程.解:

ysinxy'（sinx）'cosx

33

斜率k

22

13（x）化简得63x12y63

226

x

xcos

x66

切线方程为y

故曲线ysinx在点A（,1）的切线方程为63x12y63062

11类型题:

求曲线y在点R（8,）的切线方程.

3x24

例5试用求导的方法求和12x3x2

nxn1（x1）.

例1

解:

例2

解:

例3

解:

例4

解:

例5

解:

例6

解:

补充例题

判断下列求导是否正确

加以改正.

1cosx

2x（1

cosx）

x2sinx

2

x

求下列函数的导数

（1）yx;

（2）yexsinx.

sinx

略

x3求y2在点x3处的导数.

x23

略

求下列函数的导数

（1）ytanx;

（2）ycotx;（3）ysin2x.略

求y

1sin2x

sin2x

的导数.

将函数变形为y

1sin2x

sin2x

222

sinxcosxsinx

2sinxcosx

tanx

1

cotx

2

y'

（tanx）'

2（cotx）'

212

secxcscx

2

求y

3x2

9的导数.

注:

有的函数虽然表面形式为函数的商的形式,但在求导前利用代数或三角恒等变形

将函数先化简,然后进行求导.有时可以避免使用商的求导法则,减少运算量.

例7求曲线y

2x

在点（1,1）处的切线方程

1

回顾导数的几何意义:

函数yf（x）在x0处的导数就是曲线yf（x）在点P（x0,f（x0））处的切线的斜率

例8曲线运动方程为s

t12t2,求t

t2

3时的速度.

回顾导数的物理意义

瞬时速度是位移函数

s（t）对时间t的导数:

v（t）s'（t）.

例9已知抛物线yax2bxc通过点（1,1）,且在点（2,1）处与直线yx3相切,求a,b,c的值.

四、课堂练习

1.课本P92练习

2.已知曲线C:

y3x42x39x24,求曲线C上横坐标为1的点的切线方程答案:

y12x8

五、回顾总结

1.基本初等函数的导数公式表;

2.导数的运算法则.

六、布置作业

§1.2.3复合函数的求导法则

教学目标：

理解并掌握复合函数的求导法则.

教学重点：

复合函数的求导方法:

复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积.

教学难点：

正确分解复合函数的复合过程,做到不漏,不重,熟练,正确.

一、创设情景

（一）基本初等函数的导数公式表

函数

导数

yc

y'0

n*

yf（x）x（nQ）

'n1ynx

ysinx

y'cosx

ycosx

y'sinx

x

yf（x）a

'x

yalna（a0）

yf（x）ex

'xye

f（x）logax

'1

f（x）logaxf'（x）（a0且a1）

xlna

f（x）lnx

'1f'（x）

x

（二）导数的运算法则

导数运算法则

1．

2．

3．

f（x）g（x）'f'（x）g'（x）

f（x）g（x）'f'（x）g（x）f（x）g'（x）f（x）f'（x）g（x）f2（x）g'（x）（g（x）0）g（x）g（x）2

推论:

cf（x）cf'（x）（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）

二、新课讲授

1.复合函数的概念

一般地,对于两个函数yf（u）和ug（x）,如果通过变量u,y可以表示成x的函数,那么称这个函数为函数yf（u）和ug（x）的复合函数,记作yfg（x）.

2.复合函数的导数

复合函数yfg（x）的导数和函数yf（u）和ug（x）的导数间的关系为

yxyuux,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.

若yfg（x）,则yfg（x）

fg（x）

g（x）

三、典例分析

例1求下列函数的导数:

（2x3）2

0.05x1

e

解:

（1）

（1）y

（2）y

（3）y

函数

sin（x）（其中,均为常数）

22

y（2x3）2可以看作函数yu2和u

根据复合函数求导法则有

2x3的复合函数

（2）

2'yxyuux=（u）（2x函数ye0.05x1可以看作函数yeu和u根据复合函数求导法则有

3）

4u8x12

0.05x

1的复合函数

（3）

yuux=（eu）'（0.05x1）函数ysin（x）可以看作函数y

yx

0.005eu

sinu和u

0.05x1

0.005e0.05x1

x的复合函数

根据复合函数求导法则有

yxyuux=（sinu）（x

2

例2求ysin（tanx2）的导数.

解:

y'[sin（tanx2）]'cos（tanx2）sec2（x2）

2xcos（tanx2）sec2（x2）

y'2xcos（tanx2）sec2（x2）

）cosu

cos（x）

2x

点评:

求复合函数的导数,关键在于搞清楚复合函数的结构,明确复合次数,由外层向内层逐层求导,直到关于自变量求导,同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果.

例3求y

xa

的导数.

x22ax

x22ax（xa）22xx222aax

x22ax

2

a

a2x22ax，

（x22ax）2，

x22axx22ax

y'a2x22ax

y（x22ax）2

点评:

本题练习商的导数和复合函数的导数,求导数后要予以化简整理例4求ysin4xcos4x的导数.

解法

44

ysin4xcos4x

（sin2

2222

xcos2x）22sin2xcos2x1

1sin22x

2

1

1（1cos4x）

4

y'sin4x

解法二:

y'（sin4x）'（cos4x）'4sin3x（sinx）'4cos3x（cosx）'

4sin3xcosx4cos3x（sinx）

4sinxcosx（sin2xcos2x）

2sin2xcos2xsin4x

点评:

解法一是先化简变形,简化求导数运算,要注意变形准确.解法二是利用复合函数求导数,应注意不漏步.

x）有两条平行于直线y

例5曲线yx（x1）（2

求此二切线之间的距离

解:

yx3x2

2x

1

cos4x

4

x的切线,

3x22x

令y'1即3x2

2x

0解得x

2

1或x

3

于是切点为P（1,2）,Q（

14）

27

x1即xQ到此切线的距离

3

过点P的切线方程为y2显然两切线间的距离等于点

114

|1|16

故所求距离为327162

227

y1

补充例题

例1指出下列函数的复合关系

（1）

y

23（2x2）3;

（2）

y

2sinx;

（3）

y

cos（x）;

4

（4）

y

ln[sin（3x1）]

2

（5）

y

（1cos2x