精品数学 高中数学人教A版选择性必修三第六章 621 排列.docx
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精品数学高中数学人教A版选择性必修三第六章621排列
§6.2 排列与组合
6.2.1 排 列
学习目标 1.理解并掌握排列的概念.2.能应用排列知识解决简单的实际问题.
知识点一 排列的定义
一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,并按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
知识点二 排列相同的条件
两个排列相同的充要条件:
(1)两个排列的元素完全相同.
(2)元素的排列顺序也相同.
1.123与321是相同的排列.( × )
2.同一个排列中,同一个元素不能重复出现.( √ )
3.在一个排列中,若交换两个元素的位置,则该排列不发生变化.( × )
4.从4个不同元素中任取3个元素,只要元素相同得到的就是相同的排列.( × )
一、排列的概念
例1 判断下列问题是否为排列问题:
(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同);
(2)选2个小组分别去植树和种菜;
(3)选2个小组去种菜;
(4)选10人组成一个学习小组;
(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员;
(6)某班40名学生在假期相互打电话.
解
(1)票价只有三种,虽然机票是不同的,但票价是一样的,不存在顺序问题,所以不是排列问题.
(2)植树和种菜是不同的,存在顺序问题,属于排列问题.
(3)(4)不存在顺序问题,不属于排列问题.
(5)每个人的职务不同,例如甲当班长或当学习委员是不同的,存在顺序问题,属于排列问题.
(6)A给B打电话与B给A打电话是不同的,所以存在着顺序问题,属于排列问题.
所以在上述各题中
(2)(5)(6)是排列问题,
(1)(3)(4)不是排列问题.
反思感悟 判断一个具体问题是否为排列问题的思路
跟踪训练1 判断下列问题是否为排列问题:
(1)会场有50个座位,要求选出3个座位有多少种方法?
若选出3个座位安排三位客人,又有多少种方法?
(2)从集合M={1,2,…,9}中,任取两个元素作为a,b,可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程+=1?
可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程-=1?
(3)平面上有5个点,其中任意三个点不共线,这5个点最多可确定多少条直线?
可确定多少条射线?
解
(1)第一问不是排列问题,第二问是排列问题.“入座”问题同“排队”问题,与顺序有关,故选3个座位安排三位客人是排列问题.
(2)第一问不是排列问题,第二问是排列问题.
若方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆,则必有a>b,a,b的大小关系一定;
在双曲线-=1中,不管a>b还是a
(3)确定直线不是排列问题,确定射线是排列问题.
二、画树形图写排列
例2 将A,B,C,D四名同学按一定顺序排成一行,要求自左向右,且A不排在第一,B不排在第二,C不排在第三,D不排在第四,试用树形图列出所有可能的排法.
解 树形图(如图):
由树形图知,所有排法有BADC,BCDA,BDAC,CADB,CDAB,CDBA,DABC,DCAB,DCBA.
反思感悟 树形图的画法
(1)确定首位,以哪个元素在首位为分类标准进行确定首位.
(2)确定第二位,在每一个分支上再按余下的元素,在前面元素不变的情况下定第二位并按顺序分类.
(3)重复以上步骤,直到写完一个排列为止.
跟踪训练2
(1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数,共有多少个不同的两位数?
(2)写出从4个元素a,b,c,d中任取3个元素的所有排列.
解
(1)由题意作树形图,如图.
故所有两位数为12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43,共有12个.
(2)由题意作树形图,如图.
故所有的排列为:
abc,abd,acb,acd,adb,adc,bac,bad,bca,bcd,bda,bdc,cab,cad,cba,cbd,cda,cdb,dab,dac,dba,dbc,dca,dcb,共有24个.
三、简单的排列问题
例3
(1)有7本不同的书,从中选3本送给3名同学,每人各1本,共有多少种不同的送法?
(2)有7种不同的书,要买3本送给3名同学,每人各1本,共有多少种不同的送法?
解
(1)从7本不同的书中选3本送给3名同学,相当于从7个元素中任取3个元素的一个排列,所以共有7×6×5=210(种)不同的送法.
(2)从7种不同的书中买3本书,这3本书并不要求都不相同,根据分步乘法计数原理,共有7×7×7=343(种)不同的送法.
反思感悟 对于简单的排列问题,其解题思路可借助分步乘法计数原理进行,即采用元素分析法或位置分析法求解.
跟踪训练3
(1)沪宁高铁线上有六个大站:
上海、苏州、无锡、常州、镇江、南京,铁路部门应为沪宁线上的六个大站(这六个大站之间)准备不同的火车票的种数为( )
A.15B.30C.12D.36
答案 B
解析 对于两个大站A和B,从A到B的火车票与从B到A的火车票不同,因为每张车票对应一个起点站和一个终点站,因此,每张火车票对应从6个不同元素(大站)中取出2个不同元素(起点站和终点站)的一种排列,故不同的火车票有6×5=30(种).
(2)3盆不同品种的花排成一排,共有________种不同的排法.
答案 6
解析 共有3×2×1=6(种)不同的排法.
1.(多选)下面问题中,不是排列问题的是( )
A.由1,2,3三个数字组成无重复数字的三位数
B.从40人中选5人组成篮球队
C.从100人中选2人抽样调查
D.从1,2,3,4,5中选2个数组成集合
答案 BCD
解析 选项A中组成的三位数与数字的排列顺序有关,选项B,C,D只需取出元素即可,与元素的排列顺序无关.
2.从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为( )
A.甲乙、乙甲、甲丙、丙甲
B.甲乙丙、乙丙甲
C.甲乙、甲丙、乙甲、乙丙、丙甲、丙乙
D.甲乙、甲丙、乙丙
答案 C
解析 从三人中选出两人,而且要考虑这两人的顺序,所以有如下6种站法:
甲乙、甲丙、乙甲、乙丙、丙甲、丙乙.
3.从5本不同的书中选两本送给2名同学,每人一本,则不同的送书方法的种数为( )
A.5B.10C.20D.60
答案 C
解析 不同的送书种数为5×4=20.
4.从1,2,3,4这4个数字中选出3个数字构成无重复数字的三位数有________个.
答案 24
5.有8种不同的菜种,任选4种种在不同土质的4块地里,有________种不同的种法.
答案 1680
解析 将4块不同土质的地看作4个不同的位置,从8种不同的菜种中任选4种种在4块不同土质的地里,则本题即为从8个不同元素中任选4个元素的排列问题,所以不同的种法共有8×7×6×5=1680(种).
1.知识清单:
(1)排列的定义:
顺序性.
(2)“树形图”法列举排列.
(3)排列的简单应用.
2.方法归纳:
数形结合.
3.常见误区:
排列的定义不明确.
1.(多选)从1,2,3,4四个数字中,任选两个数做以下数学运算,并分别计算它们的结果.在这些问题中,相应运算可以看作排列问题的有( )
A.加法B.减法C.乘法D.除法
答案 BD
解析 因为加法和乘法满足交换律,所以选出两个数做加法和乘法时,结果与两数字位置无关,故不是排列问题,而减法、除法与两数字的位置有关,故是排列问题,故选BD.
2.某学习小组共5人,约定假期每两人相互微信聊天,共需发起的聊天次数为( )
A.20B.15C.10D.5
答案 A
解析 由题意得共需发起的聊天次数为5×4=20.
3.从1,2,3,4中任取两个不同数字组成平面直角坐标系中一个点的坐标,则组成不同点的个数为( )
A.2B.4C.12D.24
答案 C
4.甲、乙、丙三人排成一排照相,甲不站在排头的所有排列种数为( )
A.6B.4C.8D.10
答案 B
解析 列树形图如下:
故组成的排列为丙甲乙,丙乙甲,乙甲丙,乙丙甲,共4种.
5.将字母a,a,b,b,c,c排成三行两列,要求每行的字母互不相同,每列的字母也互不相同,则不同的排列方法共有( )
A.12种B.18种C.24种D.36种
答案 A
解析 先排第一列,因为每列的字母互不相同,因此共有3×2×1=6(种)不同的排法,再排第二列,其中第二列第一行的字母共有2种不同的排法,第二列第二、三行的字母只有1种排法,所以共有6×2×1=12(种)不同的排法.
6.从a,b,c,d,e五个元素中每次取出三个元素,可组成________个以b为首的不同的排列,它们分别是________________________________________.
答案 12 bac,bad,bae,bca,bcd,bce,bda,bdc,bde,bea,bec,bed
解析 画出树形图如下:
可知共12个,它们分别是bac,bad,bae,bca,bcd,bce,bda,bdc,bde,bea,bec,bed.
7.车展期间,某调研机构准备从5人中选3人去调查E1馆、E3馆、E4馆的参观人数,则不同的安排方法种数为________.
答案 60
解析 由题意可知,本题为从5个元素中选3个元素的排列问题,所以安排方法有5×4×3=60(种).
8.一次演出,因临时有变化,拟在已安排好的4个节目的基础上再添加2个小品节目,且2个小品节目不相邻,则不同的添加方法共有________种.
答案 20
解析 从原来4个节目形成的5个空中选2个空排列,共有5×4=20(种)添加方法.
9.写出下列问题的所有排列:
(1)北京、广州、南京、天津4个城市相互通航,应该有多少种机票?
(2)两名老师和两名学生合影留念,写出老师不在左端且相邻的所有可能的站法,并回答共有多少种?
解
(1)列出每一个起点和终点情况,如图所示.
故符合题意的机票种类有:
北京广州,北京南京,北京天津,广州南京,广州天津,广州北京,南京天津,南京北京,南京广州,天津北京,天津广州,天津南京,共12种.
(2)由于老师不站左端,故左端位置上只能安排学生.设两名学生分别为A,B,两名老师分别为M,N,此问题可分两类:
由此可知,所有可能的站法为AMNB,ANMB,ABMN,ABNM,BMNA,BNMA,BAMN,BANM,共8种.
10.用一颗骰子连掷三次,投掷出的数字顺序排成一个三位数,此时:
(1)各位数字互不相同的三位数有多少个?
(2)可以排出多少个不同的三位数?
解
(1)三位数的每位上数字均为1,2,3,4,5,6之一.
第一步,得首位数字,有6种不同结果;
第二步,得十位数字,有5种不同结果;
第三步,得个位数字,有4种不同结果.
故可得各位数字互不相同的三位数有6×5×4=120(个).
(2)三位数,每位上数字均可从1,2,3,4,5,6六个数字中得一个,共有这样的三位数有6×6×6=216(个).
11.由1,2,3,4这四个数字组成的首位数字是1,且恰有三个相同数字的四位数的个数为( )
A.9B.12C.15D.18
答案 B
解析 本题要求首位数字是1,且恰有三个相同的数字,用树形图表示为:
由此可知共有12个符合题意的四位数.
12.将4张相同的博物馆的参观票分给5名同学,每名同学至多1张,并且票必须分完,那么不同的分法的种数为( )
A.54B.45
C.5×4×3×2D.5
答案 D
解析 由于参观票只有4张,而人数为5人,且每名同学至多1张,故一定有1名同学没有票.
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