高三数学不等式的性质教案14.docx
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高三数学不等式的性质教案14
高三数学不等式的性质教案14
第六不等式总览
知识结构网络61不等式的性质
一、明确复习目标
掌握不等式的性质及其证明,能正确使用这些性质解决一些简单问题
二.建构知识网络
1比较原理:
两实数之间有且只有以下三个大小关系之一:
a>b;a<b;a=b;
;;.
以此可以比较两个数(式)的大小,——作差比较法.
或作商比较:
a>0时,;a<0时,
2.不等式的性质:
(1)对称性:
,
证明:
(比较法)
(2)传递性:
,
(3)可加性:
移项法则:
推论:
同向不等式可加
(4)可乘性:
,
推论1:
同向(正)可乘:
证明:
(综合法)
推论2:
可乘方(正):
()可开方(正):
证明:
(反证法)
不等式的性质有五个定理,三个推论,一个比较原理,是解、证不等式的基础,对于这些性质,关键是正确理解和熟练运用,要弄清每一个条和结论,学会对不等式进行条的放宽和加强
三、双基题目练练手
1(2006春上海)若,则下列不等式成立的是()
A&nt;BD
2(2004北京)已知a、b、满足,且,那么下列选项中不一定成立的是()
A.B..D.
3对于实数,下命题正确的是()
A若a<b,则B若,则
若,则D若a>b>0,d>>0,则
4(2004春北京)已知三个不等式:
ab>0,b-ad>0,->0(其中a、b、、d均为实数),用其中两个不等式作为条,余下的一个不等式作为结论组成一个命题,可组成的正确命题的个数是
A0B12D3
(2004辽宁)对于,给出下列四个不等式
①②
③④
其中成立的是_________
6a>b>0,>0,n>0,则,,,的由大到小的顺序是____________
练习简答:
1-4D;②与④;6特殊值法,答案:
>>>
四、经典例题做一做
【例1】已知a<2,<b≤2a,=b-2a,
求的取值范围.
解:
∵b≤2a
∴=b-2a≤0,
∴b-4>-2a=.
∴的取值范围是:
<≤0.
【例2】设f(x)=ax2+bx,且1≤f(-1)≤2,2≤f
(1)≤4,求f(-2)的取值范围
解:
由已知1≤a-b≤2,①,2≤a+b≤4②
若将f(-2)=4a-2b用a-b与a+b,表示,则问题得解
设4a-2b=(a-b)+n(a+b),(,n为待定系数)
即4a-2b=(+n)a-(-n)b,
于是得得:
=3,n=1
由①×3+②×1得≤4a-2b≤10
即≤f(-2)≤10,
另法:
由得
∴f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f
(1)……
◆特别提醒:
常见错解:
由①②解出a和b的范围,再凑出4a-2b的范围错误的原因是a和b不同时接近端点值,可借且于线性规划知识解释
【例3】
(1)设A=xn+x-n,B=xn-1+x1-n,当x∈R+,n∈N时,比较A与B的大小
(2)设0<x<1,a>0且a≠,试比较|lg3a(1-x)3|与|lg3a(1+x)3|的大小
解:
(1)A-B=(xn+x-n)-(xn-1+x1-n)
=x-n(x2n+1-x2n-1-x)
=x-n[x(x2n-1-1)-(x2n-1-1)]
=x-n(x-1)(x2n-1-1)
由x∈R+,x-n>0,得
当x≥1时,x-1≥0,x2n-1-1≥0;
当x<1时,x-1<0,x2n-1<0,即
x-1与x2n-1-1同号∴A-B≥0∴A≥B
(2)∵0<x<1,所以
①当3a>1,即a>时,
|lg3a(1-x)3|-|lg3a(1+x)3|
=|3lg3a(1-x)|-|3lg3a(1+x)|
=3[-lg3a(1-x)-lg3a(1+x)]
=-3lg3a(1-x2)
∵0<1-x2<1,∴-3lg3a(1-x2)>0
②当0<3a<1,即0<a<时,
|lg3a(1-x)3|-|lg3a(1+x)3|
=3[lg3a(1-x)+lg3a(1+x)]
=3lg3a(1-x2)>0
综上所述,|lg3a(1-x)3|>|lg3a(1+x)3|
◆提炼方法:
(1)作差分解因式、配方或利用单调性,分类判断差式的符号
【例4】已知函数,,试比较与的大小.
解作差—
=
当时,得
=。
(2)当时,,所以
①当时,
得
=。
②当时,得
>
③当时,得
<
综上所述:
当或时
=。
当且时
>。
当且时
<。
【研讨欣赏】已知a>b>,a+b+=0方程ax2+bx+=0的两个实根为x1,x2
(1)证明:
-;
(2)若x12+x1x2+x22=1,求x12-x1x2+x22
解:
(1)a>b>,a+b+=0,
∴
且a>0,
∴1>,
(2)(方法1)a+b+=0
∴ax2+bx+=0有一根为1,
不妨设x1=1,则由x12+x1x2+x22=1可得x2(x2+1)=0,
而x2=x1x2=<0(3<a+b+=0),∴x2=-1
∴x12-x1x2+x22=3
(方法2)x1+x2=-,x1x2=
由x12+x1x2+x22=(x1+x2)2-x1x2==1,
∴
∴x12-x1x2+x22=x12+x1x2+x22-2x1x2=1-2x1x2=1+
五.提炼总结以为师
1熟练掌握准确运用不等式的性质。
2比较两数大小,一般用作差法。
步骤:
作差---变形(分解因式或配方)---判断符号
3对于含参问题的大小比较要注意分类讨论
同步练习61不等式的性质
【选择题】
1(2006浙江)“”是“”的()
A充分而不必要条B必要而不充分条
充分必要条 D既不允分也不必要条
2.(2006江西)若,则不等式等价于()
AB
D
3(2004湖北)若,则下列不等式①;②③;
④中,正确的不等式有()
A.1个B.2个.3个D.4个
4“不等式a3+b3+3≥3ab”成立的充要条是()
Aa+b+≥0Ba+b+≥0,3ab≥0
a>0,b>0,>0Da≥0,b≥0,≥0
【填空题】
已知a>2,b>2,则a+b与ab的大小关系是__________
6已知-1<2a<0,A=1+a2,B=1-a2,=,D=则A、B、、D按从小到大的顺序排列起是____________
简答提示:
1-4ADBA;4a3+b3+3-3ab=(a+b)3+3-3a2b-3ab2-3ab
=(a+b+)[(a+b)2-(a+b)+2]-3ab(a+b+)
=(a+b+)[(a+b)2+(a+)2+(b+)2]≥0,<=>a+b+≥0
解:
∵ab-(a+b)=(a-1)(b-1)-1>0∴ab>a+b
6取特殊值a=-,计算可得A=,B=,=,D=
∴D<B<A<
【解答题】
7设实数a,b,满足①b+=6-4a+3a2,②-b=4-4a+a2,试确定a,b,的大小关系
解:
∵-b=(a-2)2≥0,∴≥b,又2b=2+2a2,∴b=1+a2,∴b-a=a2-a+1=(a-)2+>0,∴b>a,从而≥b>a
8已知函数f(x)=x3+x证明:
(1)f(x)是增函数;
(2)若a,b,∈R,且,a+b>0,b+>0,+a>0,则f(a)+f(b)+f()>0
证明:
(1)设x1<x2
f(x1)-f(x2)=x13+x1-x23-x2
=(x1-x2)(x12+x1x2+x22+1)①
当x1,x2同号时,①=(x1-x2)[(x1-x2)2+3x1x2+1)]<0
当x1,x2异号时,①=(x1-x2)[(x1+x2)2-x1x2+1)]<0
综上有f(x1)<f(x2),故f(x)是增函数
(2)∵f(-x)=-f(x),∴f(x)是奇函数又a+b>0即a>-b
∴f(a)>f(-b)=-f(b),即f(a)+f(b)>0
同理,f(b)+f()>0,f(a)+f()>0
三式相加得2[f(a)+f(b)+f()]>0,所以f(a)+f(b)+f()>0成立
9在等差数列{an}和等比数列{bn}中,a1=b1>0,a3=b3>0,a1≠a3试比较下面两组数的大小
(1)a2与b2
(2)
(2)a与b
解:
设an=a1+(n-1)d,bn=a1qn-1,依题意a1+2d=a1q2,∴d=a1q2-a1,
∴
(1)a2-b2=a1+d-a1q=a1-a1q+a1q2-a1=aq2-a1q+1=a(q-1)2,
∵a1≠a3,∴a1≠a1+2d,即d≠0,q≠1,
∴a2-b2=a1(q-1)2>0,∴a2>b2
(2)a-b=a1+4d-a1q4=a1-a1q4+2a1q2-2a1=-a1q4+2a1q2-a1=-a1(q2-1)2<0,∴a<b
101+lgx3与2lgx2(x>0且x≠1)的大小
解:
(1+lgx3)-2lgx2=lgx
当或
即0<x<1或x>时,
有lgx>0,1+lgx3>2lgx2
当①或②时,lgx<0
解①得无解,解②得1<x<,
即当1<x<时,有lgx<0,
1+lgx3<2lgx2
当x=1,即x=时,有lgx=0
∴1+lgx3=2lgx2
综上所述,当0<x<1或x>时,1+lgx3>2lgx2;
当1<x<时,1+lgx3<2lgx2;
当x=时,1+lgx3=2lgx2
【探索题】x、是正实数,记
A(x,)=,B(x,)=
(1)证明:
A(x,)≤B(x,)
(2)是否存在常数,使得A(x,)≤≤B(x,)恒成立?
证明你的结论
证明:
(1)B(x,)-A(x,)=∴A(x,)≤B(x,)
(2)鉴于二式中关于x,的轮换对称性,令x=,得A(x,)=B(x,)=
下证A(x,)≤≤B(x,)
同理
所以,存在正常数=,使A(x,)≤≤B(x,)成立
(2)法2:
(放缩法)
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