相似三角形六大证明技巧.docx
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相似三角形六大证明技巧
相似三角形6大证明技巧
第2讲
相似三角形证明方法
模块一
相似三角形的判定方法总结:
1.平行于三角形一边的直线与其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似.
2.三边成比例的两个三角形相似.〔SSS〕
3.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.(SAS)
4.两角分别相等的两个三角形相似.(AA)
5.斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似(HL)
相似三角形的模型方法总结:
“反A〞型与“反X〞型.
示意图
结论
反A型:
如图,△ABC,∠ADE=∠C,如此△ADE∽△ACB〔AA〕,∴AE·AC=AD·AB.
假如连CD、BE,进而能证明△ACD∽△ABE(SAS)
反X型:
如图,角∠BAO=∠CDO,如此△AOB∽△DOC〔AA〕,∴OA·OC=OD·OB.假如连AD,BC,进而能证明△AOD∽△BOC.
“类射影〞与射影模型
示意图
结论
类射影:
如图,△ABC,∠ABD=∠C,如此△ABD∽△ACB〔AA〕,∴=AD·AC.
射影定理
如图,∠ACB=90°,CH⊥AB于H,如此
“旋转相似〞与“一线三等角〞
示意图
结论
旋转相似:
如图,△ABC∽△ADE,如此,∠BAC=∠DAE,∴∠BAD=∠CAE,
∴△BAD∽△CAE〔SAS〕
一线三等角:
如图,∠A=∠C=∠DBE,如此△DAB∽△BCE〔AA〕
巩固练习
反A型与反X型
△ABC中,∠AEF=∠ACB,求证:
〔1〕〔2〕∠BEO=∠CFO,∠EBO=∠FCO〔3〕∠OEF=∠OBC,∠OFE=∠OCB
类射影
如图,,求证:
射影定理
△ABC,∠ACB=90°,CH⊥AB于H,求证:
,,
比例式的证明方法
模块二
通过前面的学习,我们知道,比例线段的证明,离不开“平行线模型〞〔A型,X型,线束型〕,也离不开上述的6种“相似模型〞.但是,王教师认为,“模型〞只是工具,怎样选择工具,怎样使用工具,怎样用好工具,取决于我们如何思考问题.合理的思维方法,能让模型成为解题的利刃,让复杂的问题变简单。
在本模块中,我们将学比例式的证明中,会经常用到的思维技巧.
技巧一:
三点定型法
技巧二:
等线段代换
技巧三:
等比代换
技巧四:
等积代换
技巧五:
证等量先证等比
技巧六:
几何计算
技巧一:
三点定型
【例1】如图,平行四边形中,是延长线上的一点,交于,求证:
.
【例2】如图,中,,为的中点,交的延长线于,交于.求证:
【例3】如图,在中,是斜边上的高,的平分线交于,交于.求证:
.
技巧二:
等线段代换
悄悄地替换比例式中的某条线段…
【例4】如图,在△ABC,AD平分∠BAC,AD的垂直平分线交AD于E,交BC的延长线于F,求证:
【例5】如图,四边形是平行四边形,点在边的延长线上,交于,.求证:
.
【例6】如图,△ACB为等腰直角三角形,AB=AC,∠BAC=90°,∠DAE=45°,求证:
【例7】如图,中,,是中线,是上一点,过作,延长交于,交于.求证:
.
技巧三:
等比代换
【例8】如图,平行四边形中,过作直线、于,、交的延长线于,求证:
.
【例9】如图,在中,时,于,为直角边的中点,过、作直线交的延长线于.求证:
.
【例10】如图,在中〔AB>AC〕的边上取一点,在边上取一点,使,直线和的延长线交于点.求证:
技巧四:
等积代换
【例11】如图,中,、是高,于、交于、交的延长线于.求证:
.
【例12】如图,在中,于,于,于,连EF,求证:
∠AEF=∠C
【例13】如图,在中,,为中点,,为垂足,求证:
.
【例14】在Rt△ABC中,AD⊥BC,P为AD中点,MN⊥BC,求证
技巧五:
证等量先证等比
【例15】,平行四边形ABCD中,E、F分别在直线AD、CD上,EF//AC,BE、BF分别交AC于M、N.,求证:
AM=.
【例16】如图AB=AC,BD//AC,AB//CE,过A点的直线分别交BD、CE于D、E.求证:
AM=NC,MN//DE.
【例17】如图,△ABC为等腰直角三角形,点P为AB上任意一点,PF⊥BC,PE⊥AC,AF交PE于N,BE交PF于M.,求证:
PM=PN,MN//AB.
【例18】如图,正方形BFDE内接于△ABC,CE与DF交于点N,AF交ED于点M,CE与AF交于点P.求证:
〔1〕MN//AC;〔2〕EM=DN.
【例19】〔※〕设E、F分别为AC、AB的中点,D为BC上一点,P在BF上,DP//CF,Q在CE上,DQ//BE,PQ交BE于R,交CF于S,求证:
【例20】〔※〕如图,梯形ABCD的底边AB上任取一点M,过M作MK//BD,MN//AC,分别交AD、BC于K、N,连KN,分别交对角线AC、BD于P、Q,求证:
KP=QN.
技巧六:
几何计算
【例21】〔2016年四月调考〕如图,在△ABC中,AC>AB,AD是角平分线,AE是中线,BF⊥AD于G,交AC于点M,EG的延长线交AB于点H.〔1〕求证:
AH=BH,〔2〕假如∠BAC=60°,求的值.
【例22】〔2016七一华源〕如图:
正方形ABCD中,点E、点F、点G分别在边BC、AB、CD上,∠1=∠2=∠3=α.求证:
〔1〕EF+EG=AE〔2〕求证:
CE+CG=AF
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