高考数学简单版6圆锥曲线中点弦垂直平分线简单难度讲义 2.docx
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高考数学简单版6圆锥曲线中点弦垂直平分线简单难度讲义 2.docx
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高考数学简单版6圆锥曲线中点弦垂直平分线简单难度讲义2
圆锥曲线中点弦
垂直平分线
知识讲解
一、弦的垂直平分线问题
1.垂直问题:
一般是利用斜率公式及韦达定理求解,设、是直线与曲线的两个交点,为坐标原点,
1)则,
2)若,则
2.弦中点问题:
除利用韦达定理外,也可以运用“代点作差法”,但必须以直线与圆锥曲线相交为前提,否则不宜用此法.
1)设椭圆或双曲线方程:
上两点,,的中点为,则
3)掌握抛物线上两点连线的斜率公式
3.设而不求法:
解析几何的运算中,常设一些量而并不解解出这些量,利用这些量过渡使问题得以解决,这种方法称为“设而不求法”.设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题,常用“点差法”,即设弦的两个端点,弦中点为,将点坐标代入圆锥曲线方程,作差后,产生弦中点与弦斜率的关系,这是一种常见的“设而不求”法
具体有:
1)与直线相交于A、B,设弦AB中点为M(x0,y0),则有.
2)与直线l相交于A、B,设弦AB中点为M(x0,y0)则有
3)y2=2px(p>0)与直线l相交于A、B设弦AB中点为M(x0,y0),则有2y0k=2p,即y0k=p.
二、中点弦常考题型
1.
设,注意一般只有弦与椭圆相交的两点才设为的,其它点不要随便设为.为弦的中点.
设直线方程为,不要设为,因为在椭圆标准方程中会出现.
联立直线与椭圆方程
消去,得,即
设,则
中的高次项是可消去的.
(由求分子是可消去的)
故中点的坐标为
定点设为,则
故,,
2.以为邻边的平行四边形的顶点在椭圆上
易知点坐标
注意:
①不能把代入方程中求,因为点不在直线上.
②由求分子是可消去的.
故在椭圆上.
则
两边同时乘以得
3.弦的垂直平分线交轴分别为点
中点的坐标为
垂直平分线方程为
令,得到点坐标为
令,得到点坐标为
经典例题
一.选择题(共9小题)
1.(2016秋•山西校级月考)过椭圆+y2=1的左焦点F作斜率为k(k≠0)的直线交椭圆于A,B两点,使得AB的中点M在直线x+2y=0上,则k的值为( )
A.1B.2
C.﹣1D.﹣2
2.(2012秋•海曙区校级期末)已知椭圆x2+2y2=4,则以(1,1)为中点的弦的长度是( )
A.B.
C.D.
3.(2013秋•鹿城区校级期中)直线l与双曲线的同一支相交于A,B两点,线段AB的中点在直线y=2x上,则直线AB的斜率为( )
A.4B.2
C.D.
4.(2017秋•东湖区校级期末)已知(4,2)是直线l被椭圆+=1所截得的线段的中点,则l的方程是( )
A.x+2y+8=0B.x+2y﹣8=0
C.x﹣2y﹣8=0D.x﹣2y+8=0
5.(2018春•屯溪区校级期中)椭圆的一条弦被A(4,2)平分,那么这条弦所在的直线方程( )
A.x﹣2y=0B.2x+y﹣10=0
C.x+2y﹣8=0D.2x﹣y﹣2=0
6.(2016秋•福建期末)若椭圆的弦中点(4,2),则此弦所在直线的斜率是( )
A.2B.﹣2
C.D.
7.(2016秋•西陵区校级期末)已知直线l与双曲线x2﹣y2=1交于A、B两点,若线段AB的中点为C(2,1),则直线l的斜率为( )
A.﹣2B.1
C.2D.3
8.(2016秋•潮州期末)若直线l过抛物线y2=4x的焦点,与抛物线交于A、B两点,且线段AB中点的横坐标为2,则弦AB的长为( )
A.2B.4
C.6D.8
9.(2016秋•南关区校级期末)若椭圆+=1的弦被点(4,2)平分,则此弦所在直线的斜率为( )
A.B.
C.2D.﹣2
二.填空题(共3小题)
10.(2014秋•砀山县校级月考)在椭圆+=1内以点P(﹣2,1)为中点的弦所在的直线方程为 .
11.(2011•天山区校级模拟)设抛物线y2=4x的一条弦AB以为中点,则该弦所在直线的斜率为 .
12.(2017秋•历城区校级期中)若椭圆+=1的弦被点(4,2)平分,则此弦所在直线的斜率为 .
三.解答题(共3小题)
13.(2014秋•黄石港区校级期中)求以点(1,﹣1)为中点的抛物线y2=8x的弦所在的直线方程.
14.(2016秋•麦积区校级期末)已知椭圆+=1和点P(4,2),直线l经过点P且与椭圆交于A,B两点.
(1)当直线l的斜率为时,求线段AB的长度;
(2)当P点恰好为线段AB的中点时,求l的方程.
15.(2016•太原三模)已知点P是圆F1:
(x+1)2+y2=16上任意一点(F1是圆心),点F2与点F1关于原点对称.线段PF2的中垂线m分别与PF1、PF2交于M、N两点.
(I)求点M的轨迹C的方程;
(Ⅱ)直线l经过F2,与抛物线y2=4x交于A1,A2两点,与C交于B1,B2两点.当以B1B2为直径的圆经过F1时,求|A1A2|.
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