微专题圆锥曲线几何条件的处理策略.docx
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微专题圆锥曲线几何条件的处理策略
微专题圆锥曲线几何条件的处理策略
圆锥曲线处理心法:
一、几何条件巧处理,事半功倍!
二、谋定思路而后动,胸有成竹!
三、代数求解不失分,稳操胜券!
四、解后反思收货大,触类旁通!
1.平行四边形处理策略
几何性质
代数实现
对边平行
斜率相等,或向量平行
对边相等
长度相等,横(纵)坐标差相等
对角线互相平分
中点重合
例1.(2015,新课标2理科20)已知椭圆C:
9x2+y2=m2(m>0),直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.
(Ⅰ)证明:
直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值;
(Ⅱ)若l
m
过点(,m),延长线段OM与C交于点P,四边形OAPB能否为平行四边形?
若能,求此时l的斜率,
3
若不能,说明理由.
7
【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)能,4-或4+7.
【解析】试题分析:
(Ⅰ)题中涉及弦的中点坐标问题,故可以采取“点差法”或“韦达定理”两种方法求解:
设端点A,B的坐标,代入椭圆方程并作差,出现弦AB的中点和直线l的斜率;设直线l的方程同时和椭圆方程联立,
利用韦达定理求弦AB的中点,并寻找两条直线斜率关系;(Ⅱ)根据(Ⅰ)中结论,设直线OM方程并与椭圆方程联
立,求得M坐标,利用xP=2xM以及直线l
m
过点(,m)列方程求k的值.
3
试题解析:
(Ⅰ)设直线l:
y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM).
M
将y=kx+b代入9x2+y2=m2得(k2+9)x2+2kbx+b2-m2=0,故x
=x1+x2=-
2
kb
,
k2+9
OM
y=kx+b=9b.于是直线OM的斜率k=yM=-9,即k
⋅k=-9.所以直线OM的斜率与l的斜
MMk2+9xk
M
OM
率的乘积为定值.
(Ⅱ)四边形OAPB能为平行四边形.
因为直线l
过点(,m),所以l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k>0,k≠3.
m
3
9⎧y=-9x,
k2m2
由(Ⅰ)得OM的方程为
y=-
x.设点P的横坐标为x.由⎪k
得x2=,即
P⎨
k⎪⎩9x2+y2=m2,
P9k2+81
x=±kmm
m(3-k)
mk(k-3)
P.将点(,m)的坐标代入直线l的方程得b=,因此xM=2
.四边形OAPB为
3k2+9
3
7
平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分,即xmk(k-3)
P=2xM
3
.于是
±km
3(k
3k2+9
=
+9)
2⨯
3(k2+9)
.解得k1=4-
7,k2=4+.因为ki>0,ki≠3,i=1,2,所以当l的斜率为
7
4-或4+7时,四边形OAPB为平行四边形.
考点:
1、弦的中点问题;2、直线和椭圆的位置关系.
2.直角三角形处理策略
几何性质
代数实现
(1)两边垂直
斜率乘积为-1,或向量数量积为0
(2)勾股定理
两点的距离公式
(3)斜边中线性质(中线等于斜边一半)
两点的距离公式
x2
例2.椭圆
a2
y2
+=1(a>>
b2b0)的离心率为
3
5
,长轴端点与短轴端点间的距离为,
2
(1)求椭圆的方程;
x2+2=
y
1
4
(2)过点D(0,4)的直线l与椭圆C交于两点E,F,O为坐标原点,若∆OEF为直角三角形,求直线l的斜率解析:
(2)根据题意,过点D(0,4)满足题意的直线斜率存在,设l:
y=kx+4,联立
⎧y=kx+4
⎪22
+
⎨x2
⎪⎩4
y2=1
消去y得(1+4k)x
+32kx+60=0,
∆=(32k)2-240(1+4k2)=64k2-240
令∆>0,解得k2>15。
4
设E,F两点的坐标分别为(x,y),(x,y),则x+x=-
32k
,xx=60
1122
121+4k2
121+4k2
(1)当∠EOF为直角时,所以∙=0,即xx
+
yy
=0,所以(1+k2)xx
+
4k(x
+x)+16=0
OEOF
1212
1212
19
15(1+k2)32k2
所以-+4=0,解得k=±
1+4k21+4k2
(2)当∠OEF或∠OFE为直角时,不妨设∠OEF为直角,此时kOE
∙k=-1,所以y1∙y1-4=-1
x1x1
22x2222
即x1
=4y1-y1
①又1+y1
4
=1②,将①代入②,消去x1得3y1
+4y1-4=0,解得y1=3或y1=-2(舍去)
5
将y=2代入①得x=±25,所以k=y1-4=±,经检验所得k值均符合题意,
1
1313x
19
5
综上,k的值为k=±和k=±
3.等腰三角形处理策略
几何性质
代数实现
(1)两边相等
两点的距离公式
(2)两角相等
底边水平或竖直时,两腰斜率相反
(3)三线合一(垂直且平分)
垂直:
斜率或向量平分:
中点坐标公式
例3.在直角坐标系xOy中,已知点A(-
(1)求动点E的轨迹C方程;
2,0),B(2,0),E为动点,且直线EA与直线EB斜率之积为-1,
2
(2)设过点F(1,0)的直线l与椭圆C交于两点M,N,若点P在y轴上,且|PM|=|PN|,求点P的纵坐标的范围
x+2
解析:
(1)设动点E的坐标为(x,y),依题意可知
y∙y=-
1
整理得
2
x2+2
y
2
=1(x≠±
2),
所以动点E的轨迹C的方程为
x2+2
x-2
y
2
=1(x≠±2)
(2)当直线l的斜率不存在时,满足条件的点P的纵坐标为0,
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x-1),将y=k(x-1)代入
x2+2
y
2
=1,
并整理得,(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0,∆=8k2+8>0
4k2-2
设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=2k2+1,x1x2=2k2+1
2k2k2k2k
1
设MN的中点为Q,则xQ=2k2+1,yQ=k(xQ-1)=-2k2+1,所以Q(2k2+1,-2k2+),
由题意可知k≠0,又直线MN的垂直平分线的方程为y+k=-
12k2
(x-),
22
2k2+1k2k2+1
2
令x=0解得y=k=1,当k>0时,因为2k+1≥2
,所以0 P2k2+12k+1 k kP4 2 1 当k<0时,因为2k+≤-2 k ,所以0>yP≥-=- 1 22 ,综上所述,点P的纵坐标的范围是[- 2 4 ]. 2 2 44 4.菱形的处理策略 6 x2y2 例4.椭圆M: a2 +=1(a>b>0)过点(0,-1),且离心率为e= b23 (1)求椭圆M的方程; (2)是否存在菱形ABCD,同时满足以下三个条件: ①点A在直线y=2上;②点B,C,D在椭圆M上;③直线BD的斜率等于1;如果存在,求出点A的坐标,如果不存在,说明理由。 ⎧b=1 ⎪c6x2 解析: (1)由题意得⎪=解得a2=3,b2=1;所以椭圆M的方程为 +y2=1 a 3 3 ⎨ ⎪ ⎪⎩a2-b2=c2 (2)不存在满足题意的菱形ABCD,理由如下: 假设存在满足题意的菱形ABCD,设直线BD的方程为y=x+m,且B(x1,y1),D(x2,y2), ⎧x2+3y2=3 线段的中点Q(x,y),A(t,2),则由⎨可得4y2-2my+m2-3=0,由∆=(2m)2-16(m2-3)>0 00⎩y=x+m 可得-2 =y1+y2=m, 122 024 若四边形ABCD为菱形,则Q是AC的中点,C点的纵坐标yc =2y0 -2=m-2<-1, 2 又因为点C在椭圆上,所以yc≥1与yc<-1矛盾,故不存在满足题意的菱形ABCD。 5.圆的处理策略 几何性质 代数实现 (1)点在圆上 点与直径端点向量数量积为零 (2)点在圆外 点与直径端点向量数量积为正数 (3)点在圆内 点与直径端点向量数量积为负数 2 例5.已知椭圆M: x 4 + y2 3 =1,点F1,C分别是椭圆M的左焦点、左顶点,过点F1的直线l(不与x轴 重合)交M于A,B两点, (1)求M的离心率及短轴长; (2)是否存在直线l,使得点B在以线段AC为直径的圆上,若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由. 3 2,b M (1)由x2+y2=1得a==,所以 43 的离心率为1,短轴长为2; 3 2 x2y2 (2)方法一: 由题意知C(-2,0),F(-1,0)设B(x,y)(-2 100043 2212 因为BF1∙BC=(-1-x0,-y0)∙(-2-x0,-y0)=2+3x0+x0+y0=4x0 +3x0+5>0 所以∠B∈ π (0,) 2 ,所以点B不在以AC为直径的圆上,即不存在直线l,使得点B在以线段AC为直径的圆上。 方法二、由题意可设直线的方程为x=my-1,A(x1,y1),B(x2,y2) += ⎧x2y2 由⎪431 可得(3m2+4)y2-6my-9=0 所以y+y= 6m,yy=-9 ⎨ ⎪⎩x=my-1 2 123m2+4 2 123m2+4 -96m 所以CA∙CB=(x1+2,y1)∙(x2+2,y2)=(m +1)y1y2+m(y1+y2)+1=(m +1)+m+13m2+43m2+4 -5CA∙CBππ 3m2+4 =<0,因为cosC= |CA∙CB| ∈(-1,0)所以∠C∈(,π),所以∠B∈(,π),所以点B不在以AC为 22 直径的圆上,即不存在直线l,使得点B在以线段AC为直径的圆上。 6.角的处理策略 几何性质 代数实现 (1)锐角,直角,钝角 角的余弦(向量数量积)的符号 (2)倍角,半角,平分角 角平分线性质,定理(夹角到角公式) (3)等角(相等或相似) 比例线段或斜率 3 x2y2 例6.【2013.山东,理科22】椭圆C: + a2b2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,离心率为 2 ,过F1 且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1。 (Ⅰ)求椭圆C的方程;( x2+2 y 4 =1) (Ⅱ)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点,连接PF1,PF2,设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点 M(m,0),求m的取值范围;-3 22 3 3 解析: (Ⅱ)法一: 由(Ⅰ)知F1(-3,0),F2(3,0)则|MF1|=+m,|MF2|=-m, 3 3 3+m 3+m+3-m 2(3+m) 3 由椭圆定义得|PF1|+|PF2|=4,2-<|PF1|<2+因为PM平分∠F1PF2, 3+m 3-m 所以|PF1|=|MF1|= ,则|PF1|= ,所以|PF|=3+m⨯4= |PF||MF| |PF|+|PF| 123 2212 3 2(3+m) 3 3 所以2-<<2+,即-3 PF1∙PMPF2∙PM PF1∙PMPF2∙PM 法二: 由题意可知,=,即=, |PF1||PM||PF2||PM||PF1||PF2| 设P(x,y),其中x2≠4,将向量坐标代入并化简得m(4x2-16)=3x3-12x ,因为x2≠4,所以m=3x 000 33 000040 而x0∈(-2,2),所以m∈(-2,2) 【跟踪变式训练】 1.【转化为平行的处理】【2016高考新课标3理数】已知抛物线C: y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点. (I)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明ARFQ; (II)若∆PQF的面积是∆ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程. 【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)y2=x-1. a-b 111 (Ⅱ)设l与x轴的交点为D(x1,0),则S∆ABF=2b-aFD=2b-ax1-2,S∆PQF=2. 1 由题设可得b-ax-1= a-b ,所以x =0(舍去),x =1.设满足条件的AB的中点为E(x,y). 212211 当AB与x轴不垂直时,由kAB=kDE可得 2= a+b yx-1 (x≠1).而a+b=y,所以y2=x-1(x≠1). 2 当AB与x轴垂直时,E与D重合,所以,所求轨迹方程为y2=x-1.....12分 2.【转化为等腰三角形处理】【2016高考浙江理数】(本题满分15分)如图,设椭圆 x2 +2 a2y =1(a>1). (I)求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长(用a、k表示); (II)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点,求椭圆离心率的取值范围. 2a2k 【答案】(I) 1+a2k2⋅ ;(II)0 2 2 1+k2 ⎧y=kx+1 ⎪ 2222 【解析】(Ⅰ)设直线y=kx+1被椭圆截得的线段为AP,由⎨x2 1+k2 2a2k 1+k2 ⎪⎩a2 +y2=1 得(1+ak)x +2akx=0, 故x=0,x=- 2a2k .因此AP= x-x=⋅. 121+a2k2 121+a2k2 AP=AQ. (Ⅱ)假设圆与椭圆的公共点有4个,由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P,Q,满足记直线AP,AQ的斜率分别为k1,k2,且k1,k2>0,k1≠k2. 2a2k 1+k2 2a2k 1+k2 2a2k 1+k2 2a2k 1+k2 由(Ⅰ)知,AP =11,AQ=22,故11=22, 1+a2k2 1+a2k2 1+a2k2 1+a2k2 1212 121212 所以(k2-k2)⎡⎣1+k2+k2+a2(2-a2)k2k2⎤⎦=0. 由于k≠k,k,k>0得1+k2+k2+a2(2-a2)k2k2=0,因此(1 +1)(1 +1)=1+a2(a2-2),① 1212 1212 k2k2 12 2 因为①式关于k,k的方程有解的充要条件是1+a2(a2-2)>1,所以a>. 12 2
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- 专题 圆锥曲线 几何 条件 处理 策略