高等数学知识点总结.docx
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高等数学知识点总结
高等数学知识点总结
导数公式:
导数公式:
(tanx′=sec2x(ctanx′=csc2x(secx′=secxtanx(cscx′=cscxcotx(ax′=axlna1(logax′=xlna
基本积分表:
基本积分表:
三角函数的有理式积分:
三角函数的有理式积分:
(arcsinx′=
1
1x
21(arccosx′=1x21(arctanx′=1+x21(arccotx′=1+x2
∫tanxdx=lncosx+C∫cotxdx=lnsinx+C∫secxdx=lnsecx+tanx+C∫cscxdx=lncscxcotx+C
dx1x=arctan+C2+xaadx1xa∫x2a2=2alnx+a+Cdx1a+x∫a2x2=2alnax+Cdxx∫a2x2=arcsina+C
∫cos∫sin
dx
2
xx
=∫sec2xdx=tanx+C=∫csc2xdx=cotx+C
dx
2
∫a
∫secxtanxdx=secx+C∫cscxcotxdx=cscx+C
x∫adx=
2
ax+Clna
∫shxdx=chx+C∫chxdx=shx+C∫
dxx±a
22
=ln(x+x2±a2+C
π
2
π
2
In=∫sinnxdx=∫cosnxdx=
002
n1In2n
∫∫∫
sinx=
xa222x+adx=x+a+ln(x+x2+a2+C22xa2x2a2dx=x2a2lnx+x2a2+C22xa2xa2x2dx=a2x2+arcsin+C22a
2
2u1u2x2du,x=cos,=tan,=udx1+u21+u221+u2
1/13
一些初等函数:
一些初等函数:
两个重要极限:
两个重要极限:
exex双曲正弦:
shx=2xe+ex双曲余弦:
chx=2shxexex双曲正切:
thx==chxex+exarshx=ln(x+x2+1archx=±ln(x+x2111+xarthx=ln21x
三角函数公式:
三角函数公式:
诱导公式:
·诱导公式:
函数角A-α90°-α90°+α180°-α180°+α270°-α270°+α360°-α360°+α·和差角公式:
和差角公式:
lim
sin
xx+
x→
=
x
1=e
lim
x→
∞
(1
1x
sin-sinαcosαcosαsinα-sinα-cosα-cosα-sinαsinα
coscosαsinα-sinα-cosα-cosα-sinαsinαcosαcosα
tg-tanαcotα-cotα-tanαtanαcotα-cotα-tanαtanα
ctg-cotαtanα-tanα-cotαcotαtanα-tanα-cotαcotα
·和差化积公式:
和差化积公式:
sin(α±β=sinαcosβ±cosαsinβcos(α±β=cosαcosβmsinαsinβtanα±tanβtan(α±β=1mtanαtanβcotαcotβm1cot(α±β=cotβ±cotα
sinα+sinβ=2sin
α+β
22α+βαβsinαsinβ=2cossin22α+βαβcosα+cosβ=2coscos22α+βαβcosαcosβ=2sinsin22
cos
αβ
2/13
·倍角公式:
倍角公式:
sin2α=2sinαcosαcos2α=2cos2α1=12sin2α=cos2αsin2αcot2α1cot2α=2cotα2tanαtan2α=1tan2α
·半角公式:
半角公式:
sin3α=3sinα4sin3αcos3α=4cos3α3cosα3tanαtan3αtan3α=13tan2α
sintan
α
2
=±=±
α1cosα1+cosαcos=±222α1cosα1cosαsinα1+cosα1+cosαsinα==cot=±==1+cosαsinα1+cosα21cosαsinα1cosα
abc===2RsinAsinBsinC
·余弦定理:
c=a+b2abcosC余弦定理:
222
α
2
·正弦定理:
正弦定理:
定理
·反三角函数性质:
arcsinx=反三角函数性质:
π
2
arccosxarctanx=
π
2
arccotx
高阶导数公式——莱布尼兹(Leibniz公式:
高阶导数公式——莱布尼兹(Leibniz公式:
——莱布尼兹
k(uv(n=∑Cnu(nkv(kk=0n
=u(nv+nu(n1v′+
n(n1(n2n(n1L(nk+1(nk(kuv+L+uv(nuv′′+L+2!
k!
中值定理与导数应用:
中值定理与导数应用:
拉格朗日中值定理:
f(bf(a=f′(ξ(baf(bf(af′(ξ柯西中值定理:
=F(bF(aF′(ξ当F(x=x时,柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。
曲率:
曲率:
弧微分公式:
ds=1+y′2dx,其中y′=tgαK平均曲率:
=α.α:
从M点到M′点,切线斜率的倾角变化量;s:
MM′弧长。
sy′′αdαM点的曲率:
K=lim==.s→0sds(1+y′231.a
3/13
直线:
K=0;半径为a的圆:
K=
定积分的近似计算:
定积分的近似计算:
矩形法:
f(x≈∫
a
b
ba(y0+y1+L+yn1nba1[(y0+yn+y1+L+yn1]n2ba[(y0+yn+2(y2+y4+L+yn2+4(y1+y3+L+yn1]3n
梯形法:
f(x≈∫
ab
b
抛物线法:
f(x≈∫
a
定积分应用相关公式:
定积分应用相关公式:
功:
W=Fs水压力:
F=pAm1m2,k为引力系数r2b1函数的平均值:
=yf(xdxba∫a引力:
F=k12均方根:
∫f(tdtbaa
空间解析几何和向量代数:
空间解析几何和向量代数:
b
空间2点的距离:
d=M1M2=(x2x12+(y2y12+(z2z12向量在轴上的投影:
juAB=ABcos,是AB与u轴的夹角。
PrvvvvPrju(a1+a2=Prja1+Prja2vvvvab=abcosθ=axbx+ayby+azbz,是一个数量,两向量之间的夹角:
θ=cosivvvc=a×b=axbxjaybykaxbx+ayby+azbzax+ay+azbx+by+bz
222222
vvvvvvaz,c=absinθ.例:
线速度:
v=w×r.
bzaybycyazcz
axvvvvvv向量的混合积:
bc]=(a×bc=bx[acx代表平行六面体的体积。
vvvbz=a×bccosα,α为锐角时,
4/13
平面的方程:
v1、点法式:
A(xx0+B(yy0+C(zz0=0,其中n={A,B,C},M0(x0,y0,z02、一般方程:
Ax+By+Cz+D=0xyz3、截距世方程:
++=1abc平面外任意一点到该平面的距离:
d=Ax0+By0+Cz0+DA2+B2+C2
x=x0+mtxx0yy0zz0v空间直线的方程:
===t,其中s={m,n,p};参数方程:
y=y0+ntmnpz=z+pt0二次曲面:
x2y2z21、椭球面:
2+2+2=1abc22xy2、抛物面:
+=z(p,q同号,2p2q3、双曲面:
x2y2z2单叶双曲面:
2+22=1abc22xyz2双叶双曲面:
22+2=(马鞍面1abc
多元函数微分法及应用
全微分:
dz=
zzuuudx+dydu=dx+dy+dzzxyxy
全微分的近似计算:
z≈dz=fx(x,yx+fy(x,yy多元复合函数的求导法:
dzzuzvz=f[u(t,v(t]=+dtutvtzzuzvz=f[u(x,y,v(x,y]=+xuxvx当u=u(x,y,v=v(x,y时,du=uuvvdx+dydv=dx+dyxyxy
隐函数的求导公式:
FFFdydyd2y隐函数F(x,y=0,=x,2=(x+(xxFyyFydxdxFydxFyFzz隐函数F(x,y,z=0,=x,=xyFzFz
5/13
FF(x,y,u,v=0(F,
Gu隐函数方程组:
J==G(u,vG(x,y,u,v=0uu1(F,Gv
1(F,G==xJ(x,vxJ(u,xu1(F,Gv1(F,G==yJ(y,vyJ(u,y微分法在几何上的应用:
微分法在几何上的应用:
Fv=Fu
GGuv
FvGv
x=(txxyy0zz0空间曲线y=ψ(t在点M(x0,y0,z0处的切线方程:
0==′(t0ψ′(t0ω′(t0z=ω(t在点M处的法平面方程:
′(t0(xx0+ψ′(t0(yy0+ω′(t0(zz0=0vFyFzFzFxFxF(x,y,z=0,则切向量T={,,若空间曲线方程为:
GyGzGzGxGxG(x,y,z=0曲面F(x,y,z=0上一点M(x0,y0,z0,则:
v1、过此点的法向量:
n={Fx(x0,y0,z0,Fy(x0,y0,z0,Fz(x0,y0,z0}xx0yy0zz03、过此点的法线方程:
==Fx(x0,y0,z0Fy(x0,y0,z0Fz(x0,y0,z0
方向导数与梯度:
方向导数与梯度:
FyGy
}
2、过此点的切平面方程:
Fx(x0,y0,z0(xx0+Fy(x0,y0,z0(yy0+Fz(x0,y0,z0(zz0=0
fff函数z=f(x,y在一点p(x,y沿任一方向l的方向导数为:
=cos+sinlxy其中为x轴到方向l的转角。
fvfvi+jxyvvfvv它与方向导数的关系是:
=gradf(x,ye,其中e=cosi+sinj,为l方向上的l单位向量。
f∴是gradf(x,y在l上的投影。
l函数z=f(x,y在一点p(x,y的梯度:
gradf(x,y=
多元函数的极值及其求法:
多元函数的极值及其求法:
设fx(x0,y0=fy(x0,y0=0,令:
fxx(x0,y0=A,fxy(x0,y0=B,fyy(x0,y0=CA<0,(x0,y0为极大值2ACB>0时,A>0,(x0,y0为极小值2则:
ACB<0时,无极值ACB2=0时,不确定
6/13
重积分及其应用:
重积分及其应用:
∫∫f(x,ydxdy=∫∫f(rcosθ,rsinθrdrdθ
DD′
曲面z=f(x,y的面积A=∫∫
D
zz1++dxdyxy
2
2
M平面薄片的重心:
x=x=M
∫∫xρ(x,ydς
D
∫∫ρ(x,ydς
D2D
y=
MyM
=
∫∫yρ(x,ydς
D
∫∫ρ(x,ydς
DD
平面薄片的转动惯量:
对于x轴Ix=∫∫yρ(x,ydς,对于y轴Iy=∫∫x2ρ(x,ydς平面薄片(位于xoy平面对z轴上质点M(0,0,a,(a>0的引力:
F={Fx,Fy,Fz},其中:
Fx=f∫∫
D
ρ(x,yxdς
(x2+y2+a
322
Fy=f∫∫
D
ρ(x,yydς
(x2+y2+a
322
Fz=fa∫∫
D
ρ(x,yxdς
3
(x2+y2+a22
柱面坐标和球面坐标:
柱面坐标和球面坐标:
x=rcosθ柱面坐标:
y=rsinθ,f(x,y,zdxdydz=∫∫∫F(r,θ,zrdrdθdz,∫∫∫z=z其中:
F(r,θ,z=f(rcosθ,rsinθ,zx=rsincosθ球面坐标:
y=rsinsinθ,dv=rdrsindθdr=r2sindrddθz=rcos
2∫∫∫f(x,y,zdxdydz=∫∫∫F(r,,θrsindrddθ=∫dθ∫d002π
π
r(,θ
∫F(r,,θr
2
sindr
重心:
x=
1M
∫∫∫xρdv,y=M∫∫∫yρdv,z=M∫∫∫zρdv,其中M=x=∫∫∫ρdv
222222
1
1
转动惯量:
Ix=∫∫∫(y+zρdv,Iy=∫∫∫(x+zρdv,Iz=∫∫∫(x+yρdv
曲线积分:
曲线积分:
第一类曲线积分(对弧长的曲线积分:
x=(t设f(x,y在L上连续,L的参数方程为:
≤t≤β,则:
(αy=ψ(t
∫f(x,yds=αf*(t,ψ(t+∫
L
β
′2(t+ψ′2(tdt<β特殊情况:
(α
x=ty=(t
7/13
第二类曲线积分(对坐设L的参数方程为
标的曲线积分:
x=(t,则:
y=ψ(t
∫
L
P(x,ydx+Q(x,ydy=
α
∫,P*(t,ψ
L
β
(t]′(t+Q*(t,ψ(t+ψ′(t}dt
两类曲线积分之间的关
系:
∫Pdx+Qdy=
∫(Pcos
L
α+Qcosβds,其中α和β分别为
QPdxdy=y=12
L上积分起止点处切向量的方向角。
QP格林公式:
∫∫(dxdy=∫Pdx+Qdy格林公式:
xyDL当P=y,Q=x,即:
·平面上曲线积分与路径1、G是一个单连通区域;2、P(x,y,Q(x,y在G内具有一阶连续偏导数减去对此奇点的积分,·二元函数的全微分求积在注意方向相反!
:
且QP=2时,得到xy无关的条件:
D的面积:
∫∫(x
D
∫Pdx
L
+Qdy
A=
∫∫dxdy
D
∫xdy
L
ydx
QP=。
注意奇点,如xy
(0,0,应
QP=时,Pdx+Qdy才是二元函数xy
(x,y
u(x,y的全微分,其中:
x0=y0=0。
u(x,y=
∫P(x,ydx
(x0,y0
+Q(x,ydy,通常设
曲面积分:
曲面积分:
对面积的曲面积分:
∫∫f(x,y,zds=
∑
∫∫f*x,y,z(x,y]
Dxy
221+zx(x,y+zy(x,ydxdy
对坐标的曲面积分:
∫∫P(x,y,zdydz+Q(x,y,zdzdx+R(x,y,zdxdy,其中:
∑
∫∫R(x,y,zdxdy
∑
=±∫∫R*x,y,z(x,y+dxdy,取曲面的上侧时取正号;
Dxy
∫∫P(x,y,zdydz
∑∑
=±∫∫P[x(y,z,y,z]dydz,取曲面的前侧时取正号;
Dyz
∫∫Q(x,y,zdzdx=±∫∫Q*x,y(z,x,z+dzdx,取曲面的右侧时取正
Dzx
号。
两类曲面积分之间的关系:
Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=∫∫
∑
∫∫(Pcosα+Qcosβ+Rcosγds
高斯公式:
高斯公式:
8/13
∫∫∫(x+y
P
Q
+
Rdv=∫∫Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=∫∫(Pcosα+Qcosβ+Rcosγdsz∑∑
高斯公式的物理意义——通量与散度:
vPQRv散度:
divν=++,即:
单位体积内所产生的流体质量,若divν<0,则为消失...xyzvv通量:
Ands=∫∫Ands=∫∫(Pcosα+Qcosβ+Rcosγds,∫∫v因此,高斯公式又可写成:
divAdv=∫∫Ands∫∫∫
∑∑∑∑
斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系:
斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系:
——曲线积分与曲面积分的关系
∫∫(yzdydz+(zxdzdx+(x
∑
R
Q
P
R
Q
Pdxdy=∫Pdx+Qdy+RdzyΓcosβyQcosγzR
dydz上式左端又可写成:
∫∫x∑P
dzdxyQ
dxdycosα=∫∫zx∑RP
RQPRQP空间曲线积分与路径无关的条件:
=,=,=yzzxxyijkv旋度:
rotA=xyzPQRvvv向量场A沿有向闭曲线Γ的环流量:
Pdx+Qdy+Rdz=∫Atds∫
ΓΓ
常数项级数:
常数项级数:
1qn1q(n+1n等差数列:
1+
2+
3+L+n=2111调和级数:
1+++L+是发散的23n等比数列:
1+q+q2+L+qn1=
级数审敛法:
级数审敛法:
9/13
1、正项级数的审敛法
n
——根植审敛法(柯西判
别法:
ρ<1时,级数收敛设:
ρ=limun,则ρ>1时,级数发散n→∞ρ=1时,不确定2、比值审敛法:
设:
ρ=limρ<1时,级数收敛Un+1,则ρ>1时,级数发散n→∞Unρ=1时,不确定3、定义法:
sn=u1+u2+L+un;limsn存在,则收敛;否则发
n→∞
散。
交错级数u1u2+u3u4+L(或u1+u2u3+L,un>0的审敛法——莱布尼兹定理:
un≥un+1如果交错级数满足,那么级数收敛且其和s≤u1,其余项rn的绝对值rn≤un+1。
limun=0n→∞
绝对收敛与条件收敛:
绝对收敛与条件收敛:
(1u1+u2+L+un+L,其中un为任意实数;(2u1+u2+u3+L+un+L如果(2收敛,则(1肯定收敛,且称为绝对收敛级数;如果(2发散,而(1收敛,则称(1为条件收敛级数。
1(1n调和级数:
发散,而∑收敛;∑nn1级数:
∑n2收敛;p≤1时发散1p级数:
∑npp>1时收敛
幂级数:
幂级数:
1+x+x+x+L+x+L
23n2
x<1时,收敛于x≥1时,发散
11x
对于级数(3a0+a1xa2x+L+anxn+L,如果它不是仅在原点收敛,也不是在全+x
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