那么在(a,b)内至少存在一点ξ,使得
f(b)
f(a)
f`()
g(b)
g(a)
g`()
Ps:
对于罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理结论都是开开区间内取值。
6、积分中值定理:
若函数f(x)在[a,b]上连续,则至少存在一点
[a,b]使得
b
f(x)dx
a
f()(ba)
Ps:
该定理课本中给的结论是在闭区间上成立。
但是在开区间上也是满足的,下面
我们来证明下其在开区间内也成立,即定理变为:
若函数f(x)在[a,b]上连续,则至少
b
存在一点
(a,b)使得
f(x)dx
a
f()(ba)
证明:
设
F(x)
x
f(x)dx,x
a
[a,b]
因为f
(x)
在闭区间上连续,则
F(x)在闭区间上连续且在开区间上可导(导函数即
为f(x))。
则对F(x)由拉格朗日中值定理有:
(a,b)使得
F`()
F(b)
F(a)
b
f(x)dx
a
baba
而F`()f()
所以(a,b)使得
b
f(x)dx
a
f()(b
a)。
在每次使用积分中值定理的时候,如果想在开区间内使用,我们便构造该函数,运用拉格朗日中值定理来证明下使其在开区间内成立即可。
千万不可直接运用,因为课本给的定理是闭区间。
1、设
f(x)
定理运用:
在[0,3]上连续,在(0,3)内存在二阶导函数,且2f
(0)
2
f(x)dx
0
f
(2)
f(3).
证明:
(1)
(0,2)使f()
f(0)
(2)
(0,3)使
f``()0
证明:
先看第一小问题:
如果用积分中指定理似乎一下子就出来了,但有个问题就是积分中值定理是针对闭区间的。
有的人明知这样还硬是这样做,最后只能是0分。
具体证明方法在上面已经说到,如果要在开区间内用积分中指定理,必须来构造函数用拉格朗日中值定理证明其在开区间内符合。
x
(1)、令
f(t)dt
0
F(x),x
[0,2]则由题意可知
F(x)在[0,2]上连续,(0,2)内可导.
则对F(x)由拉格朗日中值定理有:
(0,2)使F`()
2
F
(2)
2
F(0)
f()
f(t)dt
0f
2
(0),
(0,2)
(2)、对于证明题而言,特别是真题第一问证明出来的结论,往往在第二问中都会有运用,
在做第二问的时候我们不要忘记了第一问证明出来的东西,我们要时刻注意下如何将第一问的东西在第二问中进行运用:
第二问是要证明存在点使得函数二阶倒数为0,这个很容易想到罗尔定理来证明零点问题,
如果有三个函数值相等,运用两次罗尔定理那不就解决问题啦,并且第一问证明出来了一个等式,如果有f(a)=f(b)=f(c),那么问题就解决了。
第一问中已经在(0,2)内找到一点,那么能否在(2,3)内也找一点满足结论一的形式呢,有了这样想法,就得往下寻找了,
2f(0)
f
(2)
f(3),看到这个很多人会觉得熟悉的,和介值定理很像,下面就来证明:
f(x)在[0,3]上连续,则在分别设为M,m;
[2,3]
上也连续,由闭区间上连续函数必存在最大值和最小值,
则mf
(2)
M,m
f(3)M.
从而,m
f
(2)
2
f(3)
M,那么由介值定理就有:
c[2,3],使f
(c)
f
(2)
2
f(3)
f(0)
f(0)
f()
f(c),
(0,2),c
[2,3]
则有罗尔定理可知:
1(0,
),f`
(1)0,
2(,c),
f`
(2)0
(1,2)
(0,3),
f``()0
Ps:
本题记得好像是数三一道真题,考察的知识点蛮多,涉及到积分中值定理,介值定理,最值定理,罗而定理,思路清楚就会很容易做出来。
2、设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=0,f
(1)=1.
证明:
(1)、(0,1)使得f()1
(2)、
两个不同点、
(0,1),使得f`()
f`()1
本题第一问较简单,用零点定理证明即可。
(1)、首先构造函数:
F(x)
f(x)
x1,x
[0,1]
F(0)f(0)11
F
(1)f
(1)1
F(0)F
(1)10
由零点定理知:
(0,1)使得F()
0,即f()1
(2)、初看本问貌似无从下手,但是我们始终要注意,对于真题这么严谨的题目,他的设问
是一问紧接一问,第一问中的结论或多或少总会在第二问中起到作用。
在想想高数定理中的就这么些定理,第一问用到的零点定理,从第二问的结论来看,也更本不涉及什么积分问题,证明此问题也只可能从三大中值定理出发,具体是哪个定理,得看自己的情况,做题有时候就是慢慢试,一种方法行不通,就换令一种方法,有想法才是最重要的,对于一道题,你没
想法,便无从下手。
另外在说一点,在历年证明题中,柯西中值定理考的最少。
本题结论都涉及一阶倒数,乘积之后为常数,很可能是消去了变为1(你题目做多了,肯定就知道事实就是这样).并且第一问中0与1之间夹了个,如果我们在0与,与1上
对f(x)运用拉格朗日中值定理似乎有些线索。
写一些简单步骤,具体详细步骤就不多写了:
将第一问中
f()代入即可。
f`()
f()
f(0)1,
(0,)
f`()
f
(1)
1
f(),
1
(,1)
f`()
f`()1,
(0,)
(0,1),
(,1)
(0,1)
Ps:
本题是05年数一的一道真题,第一问是基本问题,送分的,第二问有一定区分度,对
定理熟练的会容易想到拉格朗日定理,不熟练的可能难以想到方法。
做任何题,最重要的不是你一下子就能把题目搞出来,而是你得有想法,有想法才是最重要的,有了想法你才能一步步的去做,如果行不通了,在改变思路,寻求新的解法,如果你没想法,你就根本无从下
手。
3、设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续,在开区间(0,1)内可导,且f(0)=0,f
(1)=1/3.
证明:
(0,
1),
2
(1,1),使得:
2
f`()
f`()22
对于这道题的结论比较有意思,比较对称,另外一个就是结论的条件,为何要把、放在
两个范围内,不像上一题中直接来个
、(0,1),这个分界点1/2的作用是干吗的。
很可
能也是把1/2当做某一个点就像上一题中的,是否要用到拉格朗日中值定理呢,这是我们
的一个想法。
那具体的函数如何来构造呢,这个得从结论出发,
f`()
f`()22
我们把等式变一下:
f`()
2f`()
20,
f`()
2
这个不就是
f()13关
3
于的导数(而且题目中f
(1)=1/3,貌似这样有点想法了),本题会不会也像上一题那样,运用
拉格朗日中值定理后相互消掉变为0呢,有了这些想法我们就要开始往下走了:
先来构造一个函数:
F(x)
f(x)
1x3,F(0)
3
1
0,F
(1)
0,F`()
F
(1)
2
1
2
F(0)
2F
(1)
2
F`()
F
(1)
1
F()2
1
2
1
2F()
2
F`()
F`()
0刚好证明出来。
Ps:
本题是近几年数二的一道真题,只有一问,有比较大区分度的,得从条件结论互相出发,如何构造出函数是关键。
做出来之后我们反过来看这个1/2的作用就知道了,如果只给
、(0,1),那就更难了得自己找这个点,既然题中给了这个点,并且把两个变量分开
在两个区间内,我们就对这两个变量在对应区间用相应定理。
说明真题出的还是很有技巧的。
一般设计难一点的中值定理证明,往往得用拉格朗日定理来证明,两个变量,都涉及到导数问题,这是因为拉格朗日中值定理条件要少些,只需连续,可导即可,不像罗尔定理得有式子相等才可进一步运用。
4.设f(x)在区间[-a,a](a>0)上具有二阶连续导数,f(0)=0
(1)、写出f(x)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式
(2)、证明在[-a,a]上至少存在一点使得第一问课本上记住了写出来就行,考的很基础
a3f``()
a
3f(x)dx
a
(1)、
f(x)
f(0)
f`(0)x1!
f``(
2!
)x2
f`(0)x
f(`
2!
)x2
(2)、第二问先将第一问的式子f(x)代入看看有什么结果出来
a
f(x)dx
a
af``()
a2
x2dx,
f``(
)此处不能直接拿到积分号外面,因为他不是与x无
关的数。
做到这儿,我们想办法把他弄到积分号外面似乎就能出来,有了这样想法就得寻求办法。
题目中说道f(x)有二阶连续导数,为何要这样说呢,我们知道连续函数有最大值,最
小值,往往会接着和介值定理一起运用。
所以有:
因为f(x)有二阶连续导数,所以存在最大值和最小值,设为M,m则对于区间[-a,a],
mf``(x)
M,mx2
f``(
)x2
Mx2
2ma3max2dx
aa2
f``()x2dxMx2dxMa3
3a
3a
mf
a3a
aa3
(x)dxM
所以由介值定理有结论成立。
Ps:
本题是以前的一道真题,具体哪年也记不得了,主要就是考到介值定理的运用。
题目中
说的很明白的,有二阶连续导数,往往当题目中提及到什么连续啊,特别是对于导函数连续的,我们总得注意下他有最大值,最小值,进而与介值定理联合运用。
5、设f(x)在[0,
]上连续,且
f(x)dx
0
0,f(x)
0
cosxdx0.
证明:
在
(0,
)内至少存在两个不同点
1、2使得f
(1)
f
(2)0
本题看似很简洁,但做起来去不容易。
结论是证明等式成立且为0,很容易让我们想到罗尔定理,我们如果能找到三个点处函数值相等,那么是不是就能有些思路了呢。
x
令:
F(x)
f(t)dt,x
0
[0,
],F(0)
F()0
似乎只需在找出一点F(c)=0即可。
,如果一切如我们所想,证明也就完成了。
f(x)
0
sinx
0
cosxdx
F(x)dx
cosxdF(x)
0
0
cosx
F(x)0
sinx
0
F(x)dx0
似乎已经找到这个点了。
但是积分中值定理中,是取闭区间,如果要用的话得先构造函数用
x
拉格朗日中值定理来证明其在开区间内成立。
构造函数
G(x)
sint
0
F(t)dt,x
[0,]
具体的证明步骤和上面涉及到的一样,自己去证。
证完后就得到
c(0,
),使得G`(c)
0,即sinc
F(c)
0,所以F(c)0
所以有:
F(0)
F(c)
F()
0,c
(0,)
接下来的证明就和第一题中第二小问一样了,具体就不去证明了,自己证,关键掌握方法,思路。
Ps:
本题是02年左右的数一一道证明题,看看题目很简洁,但具体来做,如果对定理的运
用不熟练,还是不好弄出来。
本题中涉及到积分,而且又要证明等式成立且为0,容易想到积分中值定理,以及罗尔定理。
但是积分中值定理是对于闭区间而言,而我们要用到开区间,只能自己构造函数来证明其在开区间内成立,如果在实际做题的时候你不证明直接用,估计一半的分都没了。
本题关键的就是寻找这个点C,找出来了其他的都不是问题,既然是关键点,那得分点也肯定最多了,你不证明这个点,直接套用课本中定理(如果用的话,得分类
讨论了),硬是说C点就成立,那估计一半的分都没了。
对于中值定理这章,就先给出上面一些经典的题目,大家好好体会下,多做些题,多思考。
下面来讲讲对于证明题中的,函数如何来构造:
基本上都是从结论出发,运用求导或是积分,或是求微分方程,解出来也可。
本人自己总结了一些东西,与大家交流下:
首先我们来看看一些构造函数基本方法:
一、要证明的等式是一阶导数与原函数之间的关系:
一般都会构造出
g(x)
XXX
ex或者e
x或者xn,n为任意常数
1、如果只是单纯导函数和原函数之间关系,想想构造带有
ex或者ex
f`(x)
f(x)
可以构造
g(x)
x
f(x)e
f`(x)
f(x)
0可构造
g(x)
f(x)ex
f`(x)
f(x)
可构造
g(x)
f(x)
exex
x
f(t)dt
a
f(x)这个也是原函数与一阶导函数问题,构造函数
g(x)
exf
x
a
(t)dt
f`(x)
(f(x)
x)1
先将其变形下:
f`(x)
f(x)1
x左边是导函数与原函数关系可构造:
f(x)ex
右边可以看成是x`
x也成了导函数和原函数之间关系,如是可以构造:
x从而
ex
要构造的函数就是:
g(x)
(f(x)
x)ex
2、如果还涉及到变量X,想想构造xn
xf`(x)
f(x)
0可构造
g(x)
f(x)x
f(x)
2f(x)x
可构造
g(x)
f(x)x2
xf`(x)
nf(x)
0可构造
g(x)
f(x)xn
3、另外还可以解微分方程来构造函数:
如xf(x)f`(x)0
f`(x)x,f(x)
lnf(x)
1x2c
2
lnf
2(x)
ex2c
f2(x)
ex2C
所以构造函数
g(x)
f2(x)
ex2
二、二阶导数与原函数之间关系
构造带有
ex或者ex
f``(x)f(x)
如何构造如下:
f``(x)
f`(x)
f`(x)
f(x)对于此式子,你会不会有所想法呢,在上面讲到一阶导函数
与原函数之间的构造方法,等式前面也可以看成是一阶导函数与原函数(只不过原函数是
f`(x)
)之间关系,从而等式左边可以构造
f`(x)
x
e等式右边可以构造
f(x)
x
e总的构造
出来函数为:
g(x)
(f`(x)
f(x))ex
另:
如果这样变形:
(f``(x)
f`(x))
(f`(x)
f(x))0
构造函数如下:
g(x)
(f`(x)
f(x))
e,可以看上面原函数与导函数之间关系如何构
x
造的。
从而对于此函数构造有两种方法,具体用哪一种构造得看题目给的条件了。
如果题目给了
f`(x)
f(x)为什么值可以考虑第一中构造函数,如果题目给了
f`(x)
f(x),则可以考
虑第二种构造方法。
f``()
3f`()
2f()0
先变形:
变成一阶导函数和原函数之间关系
f``()
f`(x)e
2f`(
2x
)
f(x)
f`()
e2x
2f()
e
2x
所以构造的函数为:
G(x)
(f`(x)
f(x))
f``(x)f(x)0
这个函数确实不好构造,如果用微分方程来求会遇到复数根。
G(x)
G`(x)
f2(x)
2f`(x)
(f`(x))2
(f``(x)
f(x))
实际做的时候还得看题目是否给了
f`(x)
的一些条件,如果在某个开区间内不为0,而构造
出来的函数在闭区间端点取值相等,便可用罗而定理来证明。
具体来看看题目:
1、设
f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=f
(1)=0,f(1/2)=1证明:
(1)、存在
(1,1),使得f()2
(2)、存在
(0,
),使得f`()
f()1
(1)、对一问直接构造函数用零点定理:
F(x)
f(x)
x具体详细步骤就不写了。
(2)、该问主要问题是如何构造函数:
如果熟练的话用上面所讲方法来构造:
f`()
f()
1先变形
f`()f(f(x)ex
)1
xex
构造函数为
G(x)
(f(x)
x)ex
另:
用微分方程求解法来求出要构造的函数
f`()1f()
(f(x)
x)`
f(x)x
ln(f(x)x)xc
f(x)x
exc
exC
(f(x)
x)exC
把常数退换掉之后就是要构造的函数
G(x)
(f(x)
x)ex
函数构造出来了,具体步骤自己去做。
b
2、设
f`(x)
在[a,b]上连续,f(x)在(a,b)内二阶可导,f(a)=f(b)=0,
f(x)dx0
a
证明:
(1)存在
1,2
(a,b)使得f
(1)
f`(
1),f
(2)
f`
(2)
(2)存在
(a,b),
1,2使得f``()
f()
(1)、第一问中的函数构造:
F(x)
f(x)ex
(2)、第二问中函数构造有两种构造方法,上面讲解中说道了我们在这用第一种
g(x)
(f`(x)
x
f(x))e
原因在于第一问中
f`(x)
f(x)=0符合此题构造。
具体详细步骤自己去写写。
3、设奇函数
f(x)在[
1,1]上具有二阶导数,且f
(1)=1,证明:
(1)存在
(0,1),使得f`()1
(2)存在
(1,1),使得f``()
f`()1
第一问中证明等式,要么用罗尔定理,要么介值定理,要么零点本题很容易想到用罗尔定理构造函数来求,因为涉及到了导函数
(1)、F(x)
f(x)
x,题目中提到奇函数,f(0)=0
有F(0)=F
(1)=0从而用罗尔定理就出来了。
(2)、第二问中的结论出发来构造函数,从上面讲的方法来看,直接就可以写出要构造的函数
Ps:
本题为13年数一真题,第一问基础题,但要看清题目为奇函数,在0点处函数值为0.第二问关键是构造函数,函数构造出来了就一步步往下做,缺什么条件就去找什么条件或者证明出来,13年考研前我给我的几个考研小伙伴们讲过构造函数的一些方法,考场上都很
快就搞出来了。