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数论综合练习
数论综合练习
五年级奥数:
数的整除性试题
一、填空题
1.、四位数“3AA1”是9的倍数,那么A=___.
2、在“25□79这个数的□内填上一个数字,使这个数能被11整除,方格内应填___.
3、能同时被
2、3、5整除的最大三位数是___.
4、能同时被
2、5、7整除的最大五位数是___.
5、1至100以内所有不能被3整除的数的和是___.
6、所有能被3整除的两位数的和是___.
7、已知一个五位数□691□能被55整除,所有符合题意的五位数是___.
8、如果六位数1992□□能被105整除,那么它的最后两位数是___.
9、42□28□是99的倍数,这个数除以99所得的商是___.
10、有四个数
921438、76186、
750235、,其中只有___是完全平方数.
二、解答题
1、在1992后面补上三个数字,组成一个七位数,使它们分别能被
2、3、
5、11整除,这个七位数最小值是多少?
2、在下面的数中,哪些能被4整除?
哪些能被8整除?
哪些能被9整除?
234,789,7756,8865,3728,8064。
3、被除数,除数,商与余数之和是2143,已知商是33,余数是52,求被除数和除数.
4、(美国长岛小学数学竞赛)写出所有的除109后余数为4的两位数.
5、1013除以一个两位数,余数是
12.求出符合条件的所有的两位数.
6、把一个两位数的十位和个位上的数字加以交换,得到一个新的两位数,如果原来的两位数和交换后的两位数的差是45,试求这样的两位数中最大的是多少?
【质数、合数】和【约数和倍数】和【余数】
7、某个质数加上6或者前去6得到的数仍然是质数,在50以内你能找出几个这样的质数?
把它们写出来。
8、甲、乙、丙代表互不相同的3个正整数,并且满足:
甲×甲=乙+乙=丙×
135.那么甲最小为多少?
9、480有多少个约数?
10、试求出一个最小的整数,它正好有12个约数。
11、四个连续奇数的最小公倍数是6435,这四个数中最大的一个是多少?
12、有一类三位数,它们除以6余5,除以8余5,除以9余5,请问这些三位数中,最小的一个是多少?
13、两个数的积为126,最大公约数为3,则这两个数的最小公倍数是多少?
14、将自然数a和b分解质因数,得到a=2×5×7×m,b=3×5×m,如果a与b的最小公倍数是2730,那么m为多少?
15、一个四位数是一个完全平方数,并且前两位数字相等,后两位数字相等,求这个四位数。
16、在555的约数中,最大的三位数是多少?
数论综合练习
五年级奥数:
数的整除性试题
一、填空题
1.、四位数“3AA1”是9的倍数,那么A=___.
【解析】7
已知四位数3AA1正好是9的倍数,则其各位数字之和3+A+A+1一定是9的倍数,可能是9的1倍或2倍,可用试验法试之.
设3+A+A+1=9,则A=
2.5,不合题意.再设3+A+A+1=18,则A=7,符合题意.事实上,37719=
419.
2、在“25□79这个数的□内填上一个数字,使这个数能被11整除,方格内应填___.
【解析】1
这个数奇数位上数字和与偶数位上数字和之差是0或是11的倍数,那么这个数能被11整除.偶数位上数字和是5+7=12,因而,奇数位上数字和2+□+9应等于12,□内应填12-2-9=
1.
3、能同时被
2、3、5整除的最大三位数是___.
【解析】990
要同时能被2和5整除,这个三位数的个位一定是
0.要能被3整除,又要是最大的三位数,这个数是
990.
4、能同时被
2、5、7整除的最大五位数是___.
【解析】99960
解法一:
能被
2、5整除,个位数应为0,其余数位上尽量取9,用7去除999□0,可知方框内应填
6.所以,能同时被
2、5、7整除的最大五位数是
99960.解法二:
或者这样想,2,5,7的最小公倍数是70,而能被70整除的最小六位是
100030.它减去70仍然是70的倍数,所以能被2,5,7整除的最大五位数是100030-70=
99960.
5、1至100以内所有不能被3整除的数的和是___.
【解析】3367
先求出1~100这100个数的和,再求100以内所有能被3整除的数的和,以上二和之差就是所有不能被3整除的数的和.
(1+2+3+„+100)-(3+6+9+12+„+99)
=(1+100)2100-(3+99)233
=50-1683
=3367
6、所有能被3整除的两位数的和是___.
【解析】1665
能被3整除的二位数中最小的是12,最大的是99,所有能被3整除的二位数如下:
12,15,18,21,„,96,99
这一列数共30个数,其和为
12+15+18+„+96+99
=(12+99)302
=1665
7、已知一个五位数□691□能被55整除,所有符合题意的五位数是___.
【解析】96910或46915
五位数能被55整除,即此五位数既能被5整除,又能被11整除.所以B=0或
5.当B=0时,能被11整除,所以(A+9+0)-(6+1)=A+2能被11整除,因此A=9;当B=5时,同样可求出A=
4.所以,所求的五位数是96910或
46915.
8、如果六位数1992□□能被105整除,那么它的最后两位数是___.
【解析】90
因为105=357,根据数的整除性质,可知这个六位数能同时被
3、5和7整除。
根据能被5整除的数的特征,可知这个六位数的个位数只能是0或5两种,再根据能被3整除的数的特征,可知这个六位数有如下七个可能:
199200,199230,199260,199290,199215,199245,
199275.
最后用7去试除知,199290能被7整除.
所以,199290能被105整除,它的最后两位数是
90.
[注]此题也可以这样思考:
先把后面两个方框中填上0后的199200除以105,根据余数的大小来决定最后两个方框内应填什么.
5=1897„15
105-15=90
如果199200再加上90,199290便可被105整除,故最后两位数是
90.9、42□28□是99的倍数,这个数除以99所得的商是___.
【解析】4316
因为99=911,所以42□28□既是9的倍数,又是11的倍数.根据是9的倍数的特点,这个数各位上数字的和是9的倍数.42□28□这个六位数中已知的四个数的和是4+2+2+8=16,因此空格中两个数字的和是2或
11.我们把右起第一、三、五位看做奇位,那么奇位上已知两个数字的和是2+2=4,而偶位上已知两个数字的和是4+8=12,再根据是11的倍数的特点,奇位上数字的和与偶位上数的和之差是0或11的倍数,所以填入空格的两个数应该相差3或相差
8.从以上分析可知填入的两个数字的和不可能是2,应该是
11.显然它们的差不可能是8,应该是3,符合这两个条件的数字只有7和
4.填入空格时要注意7填在偶位上,4填在奇位上,即原六位数是427284,又42728499=4316,所以所得的商是
4316.
二、解答题
1、在1992后面补上三个数字,组成一个七位数,使它们分别能被
2、3、
5、11整除,这个七位数最小值是多少?
【解析】设补上的三个数字组成三位数,由这个七位数能被2,5整除,说明c=0;
由这个七位数能被3整除知1+9+9+2+a+b+c=21+a+b+c能被11整除,从而a+b能被3整除;
由这个七位数又能被11整除,可知(1+9+a+c)-(9+2+b)=a-b-1能被11整除;由所组成的七位数应该最小,因而取a+b=3,a-b=1,从而a=2,b=
1.
所以这个最小七位数是
.
[注]小朋友通常的解法是:
根据这个七位数分别能被2,3,5,11整除的条件,这个七位数必定是2,3,5,11的公倍数,而2,3,5,11的最小公倍数是23511=
330.这样,330=6036„120,因此符合题意的七位数应是(6036+1)倍的数,即+(330-120)=
.
2、在下面的数中,哪些能被4整除?
哪些能被8整除?
哪些能被9整除?
234,789,7756,8865,3728,8064。
【解析】能被4整除的数有7756,3728,8064;
能被8整除的数有3728,8064;
能被9整除的数有234,8865,8064。
3、被除数,除数,商与余数之和是2143,已知商是33,余数是52,求被除数和除数.
【解析】方法1:
通过对题意的理解我们可以得到:
被除数=除数×商+余数=除数×33+52;
又有被除数=2143-除数-商-余数=2143-除数-33-52=2058-除数;
所以除数×33+52=2058-除数;
则除数=(2058-52)÷34=59,被除数=2058-59=
1999.
方法2:
此题也可以按这个思路来解:
从被除数中减掉余数52后,被除数就是除数的33倍了,所以可以得到:
2143-33-52-52=(33+1)×除数,求得除数=59,被除数=33×
59+52=1999.
4、(美国长岛小学数学竞赛)写出所有的除109后余数为4的两位数.
【解析】分析:
还是把带有余数的问题转化成整除性的问题,也就是要找出能整除(109-4)的所有的两位数.进一步,要找出能整除105的两位数,很简单的方法就是把105分解质因数,从所得到的质因子中去凑两位数.109-4=105=3×5×
7.因此这样的两位数是:
15;35;
21.
5、1013除以一个两位数,余数是
12.求出符合条件的所有的两位数.
【解析】1013-12=1001,1001=7×11×13,那么符合条件的所有的两位数有13,77,91有的同学可能会粗心的认为11也是.11小于12,所以不行.
6、把一个两位数的十位和个位上的数字加以交换,得到一个新的两位数,如果原来的两位数和交换后的两位数的差是45,试求这样的两位数中最大的是多少?
【解析】位值原理,94
7、某个质数加上6或者前去6得到的数仍然是质数,在50以内你能找出几个这样的质数?
把它们写出来。
【解析】71113172347
8、甲、乙、丙代表互不相同的3个正整数,并且满足:
甲×甲=乙+乙=丙×
135.那么甲最小为多少?
8、甲、乙、丙代表互不相同的3个正整数,并且满足:
甲×甲=乙+乙=丙×
135.那么甲最小为多少?
【解析】题中要求丙与135的乘积为甲的平方数,而且是偶数:
(乙+乙),这样我们分解为135=5×3×3×3,因此丙最小应该是2×2×5×3,所以甲最小是:
2×3×3×5=
90.9、480有多少个约数?
【解析】分解质因数
480=2×2×2×2×2×3×5指数加一相乘:
(5+1)×(1+1)×(1+1)=24
10、试求出一个最小的整数,它正好有12个约数。
【解析】12=2×6=3×4=2×2×3最小的是:
2×2×3×5=60
11、四个连续奇数的最小公倍数是6435,这四个数中最大的一个是多少?
【解析】将6435分解质因数,得
6435=3×3×5×11×13
说明里面的因数中有连续奇数3×3=911133×5=15
所以最大的一个数是15
12、有一类三位数,它们除以6余5,除以8余5,除以9余5,请问这些三位数中,最小的一个是多少?
【解析】
13、两个数的积为126,最大公约数为3,则这两个数的最小公倍数是多少?
【解析】两个数的成绩等于两个数的最小公倍数与最大公约数的乘积126÷3=
4214、将自然数a和b分解质因数,得到a=2×5×7×m,b=3×5×m,如果a与b的最小公倍数是2730,那么m为多少?
【解析】5×m×2×7×3=2730m=13
15、一个四位数是一个完全平方数,并且前两位数字相等,后两位数字相等,求这个四位数。
【解析】882=7744
16、在555的约数中,最大的三位数是多少?
【解析】555=3×5×7×11×13×17最大为37×5×11=777
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