上全等三角形经典培优练习习题汇集学而思doc.docx

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全等三角形经典习题汇集

第一讲全等三角形的性质及判定

【例1】如图，AC∥DE，BC∥EF，ACDE．求证：

AFBD．

E

A

F

D

B

C

DC

【补充】如图所示：

AB∥CD，ABCD．求证：

AD∥BC．

AB

【例2】已知：

如图，B、E、F、C四点在同一条直线上，ABDC，BECF，BC．求证：

OAOD．

AD

O

BEFC

【补充】已知：

如图，ADBC，ACBD，求证：

CD．

DC

O

AB

【补充】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为CD中点，连结AE并延长AE交BC的延长线于点F．求

证：

FCAD．

AD

E

B

F

C

【例3】如图，AB，CD相交于点O，OAOB，E、F为CD上两点，AE∥BF，CEDF．求证：

AC∥BD．

AC

E

O

F

DB

【补充】已知，如图，ABAC，CEAB，BFAC，求证：

BFCE．

A

EF

BC

【例4】如图，DCE90，CDCE，ADAC，BEAC，垂足分别为A，B，试说明ADABBE

E

A

B

DC

【例10】如图所示，已知ABDC，AEDF，CEBF，证明：

AFDE．

AD

CEFB

【例11】

E、

F

分别是正方形

ABCD

的

BC

、CD

边上的点，且

BE

CF

．求证：

AE

BF

．

A

D

F

P

B

E

C

【补充】E、F、G分别是正方形ABCD的BC、CD、AB边上的点，GEEF，GEEF．求证：

BGCFBC．

AD

G

F

BC

E

【例12】在凸五边形中，BE，CD，BCDE，M为CD中点．求证：

AMCD．

A

BE

CMD

【补充】如图所示：

AFCD，BCEF，ABDE，AD．求证：

BC∥EF．

AF

BE

CD

【例13】

（1）如图，△ABC的边AB、AC为边分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连结EG，试判

断△ABC与△AEG面积之间的关系，并说明理由.

（2）园林小路，曲径通幽，如图所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成.已知

中间的所有正方形的面积之和是a平方米，内圈的所有三角形的面积之和是b平方米，这

条小路一共占地多少平方米？

E

G

D

A

F

BC

【例14】如图，ABC中，AB

BC，ABC

90，D是AC上一点，且CD

CBAB，DE

AC交AB

于E点．求证：

AD

DEEB．

A

D

E

BC

【例15】ABC中，B90，M为AB上一点，使得AMBC，N为BC上一点，使得CNBM，连

AN、CM交于P点．试求APM的度数，并写出你的推理证明的过程．

A

D

M

P

BNC

图3

【例16】如图，I是△ABC的内心，且CAAIBC．若BAC80，求ABC和AIB的大小．

C

I

BA

【例17】已知：

BD、CE是ABC的高，点P在BD的延长线上，BPAC，点Q在CE上，CQAB，

求证：

⑴APAQ；⑵APAQ．

P

A

D

E

Q

BC

【例18】⑴

如左下图，在矩形ABCD中，E为CB延长线上一点且

ACCE，F为AE的中点．求证：

BF

FD．

ABC中，BE、CF分别为边AC、AB的高，D为BC的中点，DM

EF于

⑵

如右下图，在

M．求证：

FM

EM．

A

AD

ME

FF

EBCBDC

18.补充：

如图，已知ABD

ACD60，且ADB90

1

BDC．求证：

ABC是

2

等腰三角形．

【例19】如图，ABC为边长是1的等边三角形，BDC为顶角（BDC）是120的

等腰三角形，以D为顶点作一个60角，角的两边分别交AB于M，AC

于N，连接MN，形成一个AMN．求AMN的周长．

A

N

M

BC

D

家庭作业

【习题1】已知：

如图，AB∥DE，AC∥DF，BECF．求证：

ABDE．

AD

BECF

【习题2】已知：

△DEF≌△MNP，且EF＝NP，∠F＝∠P，∠D＝48°，∠E＝52°，MN＝12cm，求：

∠P的度数及DE的长.

【习题3】如图，矩形ABCD中，E是AD上一点，CE

EF交AB于F点，若DE

2，矩形周长为

16，

且CEEF，求AE的长．

A

E

D

F

BC

【习题4】在四边形ABCD中，AD∥BC，A的平分线AE交DC于E．求证：

当BE是B的角平分线

时，有ADBCAB．

月测备选

【备选1】如图所示：

ABAC，ADAE，CD、BE相交于点O．求证：

OA平分DAE．

E

C

O

ABD

【备选2】如图所示，在△ABC中，ADBC于点D，B2C．求证：

ABBDCD．

A

CDB

【备选3】如图，△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG于G点，DE⊥DF，

交AB于点E，连结EG、EF.

（1）求证：

BG＝CF.

（2）请你判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由.

A

F

E

B

D

C

G

第二讲全等三角形与中点问题

版块一倍长中线

A

【例1】在△ABC中，AB5,AC9，则BC边上的中线AD的长的取值

范围是什么？

BDC

A

【补充】已知：

ABC中，AD是中线．求证：

1

AD（ABAC）．

2

BDC

【例2】已知：

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E是CD的中点，BE的延长线与AD的延长线相交

于点F．求证：

BCE≌FDE．

ADF

E

BC

【例3】如图，在ABC中，D是BC边的中点，F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE．求证：

BDE≌CDF．

A

F

B

C

D

E

【例4】如图，

ABC中，AB

A

DAC

B

C

D

A

【例5】如图，已知在

ABC中，AD是BC边上的中线，

E是AD上一点，延

F

长BE交AC于F，AFEF，求证：

ACBE．

E

B

DC

【例6】如图所示，在

ABC和

ABC中，AD、AD分别是BC、BC上的中线，且

ABAB，

ACAC，

ADAD

，求证

A

A'

ABC≌ABC．

BDCB'D'C'

【例7】如图，在ABC中，AD交BC于点D

，点E是BC中点，EF∥AD交CA的延长线于点

F，交EF

于点G，若BGCF，求证：

AD为

ABC的角平分线．

F

A

G

B

ED

C

【例8】已知AD为ABC的中线，ADB，ADC的平分线分别交AB于E、交AC于F．求证：

BECFEF．

A

EF

BDC

【例9】在RtABC中，A90，点D为BC的中点，点E、F分别为AB、AC上的点，且EDFD．以线段BE、EF、FC为边能否构成一个三角形？

若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝

角三角形？

A

EF

BC

D

【例10】已知△

，∠

=∠，，

E

分别是

AB

及

延长线上的一点，且

=，连接

交底

于

，

ABC

BCD

AC

BDCE

DE

BC

G

求证GD=GE．

A

D

C

BG

E

【例11】如图所示，在

ABC中，D是BC的中点，DM垂直于DN，如果BM

2

CN

2

DM

2

DN

2，求

证AD2

1

AB2

AC2．（勾股定理的内容，选做）

A

4

M

N

B

D

C

【例10】在RtABC中，F是斜边AB的中点，D、E分别在边CA、CB上，满足DFE

90．若AD

3，

BE4，则线段DE的长度为_________．

A

D

F

G

C

E

B

图6

家庭作业

【习题

1】如图，在等腰

求证：

EDB

ABC中，AB

FDC．

AC，D是BC

的中点，过

A作

AE

DE，AF

DF

，且AE

AF．

A

E

F

A

BD

C

F

E

【习题2】如图，已知在

ABC中，AD是BC边上的中线，

E是AD上一点，且

BE

AC，延长BE交AC于F，AF与EF相等吗？

为什么？

B

C

D

【习题

3】如右下图，在

ABC

中，若

B2C，

AD

BC，

E为BC

边的中点．求证：

AB

2DE．

A

BDEC

【备选1】如图，已知AB=DC，AD=BC，O是BD中点，过O点的直线分别交DA、BC的延长线于E，F．求证：

∠E=∠F

【备选2】如图，

ABC中，ABAC，

BAC90

，D是BC中点，ED

FD，ED与AB交于E，FD

与AC

交于F．求证：

BE

AF，AE

CF．

A

F

E

B

D

C

第三讲全等三角形与角平分线问题

【例1】在ABC中，D为BC边上的点，已知BADCAD，BDCD，求证：

ABAC．

A

B

DC

【例2】已知ABC中，ABAC，BE、CD分别是ABC及ACB平分线．求证：

CDBE．

A

DE

BC

【例3】如图，在ABC中，B60，AD、CE分别平分BAC、BCA，且AD与CE的交点为F．求

证：

FEFD．

A

E

F

BC

D

【例4】如图，已知ABC的周长是21，OB，OC分别平分ABC和ACB，ODBC于D，且OD3，

求ABC的面积．

A

O

BC

D

【补充】如图所示：

ABAC，ADAE，CD、BE相交于点O．求证：

OA平分DAE．

E

C

O

ABD

【例5】已知ABC中，A60o，BD、CE分别平分ABC和ACB，BD、CE交于点O，试判断BE、

CD、BC的数量关系，并加以证明．

A

E

OD

BC

【例6】如图，已知E是AC上的一点，又12，34．求证：

EDEB．

D

1

A

C

3

4

E

2B

【例7】如图所示，OP是AOC和BOD的平分线，OAOC，OBOD．求证：

ABCD．

O

ABPDC

【例8】如图所示，已知

ABC中，AD平分

BAC，E、F分别在BD、AD上．DE

CD，EFAC．求

证：

EF∥AB

A

F

BEDC

【例10】如图，在四边形

ABCD中，AC平分

BAD，过C作CE

AB于E，并且AE

1

（ABAD），则

2

ABCADC等于多少？

D

C

AEB

【补充】长方形ABCD中，AB=4，BC=7，∠BAD的角平分线交BC于点E，EF⊥ED交AB于F，则EF=__________．

AD

F

BEC

【补充】在ABC中，ABAC，AD是BAC的平分线．P是AD上任意一点．求证：

ABACPBPC．

A

P

BDC

【例11】如图，在ABC中，B2C，BAC的平分线AD交BC与D．求证：

ABBDAC．

A

BDC

【例12】如图，ABC中，ABAC，A108，BD平分ABC交AC于D点．求证：

BCACCD．

A

D

BC

【巩固】已知等腰ABC，A100，ABC的平分线交AC于D，则BDADBC．

A

D

BC

【例13】如图所示，在ABC中，AD平分BAC，ADAB，CMAD于M，求证ABAC2AM．

A

BDC

M

【例14】如图，ABC

于E．求证：

中，AD

ABAC，BD、CE

AE．

分别为两底角的外角平分线，

AD

BD于D，

AE

CE

A

DE

GBCH

【例15】如图，A

①探讨线段

②探讨线段

D180，BE平分ABC，CE

AB、CD和BC之间的等量关系．

BE与CE之间的位置关系．

平分

BCD

，点

E在

AD上．

D

E

A

BC

家庭作业

【习题2】如图，在ABC中，ABBDAC，BAC的平分线AD交BC与D．求证：

B2C．

A

BDC

【习题3】

是

ABC的角平分线，

BE

AD

交

AD

的延长线于

E

，EF∥AC交

AB

于

F

．求证：

AF

FB

．

AD

A

C

F

D

BE

【习题4】如图所示，AD平行于BC，DAE=EAB，ABE=EBC，AD=4，BC=2，那么AB=________．

【习题5】ABC中，

为BC中点，DE

BC交

BAC的平分线于点

E

，

AB

于

F

EGAC于G．求

D

EF

证：

BF

CG．

A

F

B

D

C

G

E

月测备选

【备选1】在ABC中，AD平分BAC，ABBDAC．求B:

C的值．

A

BDC

【备选2】如图，已知在ABC中，ABC3C，12，BEAE．求证：

ACAB2BE．

A

2

1

E

BC

【备选3】如图所示，在四边形

ABCD中，AD∥BC，

A的平分线AE交DC于E，求证：

当BE是B

的平分线时，有AD

BCAB．

D

E

C

AB

第四讲全等三角形与旋转问题

【例1】已知：

如图，点C为线段AB上一点，ACM、CBN是等边三角形．

（1）求证：

ANBM．

N

M

ACB

（2）求证：

CD=CE

N

M

DE

ACB

（3）求证：

CF平分∠MCN

N

M

F

DE

ACB

（4）求证：

DE∥AB

N

M

F

DE

ACB

【例2】如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG．求证：

AECG．

G

A

B

F

DE

C

【例3】如图，等边三角形ABC与等边DEC共顶点于C点．求证：

AEBD．

A

E

D

BC

【例4】如图，D是等边ABC内的一点，且BDAD，BPAB，DBPDBC，问BPD的度数是否一定，若一定，求它的度数；若不一定，说明理由．

A

P

D

BC

【例5】如图，等腰直角三角形

ABC中，∠B

90，AB

a，O为AC中点，EOOF．求证：

BEBF

为定值．

A

E

O

B

F

C

【补充】如图，正方形

OGHK绕正方形ABCD中点O旋转，其交点为

E、F，求证：

AE

CF

AB．

G

A

D

E1

3

4

O

5

H

2

C

B

F

K

【例6】（2004河北）如图，已知点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且

EAAF．求证：

DEBF．

AD

E

FBC

【补充】如图所示，在四边形ABCD中，ADC

ABC90，AD

CD，DP

AB于P，若四边形ABCD

的面积是16，求DP的长．

D

C

APB

【例7】

E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，且∠EAF45

，AH

EF，H为垂足，求

证：

AHAB．

A

D

F

H

【巩固】如图，正方形ABCD的边长为1，点F在线段CD上运动，AE平分

BAF

B

E

C

交BC边于点E．

⑴求证：

AFDFBE．

⑵设DFx（0≤x≤1），ADF与

ABE的面积和S是否存在最大值？

若存在，求出此时

x的

值及S．若不存在，请说明理由．

A

D

F

B

EC

【补充】

（1）如图，在四边形ABCD中，AB