苏教版数学必修5 第2章 233 等比数列的前n项和 第2课时 数列求和.docx
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苏教版数学必修5第2章233等比数列的前n项和第2课时数列求和
第2课时 数列求和
1.掌握一些数列常见的求和方法,如倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法、奇偶分析法等.(重点、难点)
2.在求和过程中,体会转化与化归思想的应用.
3.错位相减时的项数计算.(易错点)
[基础·初探]
教材整理 数列求和的方法
阅读教材P55~P57,P62第12题,第13题,P70第13题,完成下列问题.
1.分组求和法
若cn=an+bn,{an},{bn},{cn}前n项和分别为An,Bn,Cn,则Cn=An+Bn,以此可以对数列{an}分组求和.
2.错位相减法求和
设数列{an}为等比数列且公比q≠1,则
Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1,
qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-1+a1qn.
两式相减,(1-q)Sn=a1(1-qn),
∴Sn=(q≠1).
这种求和的方法叫错位相减法.
3.裂项相消法求和
将某些特殊数列的每一项拆成两项的差,并使它们求和的过程中出现相同的项,且这些相同的项能够相互抵消,从而达到将求n个数的和的问题转化为求少数的几项的和的目的.这种求和的方法叫裂项相消法.
4.数列{an}的an与Sn的关系:
数列{an}的前n项和Sn=a1+a2+a3+…+an,则an=
1.若an=,则数列{an}的前10项和S10=.
【解析】 ∵an==-,
∴S10=++…+=.
【答案】
2.数列1,2,3,4,…的前n项和是.
【解析】 Sn=(1+2+3+…+n)+=+1-.
【答案】 +1-
[小组合作型]
分组求和
求和:
Sn=++…+.
【精彩点拨】 先分析通项an==x2n++2,再分组求和,注意x的取值范围.
【自主解答】 当x≠±1时,
Sn=++…+
=++…+
=(x2+x4+…+x2n)+2n+
=++2n
=+2n;
当x=±1时,Sn=4n.
综上知,Sn=
分组求和法的求和策略
有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将其每一项拆开,可分为几个等差、等比或常数列,然后分别求和,再将其合并即可.像这种数列求和方法称为分组求和法,运用这种方法的关键是将通项变形.
[再练一题]
1.已知数列1+1,+4,+7,…,+3n-2,…,求其前n项的和.
【解】 设Sn=(1+1)+++…+将其每一项拆开再重新组合得,
Sn=+(1+4+7+…+3n-2),
当a=1时,Sn=n+=;
当a≠1时,
Sn=+=+.
错位相减法求和
已知数列{an},a1=1,an=2·3n-2(n≥2),求数列{nan}的前n项和Tn.
【精彩点拨】 利用错位相减法求Tn,但本题需注意n的范围.
【自主解答】 Tn=a1+2a2+3a3+…+nan.
当n=1时,T1=1;
当n≥2时,Tn=1+4·30+6·31+…+2n·3n-2,①
3Tn=3+4·31+6·32+…+2n·3n-1,②
①-②得:
-2Tn=1+(4-3)+2(31+32+…+3n-2)-2n·3n-1
=2+2·-2n·3n-1
=-1+(1-2n)·3n-1,
∴Tn=+(n≥2).
又∵T1=a1=1也满足上式,
∴Tn=+(n∈N*).
1.若cn=an·bn,其中{an}为等差数列,{bn}为等比数列,则{cn}的前n项和可用错位相减法求得.
2.用错位相减法求和时应注意:
①两式相减后除首、末项外的中间的项转化为一个等比数列求和.②注意两式相减后所得式子第一项后是加号,最后一项前面是减号.
[再练一题]
2.求数列的前n项和Sn.
【解】 Sn=a1+a2+a3+…+an,
Sn=1×+2×+3×+…+n×,①
Sn=1×+2×+…+(n-1)×+n×,②
①-②得,Sn=+++…+-n×
=-n×
=1--n×,
∴Sn=2--.
裂项相消法求和
求和:
+++…+,n≥2.
【精彩点拨】 由==
逐项裂项相消求和.
【自主解答】 ∵==,
∴原式=
=
=-.
1.裂项相消法的裂项方法
(1)=;
(2)若{an}为等差数列,公差为d,则=;
(3)=-.
2.如果数列的通项公式可转化为f(n+1)-f(n)的形式,常采用裂项相消法求和.
[再练一题]
3.求和:
1+++…+.
【导学号:
92862061】
【解】 ∵==2,
∴原式=2
=2
=.
[探究共研型]
数列求和的综合应用
探究1 如何求数列{(-1)n}的前n项的和?
【提示】 分n为奇、偶数两类分别求数列{(-1)n}的和.
探究2 若数列{an}的前n项和为Sn,则an与Sn间存在怎样的关系?
如何由Sn求通项an?
【提示】 由Sn=a1+a2+…+an可知
Sn-1=a1+a2+…+an-1(n≥2),
∴an=Sn-Sn-1(n≥2),
又a1=S1,
∴an=
已知等差数列{an}的公差为2,前n项和为Sn,且S1,S2,S4成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)令bn=(-1)n-1,求数列{bn}的前n项和Tn.
【精彩点拨】
(1)由S=S1S4列出关于a1的方程,求a1,从而求出an.
(2)对bn进行裂项,并对n为奇数和偶数分类求和.
【自主解答】
(1)因为S1=a1,S2=2a1+×2=2a1+2,
S4=4a1+×2=4a1+12,
由题意得(2a1+2)2=a1(4a1+12),解得a1=1,
所以an=2n-1.
(2)bn=(-1)n-1=(-1)n-1·=(-1)n-1.
当n为偶数时,
Tn=-+…+-=1-=.
当n为奇数时,
Tn=-+…-+=1+=.
所以Tn=
奇偶性分析适用的数列往往是与(-1)n有关的摆动数列,常用的思路有两个:
一是邻项相并,二是利用Sn=S奇+S偶,两种思路都要考虑奇数项、偶数项的项数.
[再练一题]
4.求和:
Sn=-1+3-5+7-…+(-1)n(2n-1).
【解】 当n为奇数时,
Sn=(-1+3)+(-5+7)+(-9+11)+…+[(-2n+5)+(2n-3)]+(-2n+1)
=2·+(-2n+1)=-n.
当n为偶数时,Sn=(-1+3)+(-5+7)+…+[(-2n+3)+(2n-1)]=2·=n.
∴Sn=(-1)nn(n∈N*).
1.数列{an}的通项公式an=2n+2n-1,则其前n项和Sn=.
【解析】 Sn=(2+22+…+2n)+[1+3+…+(2n-1)]
=+=2n+1-2+n2.
【答案】 2n+1+n2-2
2.已知an=(-1)nn,则S2017=.
【解析】 ∵a1+a2=1,a3+a4=1,…,a2015+a2016=1,a2017=-2017.
∴S2017=1008-2017=-1009.
【答案】 -1009
3.已知an=,则Sn=.
【解析】 ∵an==-,
∴Sn=-+-+…+-=-.
【答案】 -
4.若数列{an}的前n项和为Sn=an+,则数列{an}的通项公式是.
【导学号:
92862062】
【解析】 当n=1时,a1=S1=a1+,
解得a1=1.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-=an-an-1,
整理可得an=-an-1,即=-2,
故数列{an}是以1为首项,-2为公比的等比数列,故an=(-2)n-1.
【答案】 an=(-2)n-1
5.求和:
Sn=+++…+.
【解】 当a=1时,Sn=n(n+1);
当a≠1时,
Sn=+++…+,
aSn=1++++…+,
(1-a)Sn=-1----…-+
=-1-+,
∴Sn=(a≠1),
∴Sn=
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