高三数学学科基地密卷二.docx
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高三数学学科基地密卷二
2019-2020年高三数学学科基地密卷
(二)
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1.本试卷共4页,包含填空题(第1题——第14题)、解答题(第15题——第20题).本卷满分160分,考试时间为120分钟.考试结束后,请将答题卡交回.
2.答题前,请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.
3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答,在其他位置作答一律无效.作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整,笔迹清楚.
4.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.
5.请保持答题卡卡面清洁,不要折叠、破损.一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔.
一、填空题:
本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答卷纸的相应位置上.
1.若复数z满足(i是虚数单位),则z=▲.
2.已知集合A={x|6x+a>0},若1A,则实数a的取值范围是▲.
3.命题p:
函数y=tanx在R上单调递增,命题q:
△ABC中,∠A>∠B是sinA>sinB的充要条件,则p∨q是▲命题.(填“真”“假”)
4.某地区为了解中学生的日平均睡眠时间(单位:
h),
随机选择了位中学生进行调查,根据所得数据
画出样本的频率分布直方图如图所示,且从左到
右的第1个、第4个、第2个、第3个小长方形
的面积依次构成公差为0.1的等差数列,
又第一小组的频数是10,则▲.
5.把一颗骰子投掷2次,观察出现的点数,记第一次出现的点数为,第二次出现的点数为,则方程组只有一个解的概率为▲.
6.如果,那么=▲.
7.已知双曲线的一个焦点在圆上,则双曲线的渐近线方程
为▲.
8.程序框图如下,若恰好经过6次循环输出结果,则a=▲.
9.将函数y=sin(2x+)的图象向左平移至少▲个单位,可得一个偶函数的图象.
10.已知直线平面,直线平面,给出下列命题:
1若,则; ②若,则;
③若,则; ④若,则.
其中正确命题的序号是▲.
1
1
1
1
1
1
…
1
2
3
4
5
6
…
1
3
5
7
9
11
…
1
4
7
10
13
16
…
1
5
9
13
17
21
…
1
6
11
16
21
26
…
…
…
…
…
…
…
…
11.某资料室在计算机使用中,产生如右表所示的编码,该编码以一定的规则排列,且从左至右以及从上到下都是无限的.此表中,主对角线上数列1,2,5,10,17,…的一个通项公式=▲.
12.在中,A(1,1),B(4,5),C(—1,1),
则与角A的平分线共线且方向相同的单位向量
为▲.
13.已知函数f(x)满足f
(1)=,f(x)+f(y)=4f()f()(x,y∈R),则f(—2011)=
▲.
14.已知二次函数,若函数在上有两个不同的零点,则的最小值为▲.
二、解答题:
本大题共6小题,共计90分.请把答案写在答题卡相应的位置上.解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15.(本题满分14分)
已知ABC的面积S满足,且=—8.
(Ⅰ)求角A的取值范围;
(Ⅱ)若函数,求的最大值.
16.(本题满分14分)
如图,把长、宽分别为4、3的长方形ABCD沿对角线AC折成直二面角.
(Ⅰ)求顶点B和D之间的距离;
(Ⅱ)现发现BC边上距点C的处有一缺口E,请过点E作一截面,将原三棱锥分割成一个三棱锥和一个棱台两部分,为使截去部分体积最小,如何作法?
请证明你的结论.
17.(本题满分15分)
如图,已知:
椭圆M的中心为O,长轴的两个端点为A、B,右焦点为F,AF=5BF.若椭圆M经过点C,C在AB上的射影为F,且△ABC的面积为5.
(Ⅰ)求椭圆M的方程;
(Ⅱ)已知圆O:
=1,直线=1,试证明:
当点P(m,n)在椭圆M上运动时,直线l与圆O恒相交;并求直线l被圆O截得的弦长的取值范围.
18.(本题满分15分)
各项均为正数的等比数列,a1=1,=16,单调增数列的前n项和为,,且().
(Ⅰ)求数列、的通项公式;
(Ⅱ)令(),求使得的所有n的值,并说明理由.
(Ⅲ)证明中任意三项不可能构成等差数列.
19.(本题满分16分)
由一个小区历年市场行情调查得知,某一种蔬菜在一年12个月内每月销售量(单位:
吨)与上市时间(单位:
月)的关系大致如图
(1)所示的折线表示,销售价格(单位:
元/千克)与上市时间(单位:
月)的大致关系如图
(2)所示的抛物线段表示(为顶点).
(Ⅰ)请分别写出,关于的函数关系式,并求出在这一年内3到6月份的销售额最大的月份?
(Ⅱ)图
(1)中由四条线段所在直线围成的平面区域为,动点在内(包括边界),求的最大值;
(Ⅲ)由(Ⅱ),将动点所满足的条件及所求的最大值由加法运算类比到乘法运算(如类比为),试列出所满足的条件,并求出相应的最大值.
(图1)(图2)
20.(本题满分16分)
如果实数x,y,t满足|x—t|≤|y—t|,则称x比y接近t.
(Ⅰ)设a为实数,若a|a|比a更接近1,求a的取值范围;
(Ⅱ)f(x)=ln,证明:
比更接近0(k∈Z).
数学附加题
(满分40分,考试时间30分钟)
21.【选做题】在A,B,C,D四小题中只能选做2题,每小题10分,共计20分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.选修4—1 几何证明选讲
已知中,,是外接圆劣弧上
的点(不与点重合),延长至.
求证:
的延长线平分.
B.选修4—2 矩阵与变换
已知矩阵,若矩阵A属于特征值1的一个特征向量为α1=,属于特征值5的一个特征向量为α2=.求矩阵A,并写出A的逆矩阵.
C.选修4—4 参数方程与极坐标
已知圆C的参数方程为,若P是圆C与x轴正半轴的交点,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设过点P的圆C的切线为,求直线的极坐标方程.
D.选修4—5 不等式证明选讲
设均为正数,证明:
.
【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
22.已知一口袋中共有4只白球和2只红球
(1)从口袋中一次任取4只球,取到一只白球得1分,取到一只红球得2分,设得分为随机变量X,求X的分布列与数学期望;
(2)从口袋中每次取一球,取后放回,直到连续出现两次白球就停止取球,求6次取球后恰好被停止的概率.
23.在平面直角坐标系中,已知焦点为的抛物线上有两个动点、,且满足,过、两点分别作抛物线的切线,设两切线的交点为M.
(1)求:
的值;
(2)证明:
为定值.
参考答案
一、填空题
1.—1+2.3.真4.1005.6.07.
8.29.10.①③11.(n—1)2+112.13.14.
二、解答题
15.(Ⅰ)∵=—8,∴=—8,
∴=①
∵②
将①代入②得,由,得,
又,∴.
(Ⅱ)
=
==
==,
当,即时,取得最大值,
同时,取得最大值.
16.(Ⅰ)
由已知BO=,OD=在Rt△BOD中,BD=.
(Ⅱ)方案
(一)过E作EF//AC交AB于F,EG//CD,交BD于G,
平面EFG//平面ACD
原三棱锥被分成三棱锥B-EFG和三棱台EFG-CAD两部分,此时.
方案
(二)过E作EP//BD交CD于P,EQ//AB,交AC于Q,同
(一)可证平面EPQ//平面ABD,原三棱锥被分割成三棱锥C-EPQ和三棱台EPQ-BDA两部分,此时,
为使截去部分体积最小,故选用方案
(二).
17.(Ⅰ)由题意设椭圆方程为,半焦距为c,
由AF=5BF,且AF=a+c,BF=a—c,∴a+c=5(a-c),得2a=3c.
(1)由题意CF⊥AB,设点C坐标(c,y),C在M上,代入得∴.由△ABC的面积为5,得,=5.
(2)
解
(1)
(2)得a=3,c=2.∴=9—4=5.∴所求椭圆M的方程为:
.
(Ⅱ)圆O到直线=1距离d=,由点P(m,n)在椭圆M上,则,显然,∴1,>1,∴d=<1,
而圆O的半径为1,直线l与圆O恒相交.
弦长t=2=2,由得,
∴,t=2,,∴,,∴,弦长t的取值范围是[].
18.(Ⅰ)∵=,=4,∵,∴q=2, ∴
∴b3==8.∵+2 ①
当n≥2时,+2②
①-②得即
∵∴=3,∴是公差为3的等差数列.
当n=1时,+2,解得=1或=2,
当=1时,,此时=7,与矛盾;当时,此时此时=8=,∴.
(Ⅱ)∵,∴=,∴=2>1,=>1,=2>1,>1,<1,下面证明当n≥5时,
事实上,当n≥5时,=<0
即,∵<1∴当n≥5时,,
故满足条件的所有n的值为1,2,3,4.
(Ⅲ)假设中存在三项p,q,r(p ∴2aq=ap+ar,即22q—1=2p—1+2r—1.∴2q—p+1=1+2r—p. 因左边为偶数,右边为奇数,矛盾. ∴假设不成立,故不存在任意三项能构成等差数列. 19.解(Ⅰ) . ( 在恒成立,所以函数在上递增 当t=6时,=34.5.∴6月份销售额最大为34500元. (Ⅱ),z=x—5y. 令x—5y=A(x+y)+B(x—y),则, ∴z=x—5y=—2(x+y)+3(x—y).由,, ∴,则(z)max=11. (Ⅲ)类比到乘法有已知,求的最大值.由=()A·()B .∴, ∴,则(z)max=. 20.(Ⅰ)|a|a|—1|≤|a—1|
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