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自动控制复习资料
绪论
自动控制概念
自动控制是指在没有人直接参与的情况下,利用外加的设备或装置(称控制装置或控制器),使机器、设备或生产过程(统称被控对象)的某个工作状态或参数(即被控量)自动地按照预定规律运行。
自动控制理论发展:
自动调节原理——经典控制理论——现代控制理论
自动控制系统
将被控对象和控制装置按照一定的方式连接起来,组成一个有机总体,这就是自动控制系统。
反馈控制原理
在反馈控制系统中,控制装置对被控对象施加的控制作用,是取自被控量的反馈信息,用来不断修正被控量与输入量之间的偏差,从而实现对被控对象进行控制的任务,这就是反馈控制原理。
经典控制理论:
以传递函数模型为基础,研究单输入、单输出、线性定常系统分析设计问题。
现代控制理论:
以状态空间模型为基础,研究多输入、多输出等控制系统的分析设计问题。
反馈控制系统的基本组成:
测量元件、给定元件、比较元件、放大元件、执行元件和校正元件。
校正元件又称补偿元件,它是结构和参数便于调整的元件,用串联或反馈的方式连接在系统中,以改善系统性能。
比较元件:
把测量元件检测的被控量实际值与给定元件给出的输入量进行比较,求出他们之间的偏差。
执行元件:
直接对控制对象进行操作。
反馈控制系统基本组成
自动控制系统的基本控制方式:
反馈控制系统(闭环控制系统)、开环控制系统和复合控制系统。
反馈控制系统是自动控制系统最基本控制系统。
复合控制系统包括偏差控制和扰动控制两种控制方式。
自动控制系统的分类
按系统性能:
①是否具有叠加性分:
线性系统和非线性系统
②是否连续:
连续系统和离散系统
③是否随时间变化:
定常系统和时变系统
④系统输出是否确定:
确定性系统和不确定性系统
按输入量变化规律分:
恒值控制系统(自动调节系统)、随动系统和程序控制系统。
离散系统:
指系统的某处或多处的信号为脉冲序列或数码形式,因而信号在时间上是离散的。
连续信号经过采样开关的采样就可以转换成离散信号。
离散系统用差分方程描述。
非线性控制系统:
系统中只要有一个元部件的输入—输出特性是非线性的,这类系统就称为非线性控制系统。
自动控制系统的基本要求
稳定性、快速性、准确性
如:
随动系统对快速性要求高,调速系统对平稳性和稳态精度要求高。
其中稳定性是保证系统正常工作的先决条件。
线性自动控制系统的稳定性是由系统结构和参数所决定的,与外界因素无关。
快速性,即为系统的动态性能,是由系统达到稳定的调节时间衡量的。
稳态误差是衡量控制系统控制精度的重要标志。
几种典型的外作用(系统输入信号)
阶跃函数、斜坡函数、脉冲函数、正弦函数
控制系统的数学模型
时域常用的数学模型:
微分方程(线性连续系统)、差分方程(离散系统)和状态方程
复数域常用数学模型:
传递函数
频域常用数学模型:
频率特性
一般情况下,解微分方程、差分方程不易,于是将其进行拉普拉斯变换、Z变换
拉普拉斯变换定理
线性性质
微分定理
积分定理
初值定理
终值定理:
延迟定理:
平移定理:
相似定理:
卷积定理:
常见函数拉普拉斯变换
原函数f(t)
象函数F(s)
δ(t)
1
1(t)
1/s
t
1/s2
(1/2)•t2
1/s3
tn-1/(n-1)!
1/sn
e-at
1/(s+a)
cosωt
s/(s2+ω2)
sinωt
ω/(s2+ω2)
e-atcosωt
(s+a)/((s+a)2+ω2)
e-atsinωt
ω2/((s+a)2+ω2)
(1/(n-1)!
)•tn-1e-at
1/(s+a)n
拉普拉斯反变换
利用部分分式展开法(海维赛德展开定理)
运算过程详见课本34—35页。
控制系统的时域数学模型
解微分方程(这不是考点范围,不在叙述)
解微分方程比较麻烦,需进行拉式变换,在复数域上计算。
控制系统的复数域数学模型
用拉式变换法求解线性系统的微分方程时,可以得到控制系统在复数域中的数学模型——传递函数。
传递函数不仅可以表现系统的动态性能,还可以用以研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响。
传递函数是经典控制理论中最基本和最重要的概念。
传递函数定义:
线性定常系统的传递函数,定义在零初始条件下,系统输出量的拉式变换与输入量的拉式变换之比。
即
传递函数性质:
1)复变函数是复变量s的有理真分式函数,具有复变函数所有性质;分子的s的最高幂次小于等于分母的s的最高幂次,且s的系数均为实数。
2)传递函数是一种用系统参数表示输出量与输入量之间关系的表达式,只取决于系统或元件的结构和参数,而与输入量的形式无关,也不反映系统内部的任何信息。
3)传递函数与微分方程有相通性。
4)传递函数G(s)的拉式反变换是脉冲响应g(t)。
传递函数的零点和极点
系统中传递函数零极点分布决定系统的动态性能。
控制系统的结构图(方框图)和信号流图
信号流图符号简单,易于绘制,但不适用于非线性系统。
结构图既适用于线性系统,也适用于非线性系统,且格式统一,因此结构图被广泛使用。
结构图简化规则:
串乘并加(减)
梅森增益公式
梅森增益公式的来源是按克莱姆规则求解线性联立方程式组时,将解得的分子多项式及分母多项式与信号流图(拓扑图)巧妙联系的结果。
其主要作用求解系统的传递函数。
闭环系统的传递函数
N(s)
C(s)
Y(s)
E(s)
R(s)
-/+
B(s)
当反馈为负反馈时:
当反馈为正反馈时:
比较点与引出点移动
比较点与引出点不能互换。
线性系统时域分析法
在经典控制理论中,常用时域分析法、根轨迹法或频域分析法来分析线性控制系统的性能。
控制系统中常用的典型输入信号有:
单位阶跃函数、单位斜坡(速度)函数、单位加速度(抛物线)函数、单位脉冲函数和正弦函数。
其中单位阶跃函数是最典型的输入信号。
为了评价线性系统的时域性能指标,首先需要研究控制系统在典型输入信号作用下的时间响应过程。
一阶系统时间响应
单位阶跃函数性能指标
在典型输入信号作用下,任何一个控制系统的时间响应都由动态过程和稳态过程两部分组成。
动态过程又称为过渡过程或瞬态过程,指系统在典型输入信号作用下,系统输出量从初始状态到最终状态的响应过程。
稳态过程指系统在典型输入信号作用下,当时间t趋于无穷时,系统输出量的表现方式。
动态性能指标:
上升时间tr、峰值时间tp、延迟时间td、调节时间ts和超调量σ%
稳态性能指标:
稳态误差ess
其中用tr和tp评价系统的响应速度;用σ%评价系统的阻尼程度,调节时间ts同时反映响应速度和阻尼程度的综合性能指标。
求一阶系统响应c(t)步骤:
1)根据结构图(方框图)或已知G(s)求出系统的传递函数;
2)将输入信号r(t)进行拉普拉斯变换得到R(s);
3)根据公式C(s)=G(s)•R(s)求出C(s);
4)将C(s)进行拉普拉斯反变换得到系统响应c(t)。
二阶系统时间响应及动态性能分析(快)
凡以二阶微分方程描述运动方程的控制系统,称为二阶系统。
二阶系统传递函数标准形式:
其中ωn为自然频率(或无阻尼振荡频率),ζ为阻尼比(或相对阻尼系数)。
特征方程:
闭环二阶系统分母等于零的方程为
其两个根(闭环极点)为:
由上式知,二阶系统的特征根的性质取决于ζ值的大小。
ζ值的大小也决定了系统阻尼程度。
当ζ值小于0时,称为负阻尼状态,此时系统是不稳定的。
因此ζ=0是系统稳定的临界状态。
当ζ=0时系统处于无阻尼状态,系统响应等幅振荡。
下面分析一下在稳定状态下,二阶系统性质与ζ的关系:
0<ζ<1欠阻尼
ζ=1临界阻尼
ζ>1过阻尼
结论:
在过阻尼和临界阻尼响应曲线中,临界阻尼响应速度最快;在欠阻尼响应曲线中,阻尼比ζ越小,超调量越大,上升时间越短,响应速度越快,若同时保证超调量适度且响应速度快,通常取ζ=0.4—0.8为宜;ζ相同ωn不同时,振荡特性相同,ωn越大,响应速度越快。
因此欠阻尼二阶系统性能最好,下面研究欠阻尼二阶系统的动态性能:
衰减系数σ=ζωn阻尼振荡频率
上升时间tr:
峰值时间tp:
超调量σ%:
超调量仅与阻尼比ζ有关。
调节时间ts:
高阶系统动态性能看主导极点
主导极点:
系统中距离虚轴最近的闭环极点
线性系统稳定性分析(稳)
稳定性是指系统在扰动消失后,由初始偏差状态恢复到原平衡状态的性能。
线性系统稳定的充要条件:
闭环系统的特征方程的所有根均具有负实部,或者说,闭环传递函数的极点均位于左半s平面。
判定系统稳定性的方法:
劳斯判据(代数判定法)
应用劳斯判据,系统稳定的充要条件:
劳斯表第一列各值为正,如果劳斯表第一列中出现小于零的数值,系统就不稳定,且第一列数值符号改变的次数,代表特征方程的正实部根的个数。
两个特例:
1.劳斯表某行第一列项为0,其余项不为0。
2.劳斯表出现全0行。
针对第二个特例,利用全零行的上一行的系数构造辅助方程F(s)=0
求导,得出的系数替换全零行。
劳斯判据解决的问题:
①判断系统稳定性(第一列全为正);②坐标系右半平面极点个数(符号改变次数),系统是不稳定的;③参数范围(稳定性)④振荡频率,系统是临界稳定;⑤稳定程度()。
线性系统稳态误差计算(准)
只有当系统稳定时,研究稳态误差才有意义,因此,首先进行劳斯判据,确定系统稳定。
稳态误差分为原理性稳态误差和附加稳态误差(结构性稳态误差)。
附加稳态误差是无法消除的,它与仪器精度有关。
稳态误差的求解步骤:
1)求出误差系统传函φ(s)=1/(1+G(s)H(s))
2)偏差
3)误差
若系统为单位反馈,则系统误差等于偏差,H(s)=1
4)利用终值定理,稳态误差
5)若系统不能用终值定理,则对误差进行拉式反变换,然后使t趋于无穷大求极限,得出稳态误差。
注:
当求解参数K的取值范围时,将稳态误差得出的结果和利用劳斯判据得出稳定的K的范围取交集。
系统类型
对于给定一个稳定系统,当输入信号形式一定时,系统稳态误差取决于开环传递函数。
系统的型次由分母s的幂次决定的,v=0,称为0型系统,v=1,称为Ⅰ型系统等。
根据上式通用传函计算稳态误差:
根据上式,影响稳态误差的因素:
系统型次、开环增益、输入信号的形式和幅值。
输入信号下的稳态误差
系统型次
静态误差系数
阶跃输入
斜坡输入
加速度输入
Kp
Kv
Ka
位置误差
速度误差
加速度误差
0
K
0
0
∞
∞
Ⅰ
∞
K
0
0
∞
Ⅱ
∞
∞
K
0
0
Ⅲ
∞
∞
∞
0
0
0
由上表知,减小或消除系统稳态误差措施如下:
(1)增大系统开环增益K。
(2)在系统的前向通道或主反馈通道设置串联积分环节,即增大系统的型次,可消除稳态误差。
注意
(1)、
(2)措施实施,必然会降低系统的稳定性,甚至造成系统不稳定,因此当对系统进行误差分析时,权衡系统稳定性、稳态误差和动态性能的关系。
线性系统的根轨迹法(几何判定法)
根轨迹简称根迹,它是开环系统某一参数从零变到无穷时,闭环系统特征方程式的根在s平面上变化的轨迹。
用根轨迹稳定性判定
当根轨迹与虚轴无交点且位于s左半平面,说明开环增益无论为何值,系统总稳定;若系统根轨迹与虚轴有交点,则此交点处的K值,为临界开环增益。
根轨迹绘制法则:
1.根轨迹起点与终点:
根轨迹起点于开环极点,终止于开环零点。
2.根轨迹在实轴上的分布:
在实轴上某区域右边零、极点总个数为奇数,说明这一区域为根轨迹,根据法则1,确定方向。
3.根轨迹的分支数、对称性和连续性:
关于实轴对称,连续,分支数等于零点(m)个数和极点(n)个数最大者。
4.根轨迹渐近线:
条数n-m(n>m)关于实轴对称
与实轴的交角于交点
5.根轨迹的分离点与分离角
L条根轨迹分支相遇,(一般为2条),分离点坐标由
确定,
分离角为:
(2k+1)π/L(一般分离角90°、270°)。
6.根轨迹与虚轴的交点:
根据劳斯判据确定。
7.起始角和终止角
8.根之和
广义根轨迹
在控制系统中,除根轨迹增益K*为变化参数的根轨迹(常规根轨迹)外,其他情形下的根轨迹统称为广义根轨迹。
增加开环零点作用
可以改善系统的稳定性
线性系统的频域分析法
线性定常系统对谐波输入的稳态响应称为频率响应。
频率特性分为幅频特性、相频特性。
其中
称为系统的频率特性。
频率特性物理意义:
稳定系统的频率特性等于输出和输入的傅氏变换之比。
频率特性物理意义:
同频、变幅、移相。
典型环节中最小相系统
比例环节K
微分环节τs
积分环节1/s
一阶微分环节τs+1
惯性环节1/(Ts+1)
二阶微分环节τs+2ξτs+1
振荡环节
其中ωn=1/T
延时环节
频域稳定判据
频域稳定判据的特点是根据开环系统频率特性曲线判定闭环系统稳定性。
辐角原理:
设s平面闭合曲线Γ包围F(s)的Z个零点和P个极点,则s沿Γ顺时针运动一周时,在F(s)平面上,F(s)闭合曲线ΓF包围原点的圈数
R=P-Z
R<0和R>0分别表示ΓF顺时针包围和逆时针包围F(s)平面的原点,R=0表示不包围F(s)平面的原点。
奈奎斯特判据
反馈控制系统稳定的充分必要条件是半闭合曲线ΓGH不穿过(-1,j0)点且逆时针包围临界点(-1,j0)点的圈数R等于开环传递函数的正实部极点数P。
Z=P-R
其中
对数频率稳定判据(伯德稳定判据)
Z=P-2N
频率稳定裕度
频域稳定性能由相角裕度γ和幅值裕度h衡量。
相角裕度γ
设ωc为系统的截止频率(相当于时域的调节时间ts),ωc对应bode图L(ω)=0对应的ω值。
则
相角裕度为:
含义为若对于一个闭环稳定系统,如果系统开环相频特性再滞后γ度,则系统处于临界稳定状态,相当于时域超调量。
幅值裕度h
设ωx为系统的穿越频率,ωx对应bode图φ(ω)=-180°对应的ω值。
则
幅值裕度为:
含义为若对于一个闭环稳定系统,如果系统开环幅频特性再增大h倍,则系统处于临界稳定状态。
频域性能指标之一——频带宽度
当闭环幅频特性下降到频率为零时L(ω)值一下3dB时,对应的频率称为带宽频率ωb。
对高频信号起抑制作用。
反映系统抗干扰能力。
线性系统校正
系统带宽
低频——稳定性
中频——动态性能
高频——抗干扰能力
基本控制规律
比例(P)控制规律
P调节只改变系统的增益不影响其相位。
加大控制器增益Kp,可以提高系统开环增益,减小系统误差,但会降低系统的稳定性,因此比例控制器不能单独使用。
KiKd
比例-微分(PD)控制规律
PD控制器使用,增加系统阻尼程度,改善了系统的稳定性。
使系统的相角裕度得到提高,有助于系统动态性能。
积分(I)控制规律
增加积分控制器,提高系统的型次,系统稳态性能提高了,但积分控制使系统增加一个位于原点的开环极点,使相位产生90°的相角滞后,对系统稳定性是不利的,因此也不宜单独使用积分控制器。
比例-积分(PI)控制规律
比例-积分-微分(PID)控制规律
使用PID控制器,使得系统各项系统得到提高,在低频段提高系统的稳态性能,在中频段,改善系统的动态性能。
无源校正网络
无源超前网络:
无源滞后网络:
无源滞后超前网络:
无源超前网络特点:
①开环增益下降a倍,因此需要提高增益进行补偿。
②当
时,得出最大超前角,为
,此时对应的幅值L(ω)为
,等于最大幅值20lga的一半。
无源滞后网络特点:
①同理,当
时,得到最大滞后角,为
,此时对应幅值为
,等于最大幅值的一半。
②滞后网络对低频信号不产生衰减,而对高频噪声信号有削弱作用,b值越小,通过网络的噪声电压越低。
③采用该网络进行校正时,主要利用其高频幅值衰减的特性,以降低系统开环截止频率,提高系统的相角裕度。
无源滞后超前网络的特性:
首先是对系统滞后校正,然后进行超前校正,这是因为
。
即
也等价于
。
串联校正
串联超前校正
是利用超前网络或PD控制器进行串联校正的基本原理,是利用超前网络或PD控制器的相角超前特征。
串联超前校正使得开环系统截止频率增大,从而使闭环系统带宽也增加,使得响应速度加快。
串联超前校正局限:
1)对相角裕度要求过分大且原系统相角裕度很小时;
2)对带宽的要求,有时为了提供很大的相角超前量时,需要很大的a值,造成系统带块过大,对高频噪声系统衰减能力下降,有可能是系统失控。
串联滞后校正
是利用滞后网络或PI控制器进行串联校正的基本原理,利用滞后网络或PI控制器高频幅值衰减特征,使已校正系统的截止频率下降,从而使系统获得足够的相角裕度。
串联滞后校正能提高系统的稳态精度。
串联滞后超前校正
当待校正系统不稳定时,且要求校正后系统响应速度、相角裕度和稳态精度较高时,宜采用串联滞后超前校正。
线性离散系统
把系统中的离散信号是脉冲序列形式的离散系统,称为采样控制系统或脉冲控制系统。
输入与输出关系不随时间而改变的线性离散系统,称为线性定常离散系统。
离散控制系统特点:
1)校正装置比连续式校正好;
2)能有效抑制噪音;
3)可采用高灵敏度控制元件,精度得到了提高;
4)可一台计算机控制若干系统,提高了设备利用率;
5)具有传输延迟。
采样信号表达式:
香农采样定理
如果采样器的输入信号e(t)具有有限带宽,并且有直到ωh的频率分量,则使信号e(t)完满地从采样信号e*(t)中恢复过来的采样周期T,满足下列条件:
或ωs≥2ωh其中ωs为采样角频率。
零阶保持器
在用数字计算机进行离散系统信息处理时,把数字信号转换成连续信号的转换装置叫做保持器。
零阶保持器传递函数:
零阶保持器特点:
①低通特性;②相角滞后特性③时间滞后特性。
零阶保持器不影响离散系统脉冲传递函数的极点。
Z变换(采样拉式变换)
求z变换的方法:
1级数求和法2部分分式法
拉式变换E(s)
时间函数e(t)
Z变换E(z)
1
δ(t)
1
1/s
1(t)
1/s2
t
1/s3
(1/2)t2
1/(s+a)
e-at
s/(s2+ω2)
cosωt
ω/(s2+ω2)
sinωt
Z变换性质
线性定理
实数位移定理
复数位移定理
终值定理:
卷积定理:
时域卷积对应z域相乘。
Z的反变换
部分分式法
幂级数法(综合除法)
离散系统的稳定性与稳态误差
稳定充要条件:
当且仅当离散特征方程的全部特征根均分布在z平面上的单位圆内,或者所有特征根的模均小于1,即|zi|<1(i=1,2,),相应的线性定常离散系统是稳定的。
离散系统的稳定性分析步骤:
1)求闭环脉冲传函Φ(z),写出特征方程D(z)
2)双线性变换令z=(ω+1)/(ω-1)
3)劳斯判据
例题见课本277页。
求解离散系统的稳态误差性步骤:
1)求离散系统的误差脉冲传函Φe(z)=1/(1+G(z));
2)稳态误差
3)终值定理:
4)劳斯判据
系统类型
位置误差
r(t)=1(t)
速度误差
r(t)=t
加速度误差
r(t)=1/2t2
0型
∞
∞
Ⅰ型
0
∞
Ⅱ型
0
0
Ⅲ型
0
0
0
非线性控制系统
几种典型非线性系统特征:
饱和特性、死区特性、间隙特性、继电特性、摩擦特性
非线性系统的特征:
⑴不满足叠加原理(叠加性是判断系统线性性的本质)
⑵稳定性分析复杂
非线性系统的稳定性与线性系统不同,它除了与系统本身的结构和参数有关,还与初始条件有关。
⑶可能存在自激振荡现象
自激振荡是指没有外界周期变化信号的作用时,系统内产生的具有固定振幅和频率的稳定周期运动,简称自振。
⑷频率响应发生畸形
描述函数法
1940年达尼尔提出。
描述函数法主要用来分析无外作用情况下,非线性系统的稳定性和自振荡问题。
是一种对系统稳定性的近似分析方法。
另外,描述函数法只能用来研究系统的频率响应特性,不能计算出时间响应信息。
定义正弦输入信号作用下,非线性环节的稳态输出中一次谐波分量和输入信号的复数比为非线性环节的描述函数,用N(A)表示:
描述函数的应用范围:
1)非线性系统应能化简为一个非线性环节和一个线性部分闭环连接的典型结构形式;
2)非线性环节的输入输出特性y(x)应是x的奇函数。
3)系统的线性部分应具有较好的低通滤波性能。
描述函数的物理意义:
描述函数表现为关于输入正弦信号的幅值A的复变增益放大器。
非线性系统稳定判据(第一稳定判据):
若ΓG曲线不包围-1/N(A)曲线,则非线性系统稳定;若ΓG曲线包围-1/N(A)曲线,则非线性系统不稳定;
周期运动稳定判据(第二稳定判据):
若ΓG曲线和-1/N(A)曲线的交点处,若-1/N(A)曲线沿着振幅A增加的方向由不稳定区域进入稳定区域时,该交点对应的周期运动是稳定的。
反之,若-1/N(A)曲线沿着振幅A增加的方向由稳定区域进入不稳定区域时,该交点对应的周期运动是不稳定的。
非线性系统稳定步骤:
1)应用描述函数法,求出系统闭环系统的特征方程:
得出:
称为负倒描述函数。
2)在复平面上画出ΓG曲线和负倒描述函数曲线,标出负倒函数曲线方向(随A增大方向);
3)判断是否存在周期运动,若不,用第一稳定判据判定系统稳定性;若存在周期运动,用第二稳定判据,同时用下面方程组求出振荡频率ω和幅值A。
例题见311页例8.4
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