直线与平面位置关系典型例题.docx

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直线与平面位置关系典型例题

典型例

例1简述下列问题的结论，并画图说明：

（1）直线"U平面a,直线b^\a=A,则b和&的位置关系如何？

（2）直线aua,直线b//a,则直线b和&的位置关系如何？

分析：

（1）由图

（1）可知：

bua或bDa=A：

（2）由图

（2）可知：

blla或方ua.

说明:

此题是考查直线与平而位置关系的例题，要注意各种位置关系的画法与表示方法.

典型例题二

例2P是平行四边形ABCD所在平而外一点，。

是P4的中点，求证：

PC//平而

BDQ.

分析：

要证明平而外的一条直线和该平而平行，只要在该平而内找到一条直线和己知直线平行就可以了.

C

证明：

如图所示，连结AC.交BD于点0,

•・•四边形ABCD是平行四边形

:

.AO=CO,连结O0,则OQ在平而BDQ内,

且O0是A4PC的中位线，

•••PCHOQ・

•••PC在平WiBDQ外,

•••PC//平面BDQ・

说明：

应用线而平行的判左左理证明线而平行时，关键是在平而内找一条直线与已知直线平行，怎样找这一直线呢？

由于两条直线首先要保证共而，因此常常设法过已知直线作一平而与已知平而相交，如果能证明已知直线和交线平行，那么就能够马上得到结论.这一个证明线而平行的步骤可以总结为：

过直线作平而，得交线，若线线平行，则线而平行.

典型例题三

例3经过两条异而直线"，b之外的一点P,可以作几个平面都与"，b平行？

并证明你的结论.

分析：

可考虑P点的不同位置分两种情况讨论.

解：

（1）当P点所在位置使得“，P（或b,P）本身确定的平而平行于b（或a）时，过P点再作不出与”，〃都平行的平而；

（2）当P点所在位置"，P（或b,P）本身确定的平面与b（或“）不平行时，可过点P作a/la',b'Hb.由于"，〃异而，则a',//不重合且相交于P.由于a'D//=P,a',//确泄的平而a,则由线而平行判定定理知：

alia.b//a.可作一个平而都与“，"平行.

故应作“0个或1个”平面.

说明：

本题解答容易忽视对P点的不同位置的讨论，漏掉第

（1）种情况而得出可作一个平而的错误结论.可见，考虑问题必须全而，应区别不同情形分別进行分类讨论.

典型例题四

例4平而外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，那么另一条直线也平行于这个

平面.

已知：

直线a//b,all平面a,bua.

求证：

h//a・

证明：

如图所示，过"及平而a内一点A作平面0.

设ap|0=c,

/.allc・

又•・•（〃"，

:

、bl/c.

•:

bua、cua,

•Iblla・

说明：

根据判左左理，只要在&内找一条直线c//b,根拯条件alia,为了利用直线和平而平行的性质泄理，可以过"作平而0与a相交，我们常把平而0称为辅助平面，它可以起到桥梁作用，把空间问题向平而问题转化.

和平而几何中添置辅助线一样，在构造辅助平而时，首先要确认这个平而是存在的，例如，本例中就是以“直线及直线外一点确定一个平面”为依据来做出辅助平而的.

典型例题五

例5已知四而体S-ABC的所有棱长均为〃・求：

（1）异面直线SC、A3的公垂线段£尸及£尸的长;

（2）异面直线EF和£4所成的角.

A3的公垂线段，进而求出苴距

分析：

依异而直线的公垂线的概念求作异面直线SC、离：

对于异而直线所成的角可采取平移构造法求解.

解：

（1）如图，分别取SC、的中点£•、F,连结SF、CF.

由已知，得^SAB^ACAB.

:

.SF=CF,E是SC的中点，

:

.EF丄SC.

同理可证£F丄AB

AEF是SC、AB的公垂线段.

在Rt/^SEF中，SF=—c

2

•••EF=>1SF2-SE1

/3.1,、/1

y\—cr--a^=——a.

\'442

（2）取AC的中点G,连结EG,则EGUSA.

.・.EF和GE所成的锐角或直角就是异面直线EF和SA所成的角.

11/o

连结FG>在RtSEFG中，EG=—a,GF=—a,EF=-—a.

2

2

2

由余弦定理，

得

122

1•>

cosZGEF=

EG2+EF2-GF2_4a+亍

r——cr

4

V2

・——a

2EGEFc1

2--a

2

2

2

:

.ZGEF=45°.

故异而直线EF和S4所成的角为45°・

说明：

对于立体几何问题要注意转化为平面问题来解决，同时要将转化过程简要地写岀来，然后再求值.

典型例题六

例6如果一条直线与一个平而平行，那么过这个平而内的一点且与这条直线平行的直线必在这个平面内.

已知：

直线allB已a,3eb,blla.

求证：

bua・

分析：

由于过点B与"平行的直线是惟一存在的，因此，本题就是要证明，在平面&夕卜,不存在过B与〃平行的直线，这是否是性命题，所以使用反证法.

证明：

如图所示，设bua、过直线〃和点3作平而0,且0C\a=b‘.

Talia.:

.bHa・

这样过B点就有两条直线b和方同时平行于直线"，与平行公理矛盾.必在a内.

说明：

（1）本例的结论可以直接作为证明问题的依据.

（2）本例还可以用同一法来证明，只要改变一下叙述方式.

如上图，过直线〃及点3作平面0,设flC\a=b••:

alloCla•

这样，巧与方都是过B点平行于“的直线，根据平行公理，这样的直线只有一条,

；•b与b重合.•:

bua,：

•bua・

典型例题七

例7下列命题正确的个数是（）.

（1）若直线/上有无数个点不在平而a内，贝IJ///6?

；

（2）若直线/平行于平而&内的无数条直线，贝叽〃a；

（3）若直线/与平而a平行，贝H与平面a内的任一直线平行：

（4）若直线/在平而a夕卜，贝

A.0个B.1个C.2个D.3个

分析：

本题考查的是空间直线与平而的位宜关系.对三种位置关系左义的准确理解是解本题的关键.要注意宜线和平而的位豊关系除了按照直线和平而公共点的个数来分类，还可以按照直线是否在平面内来分类.

解：

（1）直线/上有无数个点不在平而a内，并没有说明是所在点都不在平而&内，因而直线可能与平而平行亦有可能与直线相交.解题时要注意“无数”并非“所有”.

（2）直线/虽与&内无数条直线平行，但/有可能在平面Q内，所以直线/不一泄平行（3）这是初学直线与平面平行的性质时常见错误，借助教具我们很容易看到.当〃/a时，若mua且mill＞则在平而a内，除了与加平行的直线以外的每一条直线与/都是异而直线.（4）直线/在平而a外，应包括两种情况：

〃/a和/与a相交，所以/与&不一定平行.

故选A.

说明：

如果题中判断两条直线与一平而之间的位置关系，解题时更要注意分类要完整,考虑要全而.如直线/、加都平行于a,贝M与加的位宜关系可能平行，可能相交也有可能异面：

再如直线Il/m.〃/a,则加与&的位置关系可能是平行，可能是加在&内.

典型例题八

例8如图，求证：

两条平行线中的一条和已知平而相交，则列一条也与该平面相交.

已知：

直线o//b，aCl半面a=求证：

直线b与平而a相交.

分析：

利用a//b转化为平而问题来解决，由a//b可确泄一辅助平而0,这样可以把题中相关元素集中使用，既创造了新的线而关系，又将三维降至二维，使得平几知识能够运用.

解：

•:

allb,

a和D可确定平面0.

•:

aHa=P,

・•・平而a和平而0相交于过点P的直线/.

•.•在平面0内/与两条平行直线"、“中一条直线"相交，

••・/必泄与直线b也相交，不妨设/?

Cl/=Q，又因为〃不在平而a内（若方在平而&内，

则&和0都过相交直线b和/,因此a与0重合，"在a内，和已知矛盾）.

所以直线方和平而a相交.

说明：

证明直线和平而相交的常用方法有：

证明直线和平面只有一个公共点：

否泄直线在平而内以及直线和平面平行：

用此结论：

一条直线如果经过平而内一点，又经过平而外一点，则此直线必与平而相交（此结论可用反证法证明）.

典型例题九例9如图，求证：

经过两条异而直线中的一条，有且仅有一个平而与另一条宜线平行.已知：

"与〃是异而直线.求证：

过方且与"平行的平而有且只有一个.

分析:

本题考查存在性与唯一性命题的证明方法.解题时要理解“有且只有”的含义.“有”就是要证明过直线“存在一个平而&,且alia.“只有”就是要证满足这样条件的平而是唯一的.存在性常用构造法找出（或作岀）平面，唯一性常借助于反证法或其它唯一性的结论.

证明：

（1）在直线b上任取一点A,由点A和直线"可确泄平面0.

在平而0内过点A作直线a,使aHa.则a和b为两相交直线，

所以过a和b可确泄一平而&.

'：

bua,"与b为异而直线，

:

.a^za.

又*.*alla,aua,

alla.

故经过方存在一个平面&与"平行.

（2）如果平而了也是经过方且与"平行的另一个平而，

由上而的推导过程可知了也是经过相交直线方和“的.

由经过两相交直线有且仅有一个平而的性质可知，平而Q与尸重合，

即满足条件的平面是唯一的.

说明：

对于两异而直线“和b,过方存在一平而&且与"平行，同样过“也存在一平而0且与b平行.而且这两个平面也是平行的（以后可证）.对于异而直线"和b的距离，也可转化为直线"到平而a的距离，这也是求异而直线的距离的一种方法.

典型例题十

例10如图，求证：

如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行.

已知：

aA/7=/,alia、all卩、求证：

aHl.

分析：

本题考查综合运用线而平行的判泄左理和性质眾理的能力.利用线而平行的性质定理，可以先证明直线“分別和两平而的某些直线平行，即线而平行可得线线平行.然后再用线而平行的判左立理和性质左理来证明U与/平行.

证明：

在平而a内取点P,使过P和直线“作平而了交a于b・

Vallauy,y[}a=b♦

/.a!

/b・

同理过"作平而/交0于C.

Vallp.au5，5D0=c,

/.allc・

:

.b//c.

•:

by卩、cu卩、

:

.bllP・

又•:

bua,aC\J3=l,

・•.bill.

丈：

allb,

:

.allI.

另证：

如图，在直线/上取点M,

过M点和直线a作平而和&相交于直线厶，和P相交于直线厶・

—//a,Aa//lx,

•:

all卩、:

.a//l2,

但过一点只能作一条宜线与另一直线平行.

•••直线厶和?

2重合.

又•：

l、ua,厶u0,

・•・直线人、厶都重合于直线/，

/.«///.

说明；“线线平行”与“线面平行”在一泄条件下是可以相互转化的，这种转化的思想在立体几何中非常重要.

典型例题十一

例11正方形ABCD与正方形ABEF所在平而相交于AB,在AE.3D上各取一点P、Q,且AP=DQ.求证：

PQ〃面BCE.

分析：

要证线面平行，可以根据判立定理，转化为证明线线平行.关键是在平而中如何找一直线与P0平行.可考察过PQ的平面与平而BCE■的交线，这样的平而位宜不同，所找的交线也不同.

证明一：

如图，在平面ABEF内过P作PM//AB交3£于必，

在平而ABCD内过。

作QN//AB交.BC于N,连结MTV.

ABAE

又•・•QNIIABHCD,

・・・雪=陛,即勢县.

DCBDABBD

•・•正方形ABEF与ABCD有公共边AB,

:

、AE=DB.

•:

AP=DQ,:

.PE=BQ.

:

.PM=QN.

又•:

PMIIAB、QN//AB,

:

.PMIIQN.

・•・四边形PQNM为平行四边形.

•••PQUMN・

又•:

MNu面BCE、

:

.P0〃面BCE・

证明二：

如图，连结40并延长交3C于S,连结ES・

•••BS//AD.

•AQ=DQ

•茹一莎

又V正方形ABEF与正方形ABCD有公共边AB,

•••AE=DB,

-AP=DQ,:

.PE=QB.

•••PQHES.

又•・•ESu而BEC,

.•・P0〃面BEC.

说明：

从本题中我们可以看出，证线而平行的根本问题是要在平而内找一直线与已知直线平行，此时常用中位线立理、成比例线段、射影法、平行移动、补形等方法，具体用何种方法要视条件而左.此题中我们可以把“两个有公共边的正方形”这一条件改为“两个全等的矩形”，那么题中的结论是否仍然成立？

典型例题十二

例12三个平而两两相交于三条交线，证明这三条交线或平行、或相交于一点.

已知：

a^\p=a,pC\y=b,yC\a=c・

求证：

a、b、c互相平行或相交于一点.

分析：

本题考查的是空间三直线的位置关系，我们可以先从熟悉的两条交线的位置关系入手，根据共面的两条直线平行或相交来推论三条交线的位置关系.

证明:

aC\J3=a9pC\y=b,

•••"与方平行或相交.

①若a〃b,如图

•:

buy,ay:

.ally・

又V/Aa=c,“ua,a//c.

:

.allbile・

②若"与〃相交，如图，设aC\b=O.

•：

OmOwb・

又Va=aC\P,b=p^\y.

：

.OayOey

又TaA/=c,：

•O已c・

・°•直线a、b、c交于同一点O.

说明：

这一结论常用于求一个几何体的截而与各而交线问题，如正方体ABCD中，

M、N分别是CC「Ad的中点，画出点D、M、N的平面与正方体各面的交线，并

说明截而多边形是几边形？

典型例题十三

例13已知空间四边形ABCD,AB^AC,AE是^ABC的BC边上的髙，DF是MCD的3C边上的中线，求证：

AE和DF是异而直线.

证法一：

（左理法）如图

由题设条件可知点E、F不重合，设/XBCZ）所在平而a・

DFua

A^a

•••<=>AE和DF是异面直线.

Eea

E亡DF

证法二：

（反证法）

若AE和DF不是异面直线，则AE和DF共面，设过4E、DF的平而为0.

（1）若E、F重合，则E是8C的中点，这与题设AB^AC相矛盾.

（2）若E、F不重合，

•:

BeEF,CwEF,EFu/3,:

.BCu0.

'：

A已卩、D已0、

・・・A、B、C、£>四点共而，这与题设ABCD是空间四边形相矛盾.综上，假设不成立.

故AE和DF是异而直线.

说明：

反证法不仅应用于有关数学问题的证明，在苴他方面也有广泛的应用.

首先看一个有趣的实际问题：

“三十六口缸，九条船来装，只准装单，不准装双，你说怎么装？

”

对于这个问题，同学们可试验做一做.

也许你在试验几次后却无法成功时，觉得这种装法的可能性是不存在的.那么你怎样才能淸楚地从理论上解释这种装法是不可能呢？

用反证法可以轻易地解决这个问题.假设这种装法是可行的，每条船装缸数为单数，则9个单数之和仍为单数，与36这个双数矛盾.只须两句话就解决了这个问题.

典型例题十四

例14已知AB、BC、CQ是不在同一平而内的三条线段，E、F、G分别是43、BC、CD的中点，求证：

平而EFG和AC平行，也和平行.

分析：

欲证明AC//平而EFG,根据直线和平而平等的判圧泄理只须证明AC平行平而EFG内的一条直线.由图可知，只须证明AC//EF・

证明：

如图，连结AE.EG、EF、GF•

在MBC中，E、F分别是A3、BC的中点.

/.AC//EF・于是AC//平而EFG・

同理可证，BDH平WiEFG.

说明：

到目前为止，判泄直线和平而平行有以下两种方法：

（1）根据直线和平而平行泄义：

（2）根据直线和平而平行的判左左理.

典型例题十五

例15已知空间四边形ABCD,P、0分别是AABC和MCQ的重心，

求证：

分析：

欲证线而平行，须证线线平行，即要证明P0与平而ACD中的某条直线平行,根据条件，此直线为AD,如图.

证明：

取BC的中点E.

TP是A4BC的重心，连结AE,

则AE：

PE=3：

1,连结QE,

•••0为山仞的重心，

.・.DE：

QE=3：

\,

•••在MED中，PQ//AD.

又人£＞匸平面40,P00平面ACD,

.・.PQH^ACD.

说明：

（1）本例中构造直线人£＞与PQ平行，是充分借助于题目的条件：

P、0分别是A4BC和期匚。

的重心，借助于比例的性质证明PQ//AD，该种方法经常使用，望注意把握.

（2）“欲证线而平行，只须证线线平行”.判左圧理给我们提供了一种证明线而平等的方法.根据问题具体情况要熟练运用.

典型例题十六

例16正方体ABCD-A^QD.中，E、G分别是BC、的中点如下图・

求证：

EG//平面BBQ\D・

D\GC

A

分析：

要证明EG//平面BBXD,D，根拯线而平等的判定立理，需要在平而BB、D\D内找到与EG平行的直线，要充分借助于£、G为中点这一条件.

证明：

取BD的中点F,连结£F、QF.

TE为BC的中点，

AEF为MCQ的中位线，则EF//DC,且EF=-CD・

2

•••G为G9的中点，

•••DfiUCD且=

2

:

.EFUDfi且EF=DQ,

•••四边形EFDfi为平行四边形，

・•・D、F〃EG,而Dfu平面BDD\B\,EGcz平面BDD&,

:

.EG〃平面BOD".

典型例题十七

例17如果直线“〃平面那么直线"与平面a内的（）.

A.一条直线不相交B.两条相交直线不相交

C.无数条直线不相交D.任意一条直线都不相交

解：

根据直线和平面平行泄义，易知排除A、B.对于C,无数条直线可能是一组平行线，也可能是共点线，・・.c也不正确，应排除C.

与平而a内任意一条直线都不相交，才能保证直线"与平而a平行，・・.D正确.

•••应选D.

说明：

本题主要考査直线与平面平行的泄义.

典型例题十八

例18分别和两条异而直线平行的两条直线的位宜关系是（）・

A・一建平行

C.一楚异而

B・一定相交

D.相交或异而

（甲）

解：

如图中的甲图，分别与异而直线"、

（乙）

b平行的两条直线c、d是相交关系:

如图中的乙图，分別与异而直线"、b平行的两条直线C、〃是相交关系.综上，可知应选D.

说明：

本题主要考查有关平面、线而平行等基础知识以及空间想象能力.

典型例题十九

例19「b是两条异面直线，下列结论正确的是（）.

A.过不在a、b上的任一点，可作一个平面与a.b平行

B.过不在“、方上的任一点，可作一个直线与“、b相交

C.过不在a、b上的任一点，可作一个直线与“、b都平行

D.过"可以并且只可以作一平面与b平行

解：

A错，若点与"所确圧的平而与方平行时，就不能使这个平而与a平行了.B错，若点与"所确定的平而与b平等时，就不能作一条直线与d,h相交.

C错，假如这样的直线存在，根据公理4就可有allb,这与"，“异面矛盾.D正确，在"上任取一点A,过A点做直线d/b,

则c与"确圧一个平而与方平行，这个平而是惟一的.

・•・应选D.

说明：

本题主要考査异而直线、线线平行、线而平行等基本概念.

典型例题二十

例20

（1）直线“〃b,a〃平面a,则b与平面q的位宜关系是.

（2）A是两异而直线"、〃外的一点，过4最多可作个平而同时与“、b

平行.

解：

（1）当直线b在平而a外时，b//a；当直线b在平面a内时，bua.

.°・应填：

blla或方ua.

（2）因为过A点分别作"，〃的平行线只能作一条，

（分别称"，〃）经过a,Z/的平而也是惟一的.所以只能作一个平而；

还有不能作的可能，当这个平面经过"或&时，这个平而就不满足条件了.

・•・应填：

1.

说明：

考虑问题要全面，各种可能性都要想到，是解答本题的关键.

典型例题二卄

例21如图，alia.A是&的另一侧的点，，线段AB.AC.AD交a

解「：

alia、EG=aC|平面ABD.

:

.allEG.即BD//EG.

EFFGAFEF+FGEGAF

•___

•荒一莎一疋一BC+CD一而一AF+FC

则EG=

AFBD_5x4_20

AF+FC"5+4~T

•••应填:

20

T

说明：

本题是一道综合题，考查知识主要有：

直线与平而平行性质泄理、相似三角形、比例性质等.同时也考查了综合运用知识，分析和解决问题的能力.