中考数学压轴题专题 动点问题.docx

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中考数学压轴题专题动点问题

2012 年全国中考数学（续 61 套）压轴题分类解析汇编

专题 01：

动点问题

25. （2012 吉林长春 10 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=4cm，

D、E 分别为边 AB、BC 的中点，连结 DE，点 P 从点 A 出发，沿折线 AD－DE－EB 运

动，到点 B 停止．点 P 在 AD 上以cm/s 的速度运动，在折线 DE－EB 上以 1cm/s

的速度运动．当点 P 与点 A 不重合时，过点 P 作

PQ⊥AC 于点 Q，以 PQ 为边作正方形 PQMN，使点 M 落在线段 AC 上．设点 P 的运动

时间为 t（s）.

（1）当点 P 在线段 DE 上运动时，线段 DP 的长为______cm,（用含 t 的代数式表

示）．

（2）当点 N 落在 AB 边上时，求 t 的值．

（3）当正方形 PQMN 与△ABC 重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为 S（cm2），

求 S 与 t 的函数关系式．

（4）连结 CD．当点 N 于点 D 重合时，有一点 H 从点 M 出发，在线段 MN 上以 s 的

速度沿 M-N-M 连续做往返运动，直至点 P 与点 E 重合时，点 H 停止往返运动；当

点 P 在线段 EB 上运动时，点 H 始终在线段 MN 的中心处．直接写出在点 P 的整个

运动过程中，点 H 落在线段 CD 上时 t 的取值范围．

【答案】解：

（1）t－2。

（2）当点 N 落在 AB 边上时，有两种情况：

①如图

（2）a，当点 N 与点 D 重合时，此时点 P 在 DE 上，DP=2=EC，

即 t－2=2，t=4。

②如图

（2）b，此时点 P 位于线段 EB 上．

∵DE=1 2 AC=4，∴点 P 在 DE 段的运动时间为 4s，

∴PE=t-6，∴PB=BE-PE=8-t，PC=PE+CE=t-4。

∵PN∥AC ， ∴△BNP∽△BAC 。

 ∴PN ：

 AC = PB ：

 BC=2 ，

∴PN=2PB=16-2t。

由 PN=PC，得 16-2t=t-4，解得 t= 20 。

3

综上所述，当点 N 落在 AB 边上时，t=4 或 t= 20 。

3

（3）当正方形 PQMN 与△ABC 重叠部分图形为五边形时，有两种情况：

①当 2＜t＜4 时，如图（3）a 所示。

DP=t-2，PQ=2，∴CQ=PE=DE-DP=4-（t-2）=6-t，AQ=AC-CQ=2+t，

AM=AQ-MQ=t。

∵MN∥BC，∴△AFM∽△ABC。

∴FM：

BC = AM：

AC=1：

2，即 FM：

AM=BC：

AC=1：

2。

∴FM= 1 AM= 1 t．

22

1

2

1

2

AM ⋅ FM

1111

2224

②当 20 ＜t＜8 时，如图（3）b 所示。

3

PE=t-6，∴PC=CM=PE+CE=t-4，AM=AC-CM=12-t，PB=BE-PE=8-t，

∴FM= 1 AM=6- 1 t，PG=2PB=16-2t，

22

11

22

= 1 （12 - t）（ - 15 t 2 + 22t - 84 。

2224

⎧ 1 2

综上所述，S 与 t 的关系式为：

 S = ⎨。

20

⎪ 43

 梯形AQPD - S

（4）在点 P 的整个运动过程中，点 H 落在线段 CD 上时 t 的取值范

围是：

t= 14 或 t=5 或

3

6≤t≤8。

【考点】 动点问题上，相似形综合题，勾股定理，相似三角形的判定和性质，梯

形和三角形的面积。

【分析】

（1）∵在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=4cm，∴由勾股定理得

AB= 4 5 cm。

∵D 为边 AB 的中点，∴AD= 2 5 cm。

又∵点 P 在 AD 上以 5 cm/s 的速度运动，∴点 P 在 AD 上运动的时

间为 2s。

∴当点 P 在线段 DE 上运动时，在线段 DP 上的运动的时间为 t－2s。

又∵点 P 在 DE 上以 1cm/s 的速度运动，∴线段 DP 的长为 t－2 cm。

（2）当点 N 落在 AB 边上时，有两种情况，如图

（2）所示，利用运动线

段之间的数量关系求出时间 t 的值。

（3）当正方形 PQMN 与△ABC 重叠部分图形为五边形时，有两种情况，如

图（3）所示，分别用时间 t 表示各相关运动线段的长度，然后利用 S = S

∆AMF

求出面积 S 的表达式。

（4）本问涉及双点的运动，首先需要正确理解题意，然后弄清点 H、点

P 的运动过程：

依题意，点 H 与点 P 的运动分为两个阶段，如下图所示：

①当 4＜t＜6 时，此时点 P 在线段 DE 上运动，如图（4）a 所示。

此阶段点 P 运动时间为 2s，因此点 H 运动距离为×2=5cm，而 MN=2，

则此阶段中，点 H 将有两次机会落在线段 CD 上：

第一次：

此时点 H 由 M→H 运动时间为（t－4）s，运动距离 MH=（t

－4），

∴NH=2－MH=12－。

又 DP=t-2，DN=DP－2=t－4，

由 DN=2NH 得到：

t－4=2（12－），解得 t= 14 。

3

第二次：

此时点 H 由 N→H 运动时间为 t－4－ 2 =（t－）s，运动距

2.5

离 NH=（t－）=－12，

又 DP=t-2，DN=DP－2=t－4，

由 DN=2NH 得到：

t－4=2（－12），解得 t=5。

②当 6≤t≤8 时，此时点 P 在线段 EB 上运动，如图（4）b 所示。

由图可知，在此阶段，始终有MH= 1 MC，即 MN 与 CD 的交点始终为线

2

段 MN 的中点，即点 H。

综上所述，在点 P 的整个运动过程中，点 H 落在线段 CD 上时 t 的取

值范围是：

t= 14 或 t=5 或 6≤t≤8。

3

26. （2012 黑龙江哈尔滨 10 分）如图，在平面直角坐标系中，点 0 为坐标原点，

直线 y=2x+4 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，四边形 ABCO 是平行四边形，直线 y=

－x+m 经过点 C，交 x 轴于点 D．

（1）求 m 的值；

（2）点 P（0，t）是线段 OB 上的一个动点（点 P 不与 0，B 两点重合），过点 P 作 x

轴的平行线，分别交 AB，0c，DC 于点 E，F，G．设线段 EG 的长为 d，求 d 与 t 之

间的函数关系式 （直接写出自变量 t 的取值范围）； （3）在

（2）的条件下，点 H

是线段 OB 上一点，连接 BG 交 OC 于点 M，当以 OG 为直径的圆经过点 M 时，恰好使

∠BFH=∠ABO．求此时 t 的值及点 H 的坐标．

【答案】解：

（1）如图，过点 C 作 CK⊥x 轴于 K，

∵y=2x+4 交 x 轴和 y 轴于 A，B，

∴A（－2，0）B（0，4）。

∴OA=2，OB=4。

∵ 四 边 形 ABCO 是 平 行 四 边 形 ，

∴BC=OA=2 。

又∵四边形 BOKC 是矩形，

∴OK=BC=2，CK=OB=4。

∴C（2，4）。

将 C（2，4）代入 y=－x+m 得，4=－2+m，解

得 m=6。

（2）如图，延长 DC 交 y 轴于 N，分别过点 E，G 作

x 轴的垂线 垂足分别是 R，Q，则四边形 ERQG、四边形 POQG、四边形 EROP 是矩形。

∴ER=PO=CQ=1。

∵ tan∠BAO = ER = OB ，即 t = 4 ，∴AR= 1 t。

AROAAR22

∵y=－x+6 交 x 轴和 y 轴于 D，N，∴OD=ON=6。

∴∠ODN=45°。

∵ tan∠ODN = GQ ，∴DQ=t。

QD

又∵AD=AO+OD=2+6=8，∴EG=RQ=8－ 1 t－t=8－ 3 t。

22

∴d=－ 3 t+8（0＜t＜4）。

2

（3）如图，∵四边形 ABCO 是平行四边

形，

∴AB∥OC。

∴∠ABO=∠BOC。

∵BP=4－t，

∴ tan∠ABO = EP = tan∠BOC = 1 。

BP2

∴EP= 4 - t 。

2

由

（2）d=－ 3 t+8，∴PG=d－EP=6－t。

2

∵以 OG 为直径的圆经过点 M，∴∠OMG=90°，∠MFG=∠PFO。

∴∠BGP=∠BOC。

∴ tan∠BGP = BP = tan∠BOC = 1 。

∴ 4 - t = 1 ，解得 t=2。

PG26 - t2

∵∠BFH=∠ABO=∠BOC，∠OBF=∠FBH，∴△BHF∽△BFO。

∴ BH = BF ，即 BF2=BHBO。

BFBO

∵OP=2，∴PF=1，BP=2。

∴ BF = BP2 + PF2 = 5 。

∴ （

5

） =BH×4。

∴BH= 5 。

∴HO=4－ 5 = 11 。

4 4  4

∴H（0， 11 ）。

4

【考点】 一次函数综合题，直线上点的坐标与方程的关系，平行四边形和矩形的

性质，平行的性质，锐角三角函数定义，勾股定理，圆周角定理，相似三角形的

判定和性质。

【分析】

（1）根据直线 y=2x+4 求出点 A、B 的坐标，从而得到 OA、OB 的长度，再

根据平行四边形的对边相等求出 BC 的长度，过点 C 作 CK⊥x 轴于 K，从而得到四

边形 BOKC 是矩形，根据矩形的对边相等求出 KC 的长度，从而得到点 C 的坐标，

然后把点 C 的坐标代入直线即可求出 m 的值。

（2）延长 DC 交 y 轴于 N 分别过点 E，G 作 x 轴的垂线 垂足分别是 R，Q

则四边形 ERQG、四边形 POQG、四边形 EROP 是矩形，再利用∠BAO 的正切值求出

AR 的长度，利用∠ODN 的正切值求出 DQ 的长度，再利用 AD 的长度减去 AR 的长度，

再减去 DQ 的长度，计算即可得解。

（3）根据平行四边形的对边平行可得 AB∥OC，再根据平行线内错角相等

求出∠ABO=∠BOC，用 t 表示出 BP，再根据∠ABO 与∠BOC 的正切值相等列式求出

EP 的长度，再表示出PG 的长度，然后根据直径所对的圆周角是直角可得

∠OMC=90°，根据直角推出∠BGP=∠BOC，再利用∠BGP 与∠BOC 的正切值相等列

式求解即可得到 t 的值；先根据加的关系求出∠OBF=∠FBH，再判定△BHF 和△BFO

相似，根据相似三角形对应边成比例可得 BH = BF ，再根据 t=2 求出 OP=2，PF=1，

BFBO

BP=2，利用勾股定理求出 BF 的长度，代入数据进行计算即可求出 BH 的值，然后

求出 HO 的值，从而得到点 H 的坐标。

27. （2012 湖南永州 10 

在ABC 中，点 P 从 B 点开始出发向 C 点运动，在运动过程中，设线段

AP 的长为 y，线段 BP 的长为 x（如图甲），而 y 关于 x 的函数图象如图乙所示．Q（1， 3 ）是函

数图象上的最低点．请仔细观察甲、乙两图，解答下列问题．

（1）请直接写出 AB 边的长和 BC 边上的高 AH 的长；

（2）求∠B 的度数；

（

）若ABP 为钝角三角形，求 x 的取值范围．

【答案】解：

（1）AB=2；AH= 3 。

（2）在 

ABH 中，AH= 3 ，BH=1，tan∠B= 3 ，∴∠B=60°。

（3）①当∠APB 为钝角时，此时可得 x＜1；

②当∠BAP 为钝角时，

过点 A 作 AP⊥AB 交 BC 于点 P。

2

==4 ，∴当 4＜x≤6 时，∠BAP 为钝角。

cos∠B1

2

综上所述，当 x＜1 或 4＜x≤6 时，△ABP 为钝角三角形。

【考点】动点问题的函数图象，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】

（1）当 x=0 时，y 的值即是 AB 的长度，故 AB=2；，图乙函数图象的最低点的 y 值是 AH

的值，故 AH= 3 。

（2）当点 P 运动到点 H 时，此时 BP（H）=1，AH= 3 ，在 

ABH 中，可得出∠B 的度

数。

（3）分两种情况进行讨论，①∠APB 为钝角，②∠BAP 为钝角，分别确定

x 的范围即可。

28. （2012 湖南衡阳 10 分）如图，A、B 两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），点 P 由点 B 出发

沿 BA 方向向点 A 作匀速直线运动，速度为每秒 3 个单位长度，点 Q 由 A 出发沿 AO（O 为坐标原点）

方向向点 O 作匀速直线运动，速度为每秒 2 个单位长度，连接 PQ，若设运动时间为 t（0＜t＜

10

3

）

秒．解答如下问题：

（1）当 t 为何值时，PQ∥BO

（

）设AQP 的面积为 S，

①求 S 与 t 之间的函数关系式，并求出 S 的最大值；

②若我们规定：

点 P、Q 的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则新坐标（x2﹣x1，y2﹣y1）称为“向

量 PQ”的坐标．当 S 取最大值时，求“向量 PQ”的坐标．

【答案】解：

（1）∵A、B 两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），则 OB=6，OA=8。

∴ AB = OB2 + OA2 = 62 + 82 = 10 。

如图①，当 PQ∥BO 时，AQ=2t，BP=3t，则 AP=10﹣3t。

∵PQ∥BO，∴

AP  AQ    10 - 3t  2t        20

= ，即                      。

AB  AO      10    5         11

∴当 t=

20

11

秒时，PQ∥BO。

（2）由

（1）知：

OA=8，OB=6，AB=10．

①如图②所示，过点 P 作 PD⊥x 轴于点 D，则 PD∥BO。

∴△APD∽△ABO。

PD10 - 3tPD9

=，即，解得 PD=6﹣t。

ABOB1065

11⎛9 ⎫9 ⎛5 ⎫2

22⎝5 ⎭55 ⎝3 ⎭

95 210

∴S 与 t之间的函数关系式为：

S=t+5 （0＜t＜）。

533

5

∴当 t= 秒时，S 取得最大值，最大值为 5（平方单位）。

3

5

②如图②所示，当 S 取最大值时，t= ，

3

91

∴PD=6 ﹣t=3，∴PD=BO 。

52

1

又 PD ∥BO ，∴此时 PD 为△OAB 的中位线，则 OD=OA=4 。

∴P（4，3）。

2

101414

又 AQ=2t=，∴OQ=OA﹣AQ=，∴Q （，0）。

333

142

依题意，“向量 PQ”的坐标为（﹣4，0﹣3），即（，﹣3）．

33

2

∴当 S 取最大值时，“向量 PQ”的坐标为（，﹣3）。

3

【考点】 动点问题，平行线分线段成比例，二次函数的最值，勾股定理，三角形

中位线定理。

（

【分析】1）如图①所示，当 PQ ∥BO 时，利用平分线分线段成比例定理，列线段比例式

AP  AQ

AB  AO

，

求出 t的值。

（2）①求 S 关系式的要点是求得△AQP 的高，如图②所示，过点 P 作过点 P 作 PD ⊥x 轴于点

D ，构造平行线 PD ∥BO ，由△APD ∽△ABO 得

AP  PD

AB  OB

求得 PD ，从而 S 可求出．S 与 t之间的

函数关系式是一个关于 t的二次函数，利用二次函数求极值的方法求出 S 的最大值。

②求出点 P、Q 的坐标：

当 S 取最大值时，可推出此时 PD 为△OAB 的中位线，

从而可求出点 P 的纵横坐标，又易求 Q 点坐标，从而求得点 P、Q 的坐标；求得 P、

Q 的坐标之后，代入“向量 PQ”坐标的定义（x ﹣x ，y ﹣y ），即可求解。

2121

29.（2012 湖南株洲 8 

如图，在ABC 中，∠C=90°，BC=5 米，AC=12 米．M 点在线段 CA 上，

从 C 向 A 运动，速度为 1 米/秒；同时 N 点在线段 AB 上，从 A 向 B 运动，速度为 2 米/秒．运动时

间为 t秒．

（1）当 t为何值时，∠AMN= ∠ANM

（2）当 t为何值时，AMN的面积最大并求出这个最大值．

【答案】解：

（1）∵从 C 向 A 运动，速度为 1 米/秒；同时 N 点在线段 AB 上，从 A 向 B 运动，速

度为 2 米/秒，运动时间为 t 秒，

∴AM=12﹣t，AN=2t。

∵∠AMN=∠ANM，∴AM=AN，即 12﹣t=2t，解得：

t=4 秒。

∴当 t 为 4 时，∠AMN=∠ANM。

（2）如图作 NH⊥AC 于 H，

∴∠NHA=∠C=90°。

∴NH∥BC。

∴△ANH∽△ABC。

∴

AN  NH    2t  NH        10

=    ，即  =    。

∴NH=  t 。

AB  BC    13   5         13

180

t= -t +t= -

21313131313

。

180

∴当 t=6 时，△AMN 的面积最大，最大值为。

13

【考点】动点问题，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值。

【分析】

（1）用 t 表示出 AM 和 AN 的值，根据 AM=AN，得到关于 t 的方程求得 t 值即可。

（2）作 NH⊥AC 于 H，证得△ANH∽△ABC，从而得到比例式，然后用 t 表

示出 NH，从而计算其面积得到有关 t 的二次函数求最值即可。

30. （2012 湖南湘潭 10 分）如图，在⊙O 上位于直径 AB 的异侧有定点 C 和动点 P，AC=AB，点 P

在半圆弧 AB 上运动（不与 A、B 两点重合），过点 C 作直线 PB 的垂线 CD 交 PB 于 D 点．

（1）如图 

，求证：

PCD∽△ABC；

（2）当点 P 运动到什么位置时，△PCD≌△ABC 请在图 2 中画出△PCD 并说明理由；

（3）如图 3，当点 P 运动到 CP⊥AB 时，求∠BCD 的度数．

【答案】解：

（1）证明：

∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°。

∵PD⊥CD，∴∠D=90°。

∴∠D=∠ACB。

∵∠A 与∠P 是 BC 所对的圆周角，∴∠A=∠P，∴△PCD∽△ABC。

（2）当 PC 是⊙O 的直径时，△PCD≌△ABC。

理由如下：

∵AB，PC 是⊙O 的半径，∴AB=PC。

∵△PCD∽△ABC，∴△PCD≌△ABC。

画图如下：

（3）∵∠ACB=90°，AC=AB，∴∠ABC=30°。

∵CP⊥AB，AB 是⊙O 的直径，∴ AC = AP 。

∴∠ACP=∠ABC=30°。

数，又由垂径定理，求得 AC = AP ，然后利用圆周角定理求得∠ACP 的度数，从而求得答案。

．．

∵△PCD∽△ABC，∴∠PCD=∠ABC=30°。

»»

∴∠BCD=∠AC﹣∠ACP﹣∠PCD=90°﹣30°﹣30°=30°。

【考点】圆周角定理，全等三角形的判定，垂径定理，相似三角形的判定和性质。

（

【分析】1）由 AB 是⊙O 的直径，根据直径对的圆周角是直角，即可得∠ACB=90°，又由 PD⊥CD，

可得∠D=∠ACB，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得∠A=∠P，根据有

两角对应相等的三角形相似，即可判定：

△PCD∽△ABC。

（

）由PCD∽△ABC，可知当 PC=AB 时，△PCD≌△ABC，利用相似比等于 1 的相似三

角形全等即可求得。

（3）由∠ACB=90°，AC=AB，可求得∠ABC 的度数，然后利用相似，即可得∠PCD 的度

»»

31. （2012 福建漳州 14 分）如图，在OABC 中，点 A 在 x 轴上，∠AOC=60o，

OC=4cm．OA=8cm．动

点 P 从点 O 出发，以 1cm／s 的速度沿线段 OA→AB 运动；动点 Q 同时从点 O 出发，

以

acm／s 的速度沿线段 OC→CB 运动，其中一点先到达终点 B 时，另一点也随之停止

运

动                                ．

设运动时间为 t 秒．

（1）填空：

点 C 的坐标是（______，______），对角线 OB 的长度是_______cm；

（2）当 a=1 时，设△OPQ 的面积为 S，求 S 与 t 的函数关系式，并直接写出当 t

为何值时，S 的值最大

（3）当点 P 在 OA 边上，点 Q 在 CB 边上时，线段 PQ 与对角线 OB 交于点 M.若以

O、M、P 为顶点的三角形与△OAB 相似，求 a 与 t 的函数关系式，并直接写出 t 的

取值范围．

【答案】解：

（1）C（2，2 3 ），OB=4 7 cm。

（2）①当 0

过点 Q 作 QD⊥x 轴于点 D（如图 1），则

QD= 3 t。

2

∴S= 1 OP·QD= 3 t2。

24

②当 4

作 QE⊥x 轴于点 E（如图 2），则

QE=2 3 。

∴S = 1 DP·QE= 3 t。

2

③当 8

延长 QP 交 x 轴于点 F，过点 P 作 PH⊥AF 于点 H（如图 3）。

易证△PBQ 与△PAF 均为等边三角

形，

∴OF=OA+AP=t ， AP=t － 8 。

∴PH= 3 （t－8）。

2

∴ S = S

∆OPF

= 1 t·2 3 － 1 t· 3 （t－8）

2 2 2

=－ 3 t2+3 3 t。

4

⎧ 3

⎪

综上所述， S = ⎪⎨ 3t （4 < t ≤ 8）

。

⎪

⎪- 3 t 2 + 3 3t （8 < t < 12）

⎪⎩4

∵①②中 S 随 t 的增加而增加，

③中 S = - 3 t 2 + 3 3t= -3 （t - 6）2 + 9 3 ，S 随 t 的增加而减小，

44

∴当 t=8 时，S 最大。

（3）①当△OPM∽△OAB 时（如图 4），则 PQ∥AB。

∴CQ=OP。

∴at－4=t，即 a=1+ 4 。

 t 的取值范围是

t

0

②当△OPM∽△OBA 时（如图 5），

则 O