人教A版高中数学必修3第三章 概率33 几何概型导学案.docx
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人教A版高中数学必修3第三章概率33几何概型导学案
3.3.1《几何概型》
教材分析:
和古典概型一样,在特定情形下,我们可以用几何概型来计算事件发生的概率.它也是一种等可能概型.教材首先通过实例对比概念给予描述,然后通过均匀随机数随机模拟的方法的介绍,给出了几何概型的一种常用计算方法.与本课开始介绍的P(A)的公式计算方法前后对应,使几何概型这一知识板块更加系统和完整.这节内容中的例题既通俗易懂,又具有代表性,有利于我们的教与学生的学.教学重点是几何概型的计算方法,尤其是设计模型运用随机模拟方法估计未知量;教学难点是突出用样本估计总体的统计思想,把求未知量的问题转化为几何概型求概率的问题.
【学习目标】
1.通过这节内容学习,让学生了解几何概型,理解其基本计算方法并会运用.
2.通过对照前面学过的知识,让学生自主思考,寻找几何概型的随机模拟计算方法,设计估计未知量的方案,培养学生的实际操作能力.
3.通过学习,让学生体会试验结果的随机性与规律性,培养学生的科学思维方法,提高学生对自然界的认知水平.
【重点难点】
随机模拟部分.这节内容的教学需要一些实物模型作为教具,如教科书中的转盘模型、例2中的随机撒豆子的模型等.教学中应当注意让学生实际动手操作,以使学生相信模拟结果的真实性,然后再通过计算机或计算器产生均匀随机数进行模拟试验,得到模拟的结果.随机模拟的教学中要充分使用信息技术,让学生亲自动手产生随机数,进行模拟活动.
【知识链接】
如图,有两个转盘.甲、乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B区域时,甲获胜,否则乙获胜.
问题:
在下列两种情况下分别求甲获胜的概率.
【学习过程】
建立模型
1.提出问题
首先引导学生分析几何图形和甲获胜是否有关系,若有关系,和几何体图形的什么表面特征有关系?
学生凭直觉,可能会指出甲获胜的概率与扇形弧长或面积有关.即:
字母B所在扇形弧长(或面积)与整个圆弧长(或面积)的比.接着提出这样的问题:
变换图中B与N的顺序,结果是否发生变化?
(教师还可做出其他变换后的图形,以示决定几何概率的因素的确定性).
题中甲获胜的概率只与图中几何因素有关,我们就说它是几何概型.
注意:
(1)这里“只”非常重要,如果没有“只”字,那么就意味着几何概型的概率可能还与其他因素有关,这是错误的.
(2)正确理解“几何因素”,一般说来指区域长度(或面积或体积).
2.引导学生讨论归纳几何概型定义,教师明晰———抽象概括
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.
在几何概型中,事件A的概率的计算公式如下:
3.再次提出问题,并组织学生讨论
(1)情境中两种情况下甲获胜的概率分别是多少?
(2)在500ml的水中有一个草履虫,现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察,求发现草履虫的概率.
(3)某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台报时,求他等待的时间不多于10min的概率.
通过以上问题的研讨,进一步明确几何概型的意义及基本计算方法.
典型例题
1.假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6:
30~7:
30之间把报纸送到你家,而你父亲离开家去工作的时间在早上7:
00~8:
00之间,问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)的概率是多少.
分析:
我们有两种方法计算事件的概率.
(1)利用几何概型的公式.
(2)利用随机模拟的方法.
解法1:
如图,方形区域内任何一点的横坐标表示送报人送到报纸的时间,纵坐标表示父亲离开家去工作的时间.假设随机试验落在方形内任一点是等可能的,所以符合几何概型的条件.根据题意,只要点落到阴影部分,就表示父亲在离开家前能得到报纸,即事件A发生,所以
解法2:
设X,Y是0~1之间的均匀随机数.X+6.5表示送报人送到报纸的时间,Y+7表示父亲离开家去工作的时间.如果Y+7>X+6.5,即Y>X-0.5,那么父亲在离开家前能得到报纸.用计算机做多次试验,即可得到P(A).
教师引导学生独立解答,充分调动学生自主设计随机模拟方法,并组织学生展示自己的解答过程,要求学生说明解答的依据.教师总结,并明晰用计算机(或计算器)产生随机数的模拟试验.强调:
这里采用随机数模拟方法,是用频率去估计概率,因此,试验次数越多,频率越接近概率.
2.如图,在正方形中随机撒一大把豆子,计算落在圆中的豆子数与落在正方形中的豆子数之比,并以此估计圆周率的值.
解:
随机撒一把豆子,每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的,落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似成正比,即
假设正方形的边长为2,则
由于落在每个区域的豆子数是可以数出来的,所以
这样就得到了π的近似值.
另外,我们也可以用计算器或计算机模拟,步骤如下:
(1)产生两组0~1区间的均匀随机数,a1=RAND,b1=RAND;
(2)经平移和伸缩变换,a=(a1-0.5)*2,b=(b1-0.5)*2;
(3)数出落在圆内a2+b2<1的豆子数N1,计算
(N代表落在正方形中的豆子数).
可以发现,随着试验次数的增加,得到π的近似值的精度会越来越高.
本例启发我们,利用几何概型,并通过随机模拟法可以近似计算不规则图形的面积.
【基础达标】
1.如图30-4,如果你向靶子上射200镖,你期望多少镖落在黑色区域.
2.利用随机模拟方法计算图30-5中阴影部分(y=1和y=x2围成的部分)的面积.
3.画一椭圆,让学生设计方案,求此椭圆的面积.
3.3.1《几何概型》导学案
【学习目标】
了解几何概型,理解其基本计算方法并会运用.
【重点难点】几何概型的计算方法.
【学法指导】
一、预习目标
1.了解几何概型,理解其基本计算方法并会运用.
2.通过对照前面学过的知识,让学生自主思考,寻找几何概型的随机模拟计算方法,设计估计未知量的方案,培养学生的实际操作能力.
二、预习内容
1.,简称为几何概型.
2.在几何概型中,事件A的概率的计算公式如下:
3.讨论:
(1)情境中两种情况下甲获胜的概率分别是多少?
(2)在500ml的水中有一个草履虫,现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察,求发现草履虫的概率.
三、提出疑惑
同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
【学习过程】
例1.假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6:
30~7:
30之间把报纸送到你家,而你父亲离开家去工作的时间在早上7:
00~8:
00之间,问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)的概率是多少.
分析:
我们有两种方法计算事件的概率.
(1)利用几何概型的公式.
(2)利用随机模拟的方法.
解法1:
解法2:
例2.如图,在正方形中随机撒一大把豆子,计算落在圆中的豆子数与落在正方形中的豆子数之比,并以此估计圆周率的值.
解:
用计算器或计算机模拟,步骤如下:
(1)
(2)
(3)
【学习反思】
1、数学知识:
2、数学思想方法:
【基础达标】
一、选择题
1.取一根长度为3m的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的长
都不小于1m的概率是.
A.
B.
C.
D.不确定
2.已知地铁列车每10min一班,在车站停1min.则乘客到达站台立即乘上
车的概率是
A.
B.
C.
D.
3.在1万km2的海域中有40km2的大陆架贮藏着石油,假如在海域中任意
一点钻探,钻到油层面的概率是.
A.
B.
C.
D.
二、填空题
1.如下图,在一个边长为3cm的正方形内部画一个边长为2cm的正方形,
向大正方形内随机投点,则所投的点落入小正方形内的概率是________.
2.如下图,在一个边长为a、b(a>b>0)的矩形内画一个梯形,梯形上、下底分别为
a与
a,高为b,向该矩形内随机投一点,则所投的点落在梯形内部的概率为________.
三解答题
1在等腰Rt△ABC中,在斜边AB上任取一点M,求AM的长小于AC的长的概率.
【参考答案】
一、选择题
1.B2.A3.C
二、填空题
1.
2.
三、解答题解:
在AB上截取AC′=AC,于是P(AM<AC)=P(AM<
)
=
答:
AM的长小于AC的长的概率为
.
【拓展提升】
1.两根相距6m的木杆上系一根绳子,并在绳子上挂一盏灯,则灯与两端距离都大于2m的概率是________.
2.如下图,在直角坐标系内,射线OT落在60°的终边上,任作一条射线OA,则射线落在∠xOT内的概率是________.
3.如下图,在半径为1的半圆内,放置一个边长为
的正方形ABCD,向半圆内任投一点,该点落在正方形内的概率为_________.
4.在1L高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子,从中随机取出10mL,含有麦锈病种子的概率是多少?
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