函数的极值和最值与导数.docx
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函数的极值和最值与导数
高二理科数学下学期训练四
函数的极值与最值
姓名学号分数
1.已知函数y=f(x)在定义域内可导,则函数y=f(x)在某点处的导数值为0是函数y=f(x)在这点处取得极值的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件D.非充分非必要条件
2.已知函数f(x)=2x3+ax2+36x-24在x=2处有极值,则该函数的一个递增区间是( )
A.(2,3)B.(3,+∞)
C.(2,+∞)D.(-∞,3)
3.设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),且函数f(x)在x=-2处取得极小值,则函数y=xf′(x)的图象可能是( )
4.函数f(x)=ax3+bx在x=1处有极值-2,则a,b的值分别为( )
A.1,-3 B.1,3
C.-1,3D.-1,-3
5.已知f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值,则a的取值范围是( )
A.(-1,2)B.(-3,6)
C.(-∞,-3)∪(6,+∞)D.(-∞,-1)∪(2,+∞)
6.函数y=2x3-3x2-12x+5在[-2,1]上的最大值、最小值分别是( )
A.12,-8B.1,-8
C.12,-15D.5,-16
7.函数y=
的最大值为( )
A.e-1B.eC.e2D.10
8.若函数f(x)=x3-3x2-9x+k在区间[-4,4]上的最大值为10,则其最小值为( )
A.-10B.-71
C.-15D.-22
9.函数f(x)=x3+ax-2在区间[1,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围是( )
A.[3,+∞)B.[-3,+∞)
C.(-3,+∞)D.(-∞,-3)
10.已知函数f(x)的导数f′(x)=a(x+1)(x-a),若f(x)在x=a处取到极大值,则a的取值范围是( )
A.(-∞,-1) B.(0,+∞)
C.(0,1)D.(-1,0)
11.函数f(x)=ax2+bx在x=
处有极值,则b的值为________.
12.设函数f(x)=
x2ex,若当x∈[-2,2]时,不等式f(x)>m恒成立,则实数m的取值范围是________.
13.已知f(x)=-x2+mx+1在区间[-2,-1]上的最大值就是函数f(x)的极大值,则m的取值范围是________.
二、解答题
1.已知函数f(x)=ax3+x2+bx(其中常数a,b∈R),g(x)=f(x)+f′(x)是奇函数.
(1)求f(x)的表达式;
(2)求g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值.
2.设函数f(x)=ex-
x2-x.
(1)若k=0,求f(x)的最小值;
(2)若k=1,讨论函数f(x)的单调性.
3.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+5,曲线y=f(x)在点P(1,f
(1))处的切线方程为y=3x+1.
(1)求a,b的值;
(2)求y=f(x)在[-3,1]上的最大值.
4、已知函数f(x)=ax3-6ax2+b,问是否存在实数a,b,使f(x)在[-1,2]上取得最大值3,最小值-29,若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由.
5.已知f(x)=2ln(x+a)-x2-x在x=0处取得极值.
(1)求实数a的值.
(2)若关于x的方程f(x)+b=0的区间[-1,1]上恰有两个不同的实数根,求实数b的取值范围.
6.已知函数f(x)=lnx+
.
(1)当a<0时,求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)在[1,e]上的最小值是
,求a的值.
7.已知函数f(x)=-
x2+2x-aex.
(1)若a=1,求f(x)在x=1处的切线方程;
(2)若f(x)在R上是增函数,求实数a的取值范围.
1、解析:
选B 根据导数的性质可知,若函数y=f(x)在这点处取得极值,则f′(x)=0,即必要性成立;反之不一定成立,如函数f(x)=x3在R上是增函数,f′(x)=3x2,则f′(0)=0,但在x=0处函数不是极值,即充分性不成立.故函数y=f(x)在某点处的导数值为0是函数y=f(x)在这点处取得极值的必要不充分条件,故选B.
2、解析:
选B 因为函数f(x)=2x3+ax2+36x-24在x=2处有极值,又f′(x)=6x2+2ax+36,所以f′
(2)=0解得a=-15.令f′(x)>0,解得x>3或x<2,所以函数的一个递增区间是(3,+∞).
/3、解析:
选C 由题意可得f′(-2)=0,而且当x∈(-∞,-2)时,f′(x)<0,此时xf′(x)>0;排除B、D,当x∈(-2,+∞)时,f′(x)>0,此时若x∈(-2,0),xf′(x)<0,若x∈(0,+∞),xf′(x)>0,所以函数y=xf′(x)的图象可能是C.
4、解析:
选A ∵f′(x)=3ax2+b,由题意知f′
(1)=0,f
(1)=-2,∴
∴a=1,b=-3.
/5、解析:
选C f′(x)=3x2+2ax+a+6,
∵f(x)有极大值与极小值,∴f′(x)=0有两不等实根,∴Δ=4a2-12(a+6)>0,∴a<-3或a>6./
6、解析:
选A y′=6x2-6x-12,由y′=0⇒x=-1或x=2(舍去).
x=-2时,y=1;x=-1时,y=12;x=1时,y=-8.∴ymax=12,ymin=-8.故选A.
/7、解析:
选A 令y′=
=
=0⇒x=e.当x>e时,y′<0;当0<x<e时,y′>0,所以y极大值=f(e)=e-1,在定义域内只有一个极值,所以ymax=e-1.
8、解析:
选B f′(x)=3x2-6x-9=3(x-3)(x+1).由f′(x)=0,得x=3或x=-1.又f(-4)=k-76,f(3)=k-27,f(-1)=k+5,f(4)=k-20.由f(x)max=k+5=10,得k=5,∴f(x)min=k-76=-71.
/9、解析:
选B ∵f(x)=x3+ax-2在[1,+∞)上是增函数,∴f′(x)=3x2+a≥0在[1,+∞)上恒成立,即a≥-3x2在[1,+∞)上恒成立,又∵在[1,+∞)上(-3x2)max=-3,∴a≥-3./
10、解析:
选D 若a<-1,∵f′(x)=a(x+1)(x-a),
∴f(x)在(-∞,a)上单调递减,在(a,-1)上单调递增,∴f(x)在x=a处取得极小值,与题意不符;
若-1 若a>0,则f(x)在(-1,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增,与题意矛盾,∴选D. 11/解析: f′(x)=2ax+b,∵函数f(x)在x= 处有极值, ∴f′ =2a· +b=0,即b=-2. 答案: -2 12/解析: f′(x)=xex+ x2ex= ·x(x+2), 由f′(x)=0得x=0或x=-2. 当x∈[-2,2]时,f′(x),f(x)随x的变化情况如下表: x -2 (-2,0) 0 (0,2) 2 f′(x) 0 - 0 + f(x) 递减 递增 ∴当x=0时,f(x)min=f(0)=0,要使f(x)>m对x∈[-2,2]恒成立,只需m<f(x)min,∴m<0. 答案: (-∞,0) 13/答案: (-4,-2) 1.解: (1)∵f′(x)=3ax2+2x+b,∴g(x)=f(x)+f′(x)=ax3+(3a+1)x2+(b+2)x+b. ∵g(x)是奇函数,∴g(-x)=-g(x), 从而3a+1=0,b=0,解得a=- ,b=0,因此f(x)的表达式为f(x)=- x3+x2. (2)由 (1)知g(x)=- x3+2x,∴g′(x)=-x2+2,令g′(x)=0. 解得x1=- (舍去),x2= ,而g (1)= ,g( )= ,g (2)= , 因此g(x)在区间[1,2]上的最大值为g( )= ,最小值为g (2)= 2解: (1)k=0时,f(x)=ex-x,f′(x)=ex-1. 当x∈(-∞,0)时,f′(x)<0;当x∈(0,+∞)时,f′(x)>0,所以f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,故f(x)的最小值为f(0)=1. (2)若k=1,则f(x)=ex- x2-x,定义域为R. ∴f′(x)=ex-x-1,令g(x)=ex-x-1,则g′(x)=ex-1, 由g′(x)≥0得x≥0,所以g(x)在[0,+∞)上单调递增, 由g′(x)<0得x<0,所以g(x)在(-∞,0)上单调递减, ∴g(x)min=g(0)=0,即f′(x)min=0,故f′(x)≥0. 所以f(x)在R上单调递增. 3、解: (1)依题意可知点P(1,f (1))为切点,代入切线方程y=3x+1可得,f (1)=3×1+1=4, ∴f (1)=1+a+b+5=4,即a+b=-2, 又由f(x)=x3+ax2+bx+5得, 又f′(x)=3x2+2ax+b, 而由切线y=3x+1的斜率可知f′ (1)=3, ∴3+2a+b=3,即2a+b=0, 由 解得 ∴a=2,b=-4. (2)由 (1)知f(x)=x3+2x2-4x+5,f′(x)=3x2+4x-4=(3x-2)(x+2), 令f′(x)=0,得x= 或x=-2. 当x变化时,f(x),f′(x)的变化情况如下表: x -3 (-3,-2) -2 1 f′(x) + 0 - 0 + f(x) 8 极大值 极小值 4 ∴f(x)的极大值为f(-2)=13,极小值为f = , 又f(-3)=8,f (1)=4, ∴f(x)在[-3,1]上的最大值为13. 4、解: 存在.显然a≠0. f′(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4).令f′(x)=0,解得x1=0,x2=4(舍去). (1)当a>0,x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如表: x [-1,0) 0 (0,2] f′(x) + 0 - f(x) 单调递增 极大值 单调递减 所以当x=0时,f(x)取得最大值,所以f(0)=b=3. 又f (2)=-16a+3,f(-1)=-7a+3,f(-1)>f (2).所以当x=2时,f(x)取得最小值, 即-16a+3=-29,解得a=2. (2)当a<0,x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如表: x [-1,0) 0 (0,2] f′(x) - 0 + f(x) 单调递减 极小值 单调递增 所以当x=0时,f(x)取得最小值,所以b=-29. 又f (2)=-16a-29,f(-1)=-7a-29,f (2)>f(-1). 所以当x=2时,f(x)取得最大值,∴f (2)=-16a-29=3,解得a=-2, 综上可得,a=2,b=3或a=-2,b=-29. 5、解: (1)f′(x)= -2x-1,当x=0时,f(x)取得极值, 所以f′(0)=0,解得a=2,检验知a=2符合题意. (2)令g(x)=f(x)+b=2ln(x+2)-x2-x+b, 则g′(x)= -2x-1=- (x>-2). g(x),g′(x)在(-2,+∞)上的变化状态如下表: x (-2,0) 0 (0,+∞) g′(x) + 0 - g(x) 2ln2+b 由上表可知函数在x=0处取得极大值,极大值为2ln2+b. 要使f(x)+b=0在区间[-1,1]上恰有两个不同的实数根, 只需 即 所以-2ln2<b≤2-2ln3. 故实数b的取值范围是(-2ln2,2-2ln3]. 6解: 函数f(x)=lnx+ 的定义域为(0,+∞),f′(x)= - = , (1)∵a<0,∴f′(x)>0,故函数在其定义域(0,+∞)上单调递增. (2)x∈[1,e]时,分如下情况讨论: ①当a<1时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增,其最小值为f (1)=a<1,这与函数在[1,e]上的最小值是 相矛盾; ②当a=1时,函数f(x)在[1,e]上单调递增,其最小值为f (1)=1,同样与最小值是 相矛盾; ③当10,f(x)单调递增,所以,函数f(x)的最小值为f(a)=lna+1,由lna+1= ,得a= . ④当a=e时,函数f(x)在[1,e]上有f′(x)<0,f(x)单调递减,其最小值为f(e)=2,这与最小值是 相矛盾; ⑤当a>e时,显然函数f(x)在[1,e]上单调递减,其最小值为f(e)=1+ >2,仍与最小值是 相矛盾;综上所述,a的值为 . 7/ 解: (1)当a=1时,f(x)=- x2+2x-ex,则f (1)=- ×12+2×1-e= -e, f′(x)=-x+2-ex,f′ (1)=-1+2-e=1-e, 故曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y- =(1-e)(x-1),即y=(1-e)x+ . (2)∵f(x)在R上是增函数,∴f′(x)≥0在R上恒成立, ∵f(x)=- x2+2x-aex,∴f′(x)=-x+2-aex, 于是有不等式-x+2-aex≥0在R上恒成立, 即a≤ 在R上恒成立,令g(x)= ,则g′(x)= , 令g′(x)=0,解得x=3,列表如下: x (-∞,3) 3 (3,+∞) g′(x) - 0 + g(x) 减 极小值- 增 故函数g(x)在x=3处取得极小值,亦即最小值, 即g(x)min=- ,所以a≤- , 即实数a的取值范围是 .
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- 函数 极值 导数