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全等三角形证明经典
全等三角形证明经典
一、选择题
1.(2012海南省3分)图是一个风筝设计图,其主体部分(四边形ABCD)关于BD所在的直线对称,AC与BD相交于点O,且AB≠AD,则下列判断不正确的是【】
A.△ABD≌△CBDB.△ABC≌△ADCC.△AOB≌△COBD.△AOD≌△COD
【答案】B。
【考点】全等三角形的判定,轴对称的性质。
【分析】根据轴对称的性质,知△ABD≌△CBD,△AOB≌△COB,△AOD≌△COD。
由于AB≠AD,从而△ABC和△ADC不全等。
故选B。
2.(2012四川巴中3分)如图,已知AD是△ABC的边BC上的高,下列能使△ABD≌△ACD的条件
是【】
A.AB=ACB.∠BAC=90°C.BD=ACD.∠B=45°
【答案】A。
【考点】全等三角形的判定。
【分析】添加AB=AC,符合判定定理HL。
而添加∠BAC=90°,或BD=AC,或∠B=45°,不能使△ABD≌△ACD。
故选A。
3.(2012贵州贵阳3分)如图,已知点A、D、C、F在同一条直线上,AB=DE,BC=EF,要使△ABC≌△DEF,还需要添加一个条件是【】
A.∠BCA=∠FB.∠B=∠EC.BC∥EFD.∠A=∠EDF
【答案】B。
【考点】全等三角形的判定。
190187。
【分析】应用全等三角形的判定方法逐一作出判断:
A、由AB=DE,BC=EF和∠BCA=∠F构成SSA,不符合全等的条件,不能推出△ABC≌△DEF,故本选项错误;
B、由AB=DE,BC=EF和∠B=∠E构成SAS,符合全等的条件,能推出△ABC≌△DEF,故本选项正确;
C、∵BC∥EF,∴∠F=∠BCA。
由AB=DE,BC=EF和∠F=∠BCA构成SSA,不符合全等的条件,不能推出△ABC≌△DEF,故本选项错误;
D、由AB=DE,BC=EF和∠A=∠EDF构成SSA,不符合全等的条件,不能推出△ABC≌△DEF,故本选项错误。
故选B。
4.(2012山东泰安3分)如图,AB∥CD,E,F分别为AC,BD的中点,若AB=5,CD=3,则EF的长是【】
A.4 B.3 C.2 D.1
【答案】D。
【考点】三角形中位线定理,全等三角形的判定和性质。
【分析】连接DE并延长交AB于H,
∵CD∥AB,∴∠C=∠A,∠CDE=∠AHE。
∵E是AC中点,∴DE=EH。
∴△DCE≌△HAE(AAS)。
∴DE=HE,DC=AH。
∵F是BD中点,∴EF是△DHB的中位线。
∴EF=
BH。
∴BH=AB﹣AH=AB﹣DC=2。
∴EF=1。
故选D。
5.(2012山东淄博4分)已知一等腰三角形的腰长为5,底边长为4,底角为β.满足下列条件的三角形不一定与已知三角形全等的是【】
(A)两条边长分别为4,5,它们的夹角为β
(B)两个角是β,它们的夹边为4
(C)三条边长分别是4,5,5
(D)两条边长是5,一个角是β
【答案】D。
【考点】全等三角形的判定,等腰三角形的性质。
【分析】(A)由SAS知两三角形全等:
(B)由ASA知两三角形全等:
(C)由SSS知两三角形全等:
(D)当顶角为β时,两三角形不一定全等。
故选D。
6.
6.(2012广西柳州3分)如图,小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离,如果
△PQO≌△NMO,则只需测出其长度的线段是【】
A.PO B.PQC.MO D.MQ
【答案】B。
【考点】全等三角形的应用。
【分析】根据全等三角形对应边相等可知要想求得MN的长,只需求得其对应边PQ的长。
故选B。
7.(2012广西玉林、防城港3分)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且AC≠BD,则图中全等三角形有【】
A.4对B.6对.C.8对D.10对
【答案】C。
【考点】菱形的性质,全等三角形的判定。
【分析】根据菱形四边形等,对角线互相垂直且平分,结合全等三角形的判定即可得出答案:
由四个直角坐标三角形可组成6对全等三角形:
△ABO≌△ADO、△ABO≌△CBO、
△ABO≌△CDO、△AOD≌△COB、△AOD≌△COD、△DOC≌△BOC;
两条对角分菱形可组成2对全等三角形:
△ABD≌△CBD,△ABC≌△ADC。
共8对。
故选C。
二、填空题
1.(2012山东临沂3分)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=2cm,CD⊥AB,在AC上取一点E,使EC=BC,过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F,若EF=5cm,则AE=▲cm.
【答案】3。
【考点】全等三角形的判定和性质。
【分析】∵∠ACB=90°,∴∠ECF+∠BCD=90°。
∵CD⊥AB,∴∠BCD+∠B=90°。
∴∠ECF=∠B,
在△ABC和△FEC中,∵∠ECF=∠B,EC=BC,∠ACB=∠FEC=90°,
∴△ABC≌△FEC(ASA)。
∴AC=EF。
∵AE=AC﹣CE,BC=2cm,EF=5cm,∴AE=5﹣2=3cm。
2.(2012山东潍坊3分)如图所示,AB=DB,∠ABD=∠CBE,请你添加一个适当的条件▲,使ΔABC≌ΔDBE.(只需添加一个即可)
【答案】∠BDE=∠BAC(答案不唯一)。
【考点】全等三角形的判定,开放型。
【分析】根据∠ABD=∠CBE可以证明得到∠ABC=∠DBE,然后根据利用的证明方法,“ASA”“SAS”“AAS”分别写出第三个条件即可:
∵∠ABD=∠CBE,∴∠ABD+∠ABE=∠CBE+∠ABE,即∠ABC=∠DBE。
∵AB=DB,
∴①用“ASA”,需添加∠BDE=∠BAC;
②用“SAS”,需添加BE=BC;
③用“AAS”,需添加∠ACB=∠DEB。
3.(2012甘肃白银4分)如图所示,已知点A、D、B、F在一条直线上,AC=EF,AD=FB,要使△ABC≌△FDE,还需添加一个条件,这个条件可以是▲.(只需填一个即可)
【答案】∠A=∠F(答案不唯一)。
【考点】全等三角形的判定。
【分析】要判定△ABC≌△FDE,已知AC=FE,AD=BF,则AB=CF,具备了两组边对应相等,故添加夹角∠A=∠F,利用SAS可证全等;或添加AC∥EF得夹角∠A=∠F,利用SAS可证全等;或添加BC=DE,利用SSS可证全等。
(答案不唯一)
4.(2012青海省2分)如图,点D,E分别在线段AB,AC上,BE,CD相交于点O,AE=AD,要使△ABE≌△ACD,需添加一个条件是▲(只需一个即可,图中不能再添加其他点或线).
【答案】∠ADC=∠AEB(答案不唯一)。
【考点】开放型,全等三角形的判定。
【分析】∵∠A=∠A,AE=AD,
∴添加:
∠ADC=∠AEB(ASA),∠B=∠C(AAS),AB=AC(SAS),∠BDO=∠CEO(ASA)可得△ABE≌△ACD。
故填:
∠ADC=∠AEB或∠B=∠C或AB=AC或∠BDO=∠CEO。
5.(2012黑龙江牡丹江3分)如图.点D、E在△ABC的边BC上,AB=AC,AD=AE.请写出图中的全等三角形▲(写出一对即可).
【答案】△ABD≌△ACE(答案不唯一)。
【考点】开放型,等腰三角形的性质,全等三角形的判定。
【分析】如图,过点A作AH⊥BC于点H,则
∵AB=AC,AD=AE(已知),
∴BH=CH,DH=EH(等腰三角形三线合一)。
∴BH-DH=CH-EH,即BD=CE。
∴△ABD≌△ACE(SSS)。
还可得△ABE≌△ACD(SSS)。
6.(2012黑河、黑龙江齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西3分)如图,己知AC=BD,要使△ABC≌△DCB,则只需添加一个适当的条件是▲(填一个即可)
【答案】AB=DC(答案不唯一)。
【考点】全等三角形的判定。
【分析】∵AC=BD,BC是公共边,
∴要使△ABC≌△DCB,需添加:
①AB=DC(SSS)或②∠ACB=∠DBC(SAS)。
三、解答题
2.(2012广东佛山6分)如图,已知AB=DC,DB=AC
(1)求证:
∠ABD=∠DCA,注:
证明过程要求给出每一步结论成立的依据.
(2)在
(1)的证明过程中,需要作辅助线,它的意图是什么?
【答案】证明:
(1)连接AD,
在△BAD和△CDA中,
∵AB=CD(已知),DB=AC(已知),AD=AD(公共边),
∴△BAD≌△CDA(SSS)。
∴∠ABD=∠DCA(全等三角形对应角相等)。
(2)作辅助线的意图是构造全等的三角形即两个三角形的公共边。
【考点】全等三角形的判定和性质。
【分析】
(1)连接AD,证明三角形BAD和三角形CAD全等即可得到结论;
(2)作辅助线的意图是构造全等的三角形。
3.(2012广东广州9分)如图,点D在AB上,点E在AC上,AB=AC,∠B=∠C.求证:
BE=CD.
【答案】证明:
∵在△ABE和△ACD中,∠A=∠A,AB=AC,∠B=∠C.
∴△ABE≌△ACD(ASA)。
∴BE=CD。
【考点】全等三角形的判定和性质。
【分析】由已知和∠A=∠A,根据ASA证△ABE≌△ACD,根据全等三角形的性质即可求出答案。
4.(2012浙江绍兴8分)如图,AB∥CD,以点A为圆心,小于AC长为半径作圆弧,分别交AB,AC于E,F两点,再分别以E,F为圆心,大于
EF长为半径作圆弧,两条圆弧交于点P,作射线AP,交CD于点M。
(1)若∠ACD=114°,求∠MAB的度数;
(2)若CN⊥AM,垂足为N,求证:
△ACN≌△MCN。
【答案】
(1)解:
∵AB∥CD,∴∠ACD+∠CAB=180°。
又∵∠ACD=114°,∴∠CAB=66°。
由作法知,AM是∠ACB的平分线,∴∠AMB=
∠CAB=33°。
(2)证明:
∵AM平分∠CAB,∴∠CAM=∠MAB,
∵AB∥CD,∴∠MAB=∠CMA。
∴∠CAN=∠CMN。
又∵CN⊥AM,∴∠ANC=∠MNC。
在△ACN和△MCN中,
∵∠ANC=∠MNC,∠CAN=∠CMN,CN=CN,∴△ACN≌△MCN(AAS)。
【考点】平行的性质,角平分线的定义,全等三角形的判定。
【分析】
(1)由作法知,AM是∠ACB的平分线,由AB∥CD,根据两直线平行同旁内角互补的性质,得∠CAB=66°,从而求得∠MAB的度数。
(2)要证△ACN≌△MCN,由已知,CN⊥AM即∠ANC=∠MNC=90°;又CN是公共边,故只要再有一边或一角相等即可,考虑到AB∥CD和AM是∠ACB的平分线,有∠CAN=∠MAB=∠CMN。
从而得证。
5.(2012江苏常州5分)如图,在△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,
求证:
∠DBC=∠DCB。
【答案】证明:
∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD。
又∵AB=AC,AD=AD,∴△BAD≌△CAD(SAS)。
∴BD=CD。
∴∠DBC=∠DCB。
【考点】全等三角形的判定和性质,等腰三角形的性质。
【分析】由已知,根据SAS可证△BAD≌△CAD,从而根据全等三角形对应边相等的性质可得BD=CD,根据等腰三角形等边对等角的性质可得∠DBC=∠DCB。
6.(2012江苏镇江6分)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,E是AB的中点,连接DE并延长交CB的延长线于点F,点G在BC边上,且∠GDF=∠ADF。
(1)求证:
△ADE≌△BFE;
(2)连接EG,判断EG与DF的位置关系,并说明理由。
【答案】解:
(1)证明:
∵AD∥BC,∴∠ADE=∠BFE(两直线平行,内错角相等)。
∵E是AB的中点,∴AE=BE。
又∵∠AED=∠BEF,∴△ADE≌△BFE(AAS)。
(2)EG与DF的位置关系是EG⊥DF。
理由如下:
∵∠ADE=∠BFE,∠GDF=∠ADF,
∴∠GDF=∠BFE(等量代换)。
∴GD=GF(等角对等边)。
又∵△ADE≌△BFE,∴DE=EF(全等三角形对应边相等)。
∴EG⊥DF(等腰三角形三线合一)。
【考点】平行的性质,全等三角形的判定和性质,等腰三角形的判定和性质。
【分析】
(1)由已知,应用AAS即可证明△ADE≌△BFE。
(2)由∠ADE=∠BFE,∠GDF=∠ADF可得∠GDF=∠BFE,从而根据等角对等边得GD=GF;由
(1)△ADE≌△BFE可得DE=EF。
根据等腰三角形三线合一的性质可得EG⊥DF。
7.(2012广东河源6分)如图,已知AB=CD,∠B=∠C,AC和BD交于点O,E是AD的中点,连接OE.
(1)求证:
△AOD≌△DOC;
(2)求∠AEO的度数.
【答案】解:
(1)证明:
在△AOB和△COD中,∵∠B=∠C,∠AOB=∠DOC,AB=DC,
∴△AOB≌△COD(AAS)。
(2)∵△AOB≌△COD,∴AO=DO。
∵E是AD的中点,∴OE⊥AD。
∴∠AEO=90°。
【考点】对顶角的性质,全等三角形的判定和性质,等腰三角形的性质。
【分析】
(1)由已知可以利用AAS来判定其全等;
(2)根据全等三角形对应边相等的性质得AO=DO,再根据等腰三角形三线合一的性质即可求得∠AEO=90°。
8.(2012福建厦门6分)已知:
如图,点B、F、C、E在一条直线上,∠A=∠D,AC=DF,且AC∥DF.
求证:
△ABC≌△DEF.
【答案】证明:
∵AC∥DF,∴∠ACB=∠DFE。
又∵∠A=∠D,AC=DF,∴△ABC≌△EDF(ASA)。
【考点】平行的性质,全等三角形的判定。
【分析】利用ASA证明两三角形全等即可。
9.(2012福建福州7分)如图,点E、F在AC上,AB∥CD,AB=CD,AE=CF.求证:
△ABF≌△CDE.
【答案】证明:
∵AB∥CD,∴∠A=∠C。
∵AE=CF,∴AE+EF=CF+EF,即AF=CE。
又∵AB=CD,∴△ABF≌△CDE(SAS)。
【考点】平行的性质,全等三角形的判定。
10.(2012湖北武汉6分)如图CE=CB,CD=CA,∠DCA=∠ECB,求证:
DE=AB.
【答案】证明:
∵∠DCA=∠ECB,∴∠DCA+∠ACE=∠BCE+∠ACE。
∴∠DCE=∠ACB。
∵在△DCE和△ACB中,DC=AC,∠DCE=∠ACB,CE=CB,
∴△DCE≌△ACB(SAS)。
∴DE=AB。
【考点】全等三角形的判定和性质。
【分析】求出∠DCE=∠ACB,根据SAS证△DCE≌△ACB,根据全等三角形的性质即可推出答案。
11.(2012湖北十堰6分)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD.求证:
∠B=∠D.
【答案】证明:
连接AC,
在△ABC和△ADC中,
∵AB=AD,CB=CD,AC=AC,∴△ABC≌△ADC(SSS)。
∴∠B=∠D。
【考点】全等三角形的判定和性质。
【分析】连接AC,由于AB=AD,CB=CD,AC=AC,由SSS可证△ABC≌△ADC,于是∠B=∠D。
12.(2012四川宜宾6分)如图,点A.B.D.E在同一直线上,AD=EB,BC∥DF,∠C=∠F.求证:
AC=EF.
【答案】证明:
∵AD=EB∴AD﹣BD=EB﹣BD,即AB=ED。
又∵BC∥DF,∴∠CBD=∠FDB。
∴∠ABC=∠EDF。
又∵∠C=∠F,∴△ABC≌△EDF(AAS)。
∴AC=EF。
【考点】平行的性质,补角的性质,全等三角形的判定和性质。
【分析】根据BC∥DF证得∠CBD=∠FDB,利用邻角的补角相等证得∠ABC=∠EDF,然后根据AD=EB得到AB=CD,利用AAS证明两三角形全等即可。
13.(2012辽宁铁岭12分)已知:
在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°,AB=AD=25,BC=32.连接BD,
AE⊥BD,垂足为E.
(1)求证:
△ABE∽△DBC;
(2)求线段AE的长.
【答案】解:
(1)证明:
∵AB=AD=25,∴∠ABD=∠ADB。
∵AD∥BC,∴∠ADB=∠DBC。
∴∠ABD=∠DBC。
∵AE⊥BD,∴∠AEB=∠C=90°。
∴△ABE∽△DBC。
(2)∵AB=AD,又AE⊥BD,∴BE=DE。
∴BD=2BE。
由△ABE∽△DBC,得
。
∵AB=AD=25,BC=32,∴
,解得BE=20。
∴
。
【考点】直角梯形的性质,等腰三角形的性质,平行的性质,相似三角形的判定和性质,勾股定理。
【分析】
(1)由等腰三角形的性质可知∠ABD=∠ADB,由AD∥BC可知,∠ADB=∠DBC,由此可得∠ABD=∠DBC,又∵∠AEB=∠C=90°,利用“AA”可证△ABE∽△DBC。
(2)由等腰三角形的性质可知,BD=2BE,根据△ABE∽△DBC,利用相似比求BE,在Rt△ABE中,利用勾股定理求AE。
14.(2012贵州铜仁10分)如图,E、F是四边形ABCD的对角线BD上的两点,AE∥CF,AE=CF,BE=DF.求证:
△ADE≌△CBF.
【答案】证明:
∵AE∥CF,∴∠AED=∠CFB。
∵DF=BE,∴DF+EF=BE+EF,即DE=BF。
∵在△ADE和△CBF中,AE=CF,∠AED=∠CFB,DE=BF,
∴△ADE≌△CBF(SAS)。
【考点】平行的性质,全等三角形的判定。
【分析】利用平行线的性质得出∠AED=∠CFB,由DF=BE根据等量加等量和相等得出DE=BF,利用SAS即可证出结论。
15.(2012山东滨州12分)如图1,l1,l2,l3,l4是一组平行线,相邻2条平行线间的距离都是1个单位长度,正方形ABCD的4个顶点A,B,C,D都在这些平行线上.过点A作AF⊥l3于点F,交l2于点H,过点C作CE⊥l2于点E,交l3于点G.
(1)求证:
△ADF≌△CBE;
(2)求正方形ABCD的面积;
(3)如图2,如果四条平行线不等距,相邻的两条平行线间的距离依次为h1,h2,h3,试用h1,h2,h3
表示正方形ABCD的面积S.
【答案】解:
(1)证明:
在Rt△AFD和Rt△CEB中,
∵AD=BC,AF=CE,∴Rt△AFD≌Rt△CEB(HL)。
(2)∵∠ABH+∠CBE=90°,∠ABH+∠BAH=90°,∴∠CBE=∠BAH。
又∵AB=BC,∠AHB=∠CEB=90°,∴△ABH≌△BCE(AAS)。
同理可得,△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF。
∴S正方形ABCD=4S△ABH+S正方形HEGF=4×
×2×1+1+1=5。
(3)由
(1)知,△AFD≌△CEB,故h1=h3,
由
(2)知,△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF,
∴S正方形ABCD=4S△ABH+S正方形HEGF=4×
(h1+h2)•h1+h22=2h12+2h1h2+h22.
【考点】全等三角形的判定和性质,平行线之间的距离,正方形的性质。
【分析】
(1)直接根据HL定理得出Rt△AFD≌Rt△CEB。
(2)由AAS定理得出△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF,再根据S正方形ABCD=4S△ABH+S正方形HEGF即可得出结论。
(3)由△AFD≌△CEB可得出h1=h3,再根据
(2)中△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF,可知
S正方形ABCD=4S△ABH+S正方形HEGF,从而得出结论。
16.(2012山东莱芜9分)某市规划局计划在一坡角为16º的斜坡AB上安装一球形雕塑,其横截面示意
图如图所示.已知支架AC与斜坡AB的夹角为28º,支架BD⊥AB于点B,且AC、BD的延长线均过⊙O
的圆心,AB=12m,⊙O的半径为1.5m,求雕塑最顶端到水平地面的垂直距离(结果精确到0.01m,参考
数据:
cos28º≈0.9,sin62º≈0.9,sin44º≈0.7,cos46º≈0.7).
【答案】解:
如图,过点O作水平地面的垂线,垂足为点E。
在Rt△AOB中,
,即
,
∴
。
∵∠BAE=160,∴∠OAE=280+160=440。
在Rt△AOE中,
,即
,
∴
9.333+1.5=10.833≈10.83(m)。
答:
雕塑最顶端到水平地面的垂直距离为10.83m。
【考点】解直角三角形的应用,锐角三角函数定义。
【分析】如图,过点O作水平地面的垂线,构造Rt△AOE。
解Rt△AOB,求出OA;解Rt△AOE,求出OE,即可得出雕塑最顶端到水平地面的垂直距离。
6.(2012山东聊城7分)周末,小亮一家在东昌湖游玩,妈妈在湖心岛岸边P处观看小亮与爸爸在湖中划船(如图).小船从P处出发,沿北偏东60°划行200米到达A处,接着向正南方向划行一段时间到达B处.在B处小亮观测妈妈所在的P处在北偏西37°方向上,这时小亮与妈妈相距多少米(精确到米)?
(参考数据:
sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75,
≈1.41,
≈1.73)
【答案】解:
作PD⊥AB于点D,
由已知得PA=200米,∠APD=30°,∠B=37°,
在Rt△PAD中,
由cos30°=
,得PD=PAcos30°=200×
=100
(米)。
在Rt△PBD中,
由sin37°=
,得PB=
(米)。
答:
小亮与妈妈的距离约为288米。
【考点】解直角三角形的应用(方向角问题),锐角三角函数。
【分析】作PD⊥AB于点D,分别在直角三角形PAD和直角三角形PBD中求得PD和PB即可求得结论。
7.(2012山东青岛8分)如图,某校教学楼AB的后面有一建筑物CD,当光线与地面的夹角是22º时,
教学楼在建筑物的墙上留下高2m的影子CE;而当光线与地面的夹角是45º时,教学楼顶A在地面上的影
子F与墙角C有13m的距离(B、F、C在一条直线上).
(1)求教学楼AB的高度;
(2)学校要在A、E之间挂一些彩旗,请你求出A、E之间的距离(结果保留整数).
(参考数据:
sin22º≈
,cos22º≈
,tan22º≈
)
【答案】解:
(1)过点E作EM⊥AB,垂足为M。
设AB为x.
在Rt△ABF中,∠AFB=45°,
∴BF=AB=x。
∴BC=BF+FC=x+13。
在Rt△AEM中,∠AEM=22°,AM=AB-BM=AB-CE=x-2,
又∵
,∴
,解得:
x≈12。
∴教学楼的高12m。
(2)由
(1)可得ME=BC=x+13≈12+13=25。
在Rt△AME中,
,
∴AE=MEcos22°≈
。
∴A、E之间的距离约为27m。
【考点】解直角三角形的应用,锐角三角函数定义。
【分析】
(1)首先构造直角三角形△AEM,利用
,求出即可。
(2)利用Rt△AME中,
,求出AE即可。
17.(2012山东枣庄8分)已知:
如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,CD⊥AD,AD2+CD2=2AB2.
(1)求证:
AB=BC;
(2)当BE⊥AD于E时,试证明:
BE=AE+CD.
【答案】解:
(1)证明:
连接AC。
∵∠ABC=90°,∴AB2+BC2=AC2。
∵CD⊥AD,∴AD2+CD2=AC2。
∵AD2+CD
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