高考数学理科一轮复习抛物线学案附答案.docx
- 文档编号:12389994
- 上传时间:2023-04-18
- 格式:DOCX
- 页数:14
- 大小:22.33KB
高考数学理科一轮复习抛物线学案附答案.docx
《高考数学理科一轮复习抛物线学案附答案.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高考数学理科一轮复习抛物线学案附答案.docx(14页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
高考数学理科一轮复习抛物线学案附答案
高考数学(理科)一轮复习抛物线学案附答案
学案3 抛物线
导学目标:
1掌握抛物线的定义、几何图形和标准方程,知道它们的简单几何性质2理解数形结合的思想.自主梳理
1.抛物线的概念
平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)距离______的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的__________,直线l叫做抛物线的________.
2.抛物线的标准方程与几何性质
标准方程2=2px
(p>0)2=-2px
(p>0)x2=2p
(p>0)x2=-2p
(p>0)
p的几何意义:
焦点F到准线l的距离
图形
顶点(0,0)
对称轴=0x=0
焦点F(p2,0)
F(-p2,0)
F(0,p2)
F(0,-p2)
离心率e=1
准线方程x=-p2
x=p2
=-p2
=p2
范围x≥0,
∈Rx≤0,
∈R≥0,
x∈R≤0,
x∈R
开口方向向右向左向上向下
自我检测
1.(2010•四川)抛物线2=8x的焦点到准线的距离是( )
A.1B.2.4D.8
2.若抛物线2=2px的焦点与椭圆x26+22=1的右焦点重合,则p的值为( )
A.-2B.2.-4D.4
3.(2011•陕西)设抛物线的顶点在原点,准线方程为x=-2,则抛物线的方程是( )
A.2=-8xB.2=8x
.2=-4xD.2=4x
4.已知抛物线2=2px(p>0)的焦点为F,点P1(x1,1),P2(x2,2),P3(x3,3)在抛物线上,且2x2=x1+x3,则有( )
A.|FP1|+|FP2|=|FP3|
B.|FP1|2+|FP2|2=|FP3|2
.2|FP2|=|FP1|+|FP3|
D.|FP2|2=|FP1|•|FP3|
.(2011•佛模拟)已知抛物线方程为2=2px(p>0),过该抛物线焦点F且不与x轴垂直的直线AB交抛物线于A、B两点,过点A、点B分别作A、BN垂直于抛物线的准线,分别交准线于、N两点,那么∠FN必是( )
A.锐角B.直角
.钝角D.以上皆有可能探究点一 抛物线的定义及应用
例1 已知抛物线2=2x的焦点是F,点P是抛物线上的动点,又有点A(3,2),求|PA|+|PF|的最小值,并求出取最小值时P点的坐标.
变式迁移1 已知点P在抛物线2=4x上,那么点P到点Q(2,-1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点P的坐标为( )
A14,-1B14,1
.(1,2)D.(1,-2)
探究点二 求抛物线的标准方程
例2 (2011•芜湖调研)已知抛物线的顶点在原点,焦点在轴上,抛物线上一点(,-3)到焦点的距离为,求的值、抛物线方程和准线方程.
变式迁移2 根据下列条求抛物线的标准方程:
(1)抛物线的焦点F是双曲线16x2-92=144的左顶点;
(2)过点P(2,-4).
探究点三 抛物线的几何性质
例3 过抛物线2=2px的焦点F的直线和抛物线相交于A,B两点,如图所示.
(1)若A,B的纵坐标分别为1,2,求证:
12=-p2;
(2)若直线A与抛物线的准线相交于点,求证:
B∥x轴.
变式迁移3 已知AB是抛物线2=2px(p>0)的焦点弦,F为抛物线的焦点,A(x1,1),B(x2,2).求证:
(1)x1x2=p24;
(2)1|AF|+1|BF|为定值.
分类讨论思想的应用
例 (12分)过抛物线2=2px(p>0)焦点F的直线交抛物线于A、B两点,过B点作其准线的垂线,垂足为D,设为坐标原点,问:
是否存在实数λ,使A→=λD→?
多角度审题 这是一道探索存在性问题,应先假设存在,设出A、B两点坐标,从而得到D点坐标,再设出直线AB的方程,利用方程组和向量条求出λ
【答题模板】解 假设存在实数λ,使A→=λD→
抛物线方程为2=2px(p>0),
则Fp2,0,准线l:
x=-p2,
(1)当直线AB的斜率不存在,即AB⊥x轴时,
交点A、B坐标不妨设为:
Ap2,p,Bp2,-p
∵BD⊥l,∴D-p2,-p,
∴A→=-p2,-p,D→=-p2,-p,∴存在λ=1使A→=λD→[4分]
(2)当直线AB的斜率存在时,
设直线AB的方程为=x-p2(≠0),
设A(x1,1),B(x2,2),则D-p2,2,x1=212p,x2=222p,
由=x-p22=2px 得2-2p-p2=0,∴12=-p2,∴2=-p21,[8分]
A→=(-x1,-1)=-212p,-1,D→=-p2,2=-p2,-p21,
假设存在实数λ,使A→=λD→,则-212p=-p2λ-1=-p21λ,解得λ=21p2,∴存在实数λ=21p2,使A→=λD→
综上所述,存在实数λ,使A→=λD→[12分]
【突破思维障碍】
由抛物线方程得其焦点坐标和准线方程,按斜率存在和不存在讨论,由直线方程和抛物线方程组成方程组,研究A、D两点坐标关系,求出A→和D→的坐标,判断λ是否存在.
【易错点剖析】
解答本题易漏掉讨论直线AB的斜率不存在的情况,出现错误的原因是对直线的点斜式方程认识不足.1.关于抛物线的定义
要注意点F不在定直线l上,否则轨迹不是抛物线,而是一条直线.
2.关于抛物线的标准方程
抛物线的标准方程有四种不同的形式,这四种标准方程的联系与区别在于:
(1)p的几何意义:
参数p是焦点到准线的距离,所以p恒为正数.
(2)方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同,一次项系数的符号决定抛物线的开口方向.
3.关于抛物线的几何性质
抛物线的几何性质,只要与椭圆、双曲线加以对照,很容易把握,但由于抛物线的离心率等于1,所以抛物线的焦点弦具有很多重要性质,而且应用广泛.例如:
已知过抛物线2=2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A、B两点,设A(x1,1),B(x2,2),则有下列性质:
|AB|=x1+x2+p或|AB|=2psin2α(α为AB的倾斜角),12=-p2,x1x2=p24等.(满分:
7分)
一、选择题(每小题分,共2分)
1.(2011•大纲全国)已知抛物线:
2=4x的焦点为F,直线=2x-4与交于A,B两点,则s∠AFB等于( )
A4B3
.-3D.-4
2.(2011•湖北)将两个顶点在抛物线2=2px(p>0)上,另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n,则( )
A.n=0B.n=1
.n=2D.n≥3
3.已知抛物线2=2px,以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是( )
A.相离B.相交.相切D.不确定
4.(2011•泉州月考)已知点A(-2,1),2=-4x的焦点是F,P是2=-4x上的点,为使|PA|+|PF|取得最小值,则P点的坐标是( )
A-14,1B.(-2,22)
-14,-1D.(-2,-22)
.设为坐标原点,F为抛物线2=4x的焦点,A为抛物线上一点,若A→•AF→=-4,则点A的坐标为( )
A.(2,±2)B.(1,±2)
.(1,2)D.(2,2)
二、填空题(每小题4分,共12分)
6.(2011•重庆)设圆位于抛物线2=2x与直线x=3所围成的封闭区域(包含边界)内,则圆的半径能取到的最大值为________.
7.(2011•济宁期末)已知A、B是抛物线x2=4上的两点,线段AB的中点为(2,2),则|AB|=________
8.(2010•浙江)设抛物线2=2px(p>0)的焦点为F,点A(0,2).若线段FA的中点B在抛物线上,则B到该抛物线准线的距离为________.
三、解答题(共38分)
9.(12分)已知顶点在原点,焦点在x轴上的抛物线截直线=2x+1所得的弦长为1,求抛物线方程.
10.(12分)(2011•韶关模拟)已知抛物线:
x2=8AB是抛物线的动弦,且AB过F(0,2),分别以A、B为切点作轨迹的切线,设两切线交点为Q,证明:
AQ⊥BQ
11.(14分)(2011•济南模拟)已知定点F(0,1)和直线l1:
=-1,过定点F与直线l1相切的动圆圆心为点
(1)求动点的轨迹方程;
(2)过点F的直线l2交轨迹于两点P、Q,交直线l1于点R,求RP→•RQ→的最小值.
学案3 抛物线
自主梳理
1.相等 焦点 准线
自我检测
1.
2.B [因为抛物线的准线方程为x=-2,所以p2=2,所以p=4,所以抛物线的方程是2=8x所以选B]
3.B 4 B
堂活动区
例1 解题导引 重视定义在解题中的应用,灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化,是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.
解 将x=3代入抛物线方程
2=2x,得=±6
∵6>2,∴A在抛物线内部.
设抛物线上点P到准线l:
x=-12的距离为d,由定义知
|PA|+|PF|=|PA|+d,
当PA⊥l时,|PA|+d最小,最小值为72,
即|PA|+|PF|的最小值为72,
此时P点纵坐标为2,代入2=2x,得x=2,
∴点P坐标为(2,2).
变式迁移1 A [点P到抛物线焦点的距离等于点P到抛物线准线的距离,如图,|PF|+|PQ|=|PS|+|PQ|,故最小值在S,P,Q三点共线时取得,此时P,Q的纵坐标都是-1,点P的坐标为14,-1]
例2 解题导引
(1)求抛物线方程时,若由已知条可知所求曲线是抛物线,一般用待定系数法.若由已知条可知所求曲线的动点的轨迹,一般用轨迹法;
(2)待定系数法求抛物线方程时既要定位(即确定抛物线开口方向),又要定量(即确定参数p的值).解题关键是定位,最好结合图形确定方程适合哪种形式,避免漏解;
(3)解决抛物线相关问题时,要善于用定义解题,即把|PF|转化为点P到准线的距离,这种“化斜为直”的转化方法非常有效,要注意领会和运用.
解 方法一 设抛物线方程为
x2=-2p(p>0),
则焦点为F0,-p2,准线方程为=p2
∵(,-3)在抛物线上,且|F|=,
∴2=6p,2+-3+p22=, 解得p=4,=±26
∴抛物线方程为x2=-8,=±26,
准线方程为=2
方法二 如图所示,设抛物线方程为x2=-2p(p>0),
则焦点F0,-p2,
准线l:
=p2,作N⊥l,垂足为N
则|N|=|F|=,而|N|=3+p2,
∴3+p2=,∴p=4∴抛物线方程为x2=-8,
准线方程为=2由2=(-8)×(-3),得=±26
变式迁移2 解
(1)双曲线方程化为x29-216=1,
左顶点为(-3,0),由题意设抛物线方程为2=-2px(p>0)且-p2=-3,∴p=6∴方程为2=-12x
(2)由于P(2,-4)在第四象限且对称轴为坐标轴,可设方程为2=x(>0)或x2=n(n<0),代入P点坐标求得=8,n=-1,
∴所求抛物线方程为2=8x或x2=-
例3 解题导引 解决焦点弦问题时,抛物线的定义有着广泛的应用,而且还应注意焦点弦的几何性质.焦点弦有以下重要性质(AB为焦点弦,以2=2px(p>0)为例):
①12=-p2,x1x2=p24;
②|AB|=x1+x2+p
证明
(1)方法一 由抛物线的方程可得焦点坐标为Fp2,0设过焦点F的直线交抛物线于A,B两点的坐标分别为(x1,1)、(x2,2).
①当斜率存在时,过焦点的直线方程可设为
=x-p2,由=x-p2,2=2px,
消去x,得2-2p-p2=0(*)
当=0时,方程(*)只有一解,∴≠0,
由韦达定理,得12=-p2;
②当斜率不存在时,得两交点坐标为
p2,p,p2,-p,∴12=-p2
综合两种情况,总有12=-p2
方法二 由抛物线方程可得焦点Fp2,0,设直线AB的方程为x=+p2,并设A(x1,1),B(x2,2),
则A、B坐标满足x=+p2,2=2px,
消去x,可得2=2p+p2,
整理,得2-2p-p2=0,∴12=-p2
(2)直线A的方程为=1x1x,
∴点坐标为-p2,-p12x1,=-p12x1=-p212px1
∵点A(x1,1)在抛物线上,∴21=2px1
又由
(1)知,12=-p2,∴=12•121=2,∴B∥x轴.
变式迁移3 证明
(1)∵2=2px(p>0)的焦点Fp2,0,设直线方程为=x-p2(≠0),
由=x-p22=2px,消去x,得2-2p-p2=0
∴12=-p2,x1x2=1224p2=p24,
当不存在时,直线方程为x=p2,这时x1x2=p24
因此,x1x2=p24恒成立.
(2)1|AF|+1|BF|=1x1+p2+1x2+p2
=x1+x2+px1x2+p2x1+x2+p24
又∵x1x2=p24,代入上式得1|AF|+1|BF|=2p=常数,
所以1|AF|+1|BF|为定值.
后练习区
1.D [方法一 由=2x-4,2=4x,得x=1,=-2或x=4,=4
令B(1,-2),A(4,4),又F(1,0),
∴由两点间距离公式得|BF|=2,|AF|=,|AB|=3
∴s∠AFB=|BF|2+|AF|2-|AB|22|BF|•|AF|=4+2-42×2×
=-4
方法二 由方法一得A(4,4),B(1,-2),F(1,0),
∴FA→=(3,4),FB→=(0,-2),
∴|FA→|=32+42=,|FB→|=2
∴s∠AFB=FA→•FB→|FA→|•|FB→|=3×0+4×-2×2=-4]
2. [如图所示,A,B两点关于x轴对称,F点坐标为(p2,0),设A(,2p)(>0),则由抛物线定义,
|AF|=|AA1|,
即+p2=|AF|
又|AF|=|AB|=22p,
∴+p2=22p,整理,得2-7p+p24=0,①
∴Δ=(-7p)2-4×p24=48p2>0,
∴方程①有两相异实根,记为1,2,且1+2=7p>0,1•2=p24>0,
∴1>0,2>0,∴n=2]
3.
4.A [过P作P⊥l(l为抛物线的准线)于,则|PF|=|P|,
∴|PA|+|PF|=|PA|+|P|
∴当P点的纵坐标与A点的纵坐标相同时,|PA|+|P|最小,此时P点的纵坐标为1,把=1代入2=-4x,得x=-14,即当P点的坐标为-14,1时,|PA|+|PF|最小.]
.B
66-1解析 如图所示,若圆的半径取到最大值,需圆与抛物线及直线x=3同时相切,设圆心的坐标为(a,0)(a<3),则圆的方程为(x-a)2+2=(3-a)2,与抛物线方程2=2x联立得x2+(2-2a)x+6a-9=0,由判别式Δ=(2-2a)2-4(6a-9)=0,得a=4-6,故此时半径为3-(4-6)=6-1
7.42
解析 由题意可设AB的方程为=x+,与抛物线方程联立得x2-4x-4=0,线段AB中点坐标为(2,2),x1+x2=4=4,得=1
又∵1+2=(x1+x2)+2=4,
∴=0从而直线AB:
=x,|AB|=2||=42
8324
解析 抛物线的焦点F的坐标为p2,0,线段FA的中点B的坐标为p4,1,代入抛物线方程得1=2p×p4,解得p=2,故点B的坐标为24,1,故点B到该抛物线准线的距离为24+22=324
9.解 设直线和抛物线交于点A(x1,1),B(x2,2),
(1)当抛物线开口向右时,设抛物线方程为2=2px(p>0),则2=2px=2x+1,消去得,
4x2-(2p-4)x+1=0,
∴x1+x2=p-22,x1x2=14,(4分)
∴|AB|=1+2|x1-x2|
=•x1+x22-4x1x2
=•p-222-4×14=1,(7分)
则p24-p=3,p2-4p-12=0,解得p=6(p=-2舍去),
抛物线方程为2=12x(9分)
(2)当抛物线开口向左时,设抛物线方程为2=-2px(p>0),仿
(1)不难求出p=2,
此时抛物线方程为2=-4x(11分)
综上可得,
所求的抛物线方程为2=-4x或2=12x(12分)
10.证明 因为直线AB与x轴不垂直,
设直线AB的方程为=x+2,A(x1,1),B(x2,2).
由=x+2,=18x2,
可得x2-8x-16=0,x1+x2=8,x1x2=-16(4分)
抛物线方程为=18x2,求导得′=14x(7分)
所以过抛物线上A、B两点的切线斜率分别是
1=14x1,2=14x2,12=14x1•14x2
=116x1•x2=-1(10分)
所以AQ⊥BQ(12分)
11.解
(1)由题设点到点F的距离等于它到l1的距离,所以点的轨迹是以F为焦点,l1为准线的抛物线,
∴所求轨迹的方程为x2=4(分)
(2)由题意直线l2的方程为=x+1,与抛物线方程联立消去得x2-4x-4=0
记P(x1,1),Q(x2,2),则x1+x2=4,x1x2=-4(8分)
因为直线PQ的斜率≠0,易得点R的坐标为-2,-1(9分)
RP→•RQ→=x1+2,1+1•x2+2,2+1
=x1+2x2+2+(x1+2)(x2+2)
=(1+2)x1x2+2+2(x1+x2)+42+4
=-4(1+2)+42+2+42+4
=42+12+8,(11分)
∵2+12≥2,当且仅当2=1时取到等号.
RP→•RQ→≥4×2+8=16,即RP→•RQ→的最小值为16(14分)
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 高考 数学 理科 一轮 复习 抛物线 学案附 答案