全等三角形中档题.docx
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全等三角形中档题.docx
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全等三角形中档题
倍长中线(线段)造全等
1、已知:
如图,AD是△ABC的中线,BE交AC于E,交AD于F,且AE=EF,求证:
AC=BF
分析:
要求证的两条线段AC、BF不在两个全等的三角形中,因此证AC=BF困难,考虑能否通过辅助线把AC、BF转化到同一个三角形中,由AD是中线,常采用中线倍长法,故延长AD到G,使DG=AD,连BG,再通过全等三角形和等线段代换即可证出。
2、已知在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD上一点,且BE=AC,延长BE交AC于F,求证:
AF=EF
提示:
倍长AD至G,连接BG,证明ΔBDG≌ΔCDA
三角形BEG是等腰三角形
3、已知,如图△ABC中,AB=5,AC=3,则中线AD的取值围是_________.
4、在△ABC中,AC=5,中线AD=7,则AB边的取值围是()
A、1 C、5 5、已知: AD、AE分别是△ABC和△ABD的中线,且BA=BD,求证: AE=AC 6、如图,△ABC中,BD=DC=AC,E是DC的中点,求证: AD平分∠BAE. 7、已知CD=AB,∠BDA=∠BAD,AE是△ABD的中线,求证: ∠C=∠BAE 提示: 倍长AE至F,连结DF 证明ΔABE≌ΔFDE(SAS) 进而证明ΔADF≌ΔADC(SAS) 8、如图23,△ABC中,D是BC的中点,过D点的直线GF交AC于F,交AC的平行线BG于G点, DE⊥DF,交AB于点E,连结EG、EF. ⑴求证: BG=CF ⑵请你判断BE+CF与EF的大小关系,并说明理由。 9、如图,AD为的中线,DE平分交AB于E,DF平分交AC于F.求证: 方法1: 在DA上截取DG=BD,连结EG、FG 证明ΔBDE≌ΔGDEΔDCF≌ΔDGF 所以BE=EG、CF=FG 利用三角形两边之和大于第三边 方法2: 倍长ED至H,连结CH、FH 证明FH=EF、CH=BE 利用三角形两边之和大于第三边 10、如图,△ABC中,E、F分别在AB、AC上,DE⊥DF,D是中点,试比较BE+CF与EF的大小. 11、已知: 如图,在中,,D、E在BC上,且DE=EC,过D作交AE于点F,DF=AC. 求证: AE平分 方法1: 倍长AE至G,连结DG 方法2: 倍长FE至H,连结CH 截长补短 7.9作业: 已知,四边形ABCD中,AB∥CD,∠1=∠2, ∠3=∠4。 求证: BC=AB+CD。 1、如图,AD∥BC,点E在线段AB上,∠ADE=∠CDE,∠DCE=∠ECB. 求证: CD=AD+BC. 证明: 在CD上截取CF=BC 在△FCE与△BCE中, ∴△FCE≌△BCE(SAS), ∴∠2=∠1. 又∵AD∥BC, ∴∠ADC+∠BCD=180°, ∴∠DCE+∠CDE=90°, ∴∠2+∠3=90°,∠1+∠4=90°, ∴∠3=∠4. 在△FDE与△ADE中, ∴△FDE≌△ADE(ASA), ∴DF=DA, ∵CD=DF+CF, ∴CD=AD+BC. 2、已知: 如图,在△ABC中,∠C=2∠B,∠1=∠2. 求证: AB=AC+CD. 证明: 方法一(补短法) 延长AC到E,使DC=CE,则∠CDE=∠CED, ∴∠ACB=2∠E, ∵∠ACB=2∠B, ∴∠B=∠E, 在△ABD与△AED中, ∴△ABD≌△AED(AAS), ∴AB=AE. 又AE=AC+CE=AC+DC, ∴AB=AC+DC. 方法二(截长法) AB上截取AF=AC, 在△AFD与△ACD中, ∴△AFD≌△ACD(SAS), ∴DF=DC,∠AFD=∠ACD. 又∵∠ACB=2∠B, ∴∠FDB=∠B, ∴FD=FB. ∵AB=AF+FB=AC+FD, ∴AB=AC+CD. 3、如图,在△ABC中,∠BAC=60°,AD是∠BAC的平分线,且AC=AB+BD,求∠ABC的度数 4、如图,已知在△ABC中,∠B=60°,△ABC的角平分线AD,CE相交于点O,求证: OE=OD 5、已知中,,、分别平分和,、交于点,试判断、、的数量关系,并加以证明. 6、如图,已知在,,,P,Q分别在BC,CA上,并且AP,BQ分别是,的角平分线。 求证: BQ+AQ=AB+BP 7、如图在△ABC中,AB>AC,∠1=∠2,P为AD上任意一点,求证;AB-AC>PB-PC 8、如图,点为正三角形的边所在直线上的任意一点(点除外),作,射线与外角的平分线交于点,与有怎样的数量关系? 角平分线上的点向角两边引垂线段 1、如图,在四边形ABCD中,BC>BA,AD=CD, 求证: ∠BAD+∠C=180° 2、如图,四边形ABCD中,AC平分∠BAD, CE⊥AB于E,AD+AB=2AE,则∠B与∠ADC互补. 为什么? 3、如图4,在△ABC中,BD=CD,∠ABD=∠ACD,求证AD平分∠BAC. A B C D 4、如图,在△ABC中,∠ABC=100°,∠ACB=20°,CE平分∠ACB,D是AC上一点,若∠CBD=20°,求∠ADE的度数. 7.5作业: 已知,AB>AD,∠1=∠2,CD=BC。 求证: ∠ADC+∠B=180°。 7.6作业: 如图,在△ABC中∠ABC,∠ACB的外角平分线交P.求证: AP是∠BAC的角平分线 7.6作业: 如图,∠B=∠C=90°,AM平分∠DAB,DM平分∠ADC求证: 点M为BC的中点 连接法(构造全等三角形) 7.9作业: 已知: 如图所示,AB=AD,BC=DC,E、F分别是DC、BC的中点,求证: AE=AF。 D B Cc A F E 1、如图,直线AD与BC相交于点O,且AC=BD,AD=BC.求证: CO=DO. 2、已知: 如图16,AB=AE,BC=ED,点F是CD的中点,AF⊥CD.求证: ∠B=∠E. 3、如图11-30,已知AB=AE,∠B=∠E,BC=ED,点F是CD的中点.求证: AF⊥CD. 4、在正取一点,使,在外取一点,使,且,求. 5、如图所示,BD=DC,DE⊥BC,交∠BAC的平分线于E,EM⊥AB,EN⊥AC,求证: BM=CN 6、如图,在△ABD和△ACD中,AB=AC,∠B=∠C.求证: △ABD≌△ACD. 全等+角平分线性质 1、如图21,AD平分∠BAC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,且DB=DC,求证: EB=FC 2、已知: 如图所示,BD为∠ABC的平分线,AB=BC,点P在BD上,PM⊥AD于M,PN⊥CD于N,判断PM与PN的关系. 全等+等腰性质 1、如图,在△ABE中,AB=AE,AD=AC,∠BAD=∠EAC,BC、DE交于点O. 求证: (1)△ABC≌△AED; (2)OB=OE. 2、.已知: 如图,B、E、F、C四点在同一条直线上,AB=DC,BE=CF,∠B=∠C. 求证: OA=OD. 两次全等 7.4作业: AB=AC,DB=DC,F是AD的延长线上的一点。 求证: BF=CF 1、如图,D、E、F、B在一条直线上AB=CD,∠B=∠D,BF=DE. 求证: (1)AE=CF; (2)AE∥CF (3)∠AFE=∠CEF 2、如图: A、E、F、B四点在一条直线上,AC⊥CE,BD⊥DF,AE=BF,AC=BD。 求证: △ACF≌△BDE 3、如图,在四边形ABCD中,E是AC上的一点,∠1=∠2,∠3=∠4,求证: ∠5=∠6. 4、已知如图,E、F在BD上,且AB=CD,BF=DE,AE=CF 求证: AC与BD互相平分 由BF=DF,得BE=DF ∴△ABE≌△CDF,∴∠B=∠D 再证△AOB≌△COD,得OA=OC,OB=OD 即AC、BD互相平分 5、如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°DE⊥AC于点F,交BC于点G,交AB的延长线于点E,且AE=AC.求证: BG=FG 直角三角形全等(余角性质) 作业: 如图,在等腰Rt△ABC中,∠C=90°,D是斜边上AB上任一点,AE⊥CD于E,BF⊥CD交CD的延长线于F,CH⊥AB于H点,交AE于G. 求证: BD=CG. 1、如图,将等腰直角三角形ABC的直角顶点置于直线l上,且过A,B两点分别作直线l的垂线,垂足分别为D,E,请你在图中找出一对全等三角形,并写出证明它们全等的过程. 解: 全等三角形为: △ACD≌△CBE. 证明如下: 由题意知∠CAD+∠ACD=90°, ∠ACD+∠BCE=90°, ∴∠CAD=∠BCE. 在△ACD与△CBE中, ∠ADC=∠CEB=90°∠CAD=∠BCEAC=BC, ∴△ACD≌△CBE(AAS). 2、如图,∠ABC=90°,AB=BC,D为AC上一点,分别过A、C作BD的垂线,垂足分别为E、F 求证: EF=CF-AE 证△ABE≌△BCF,得BE=CF,AE=BF, ∴EF=BE-BF=CF-AE 3、在△ABC中,,,直线经过点,且于,于. (1)当直线绕点旋转到图1的位置时, 求证: ①≌;②; (2)当直线绕点旋转到图2的位置时, (1)中的结论还成立吗? 若成立,请给出证明;若不成立,说明理由. 4、如图: BE⊥AC,CF⊥AB,BM=AC,CN=AB。 求证: (1)AM=AN; (2)AM⊥AN。 作平行线 1、已知△ABC,AB=AC,E、F分别为AB和AC延长线上的点,且BE=CF,EF交BC于G.求证: EG=GF. 2、如图,在△ABC中,AB=AC,BD平分∠ABC,DE⊥BD于D,交BC于点E. 求证: CD=BE 证明: 过点D作DF∥AB交BC于点F. ∵BD平分∠ABC,∴∠1=∠2. ∵DF∥AB,∴∠1=∠3,∠4=∠ABC. ∴∠2=∠3,∴DF=BF. ∵DE⊥BD,∴∠2+∠DEF=90º,∠3+∠5=90º. ∴∠DEF=∠5.∴DF=EF. ∵AB=AC,∴∠ABC=∠C. ∴∠4=∠C,CD=DF. ∴CD=EF=BF,即CD=BE. 延长角平分线的垂线段 1、如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,CE⊥AD于E. 求证: ∠ACE=∠B+∠ECD. 分析: 注意到AD平分∠BAC,CE⊥AD,于是可延长CE交AB于点F,即可构造全等三角形. 证明: 延长CE交AB于点F. ∵AD平分∠BAC, ∴∠FAE=∠CAE. ∵CE⊥AD, ∴∠FEA=∠CEA=90º. 在△FEA和△CEA中, ∠FAE=∠CAE, AE=AE, ∠FEA=∠CEA. ∴△FEA≌△CEA. ∴∠ACE=∠AFE. ∵∠AFE=∠B+∠ECD, ∴∠ACE=∠B+∠ECD. 2、如图,△ABC中,∠BAC=90度,AB=AC,BD是∠ABC的平分线,BD的延长线垂直于过C点的直线于E,直线CE交BA的延长线于F. 求证: BD=2CE. 3、如图: ∠BAC=90°,CE⊥BE,AB=AC,BD是∠ABC的平分线,求证: BD=2EC 4、已知,如图34,△ABC中,∠ABC=90º, AB=BC,AE是∠A的平分线,CD⊥AE于D. 求证: CD=AE. 面积法 例1如图1,在△ABC中,∠BAC的角平分线AD平分底边BC.求证AB=AC. 分析: 根据已知可
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