平行线的证明.docx
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平行线的证明
平行线的证明
1、平行线的判断
公理:
同位角相等,两直线平行.
定理:
同旁内角互补,两直线平行;
内错角相等,两直线平行.
推理:
平行于同一直线的两直线平行;
垂直于同一直线的两直线平行.
2、平行线的特征
公理:
两直线平行,同位角相等.
定理:
两直线平行,内错角相等;
两直线平行,同旁内角互补.
典题精炼
1、定义与命题
【例1】下列语句是命题的是()
A.作直线AB的垂线B.在线段AB上取点C
C.同旁内角互补D.垂线段最短吗?
【变式练习1】下列语句不是命题的是()
A.相等的角不是对顶角B.两直线平行,内错角相等
C.两点之间线段最短D.过点O作线段MN的垂线
【变式练习2】下列说法中,错误的是()
A.所有的定义都是命题B.所有的定理都是命题
C.所有的公理都是命题D.所有的命题都是定理
【例2】下列命题中,属于假命题的是()
A.若a⊥c,b⊥c,则a⊥bB.若a∥b,b∥c,则a∥c
C.若a⊥c,b⊥c,则a∥bD.若a⊥c,b∥a,则b⊥c
【变式练习1】“一次函数y=kx-2,当k>0时,y随x
的增大而增大”是一个_______命题(填“真”或“假”).
【变式练习2】下列命题为假命题的是( )
A.三角形三个内角的和等于180°B.三角形两边之和大于第三边
C.三角形两边的平方和等于第三边的平方
D.三角形的面积等于一条边的长与该边上的高的乘积的一半
【例3】命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是()
A.垂直B.两条直线
C.同一条直线D.两条直线垂直于同一条直线
【变式练习1】把“同旁内角互补,两直线平行”写成“如果,那么”.
【变式练习2】在△ABC和△DEF中,∠A=∠D,CM、FN分别是AB、DE边上的中线,再从以下三个条件①AB=DE,②AC=DF,③CM=FN中任取两个条件做为条件,另一个条件做为结论,能构成一个真命题,那么题设可以是①②,结论是③.(只填序号)
【例4】对于命题“如果∠1+∠2=90°,那么∠1≠∠2”,能说明它是假命题的反例是()
A.∠1=50°,∠2=40°B.∠1=50°,∠2=50°
C.∠1=∠2=45°D.∠1=40°,∠2=40°
【变式练习1】证明命题“若x(1-x)=0,则x=0”是假命题的反例是.
【变式练习2】用反证法证明命题:
如果AB∥CD,AB∥EF,那么CD∥EF.证明的第一步应是( )
A.假设CD∥EFB.假设CD不平行于EF
C.假设AB∥EFD.假设AB不平行于EF
【例5】下列说法正确的是()
A.命题一定是正确的B.不正确
的判断就不是命题
C.真命题都是公理D.定理都是真命题
【变式练习1】“两点之间线段最短”是_________(填“定义”或“公理”或“定理”).
【变式练习2】“两条直线相交成直角,就叫做两条直线相互垂直”这句子是()
A.定义B.命题C.公理D.定理
2、平行线的判定和性质
【例1】(2013年辽宁抚顺)如图,直线l1、l2被直线l3、l4所截,下列条件,不能判断直线l1∥l2的是( )
A.∠1=∠3B.∠5=∠4C.∠5+∠3=180°D.∠4+∠2=180°
【变式练习1】(2013年贵州铜仁)如图,在下列条件中,能判断AD∥BC的是( )
A.∠DAC=∠BCAB.∠DCB+∠ABC=180°C.∠ABD=∠BDCD.∠BAC=∠ACD
【变式练习2】如图,给出了过直线外一点画已知直线的平行线的方法,其依据是( )
A.同位角相等,两直线平行B.内错角相等,两直线平行
C.同旁内角互补,两直线平行D.两直线平行,同位角相等
【变式练习3】学习了平行线后,小敏想出了过己知直线外一点画这条直线的平行线的新方法,她是通过折一张半透明的纸得到的(如图
(1)~(4)),从图中可知,小敏画平行线的依据有( )
①两直线平行,同位角相等;②两直线平行,内错角相等;
③同位角相等,两直线平行;④内错角相等,两直线平行.
A.①②B.②③C.③④D.①④
【例2】(2013年贵州遵义)如图,直线l1∥l2,若∠1=140°,∠2=70°,则∠3的度数是( )
A.60°B.65°C.70°D.80°
【变式练习1】如图,把矩形ABCD沿直线EF折叠,若∠1=20°,则∠2=( )
A.20°B.40°C.70°D.80°
【变式练习2】如图,将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放,两个三角板的一直角边重合,含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合,含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上,则∠1的度数是( )
A.14°B.15°C.20°D.30°
【例3】如图,已知直线l1∥l2∥l3∥l4,相邻两条平行直线间的距离都是1,如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上,则正方形ABCD的面积是.
【变式练习1】如图,若AB∥CD∥EF∥GH,∠OAB=∠AOG=108°,AO⊥OE,CO⊥OG,则∠OCD+∠OEF=(这里∠OCD,∠OEF均小于180°).
【变式练习2】已知射线AB∥射线CD,点E、F分别在射线AB、CD上.
(1)如图1,点P在线段EF上,若∠A=25°,∠APC=70°时,则∠C=;
45°
(2)如图1,若点P在线段EF上运动(不包括E、F两点),则∠A、∠APC、∠C之间的等量关系
是,∠APC=∠A+∠C证明你的结论;
(3)①如图2,若点P在射线FE上运动(不包括线段EF),则∠A、∠APC、∠C之间的等量关系
是∠APC=∠C-∠A;②如图3,若点P在射线EF上运动(不包括线段EF),则∠A、∠APC、∠C之间的等量关系是∠APC=∠A-∠C.
【变式练习3】如图,直线AC∥BD,连接AB,直线AC,BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分,规定:
线上各点不属于任何部分.当动点P落在某个部分时,连接PA,PB,构成∠PAC,∠APB,∠PBD三个角.(提示:
有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角)
(1)当动点P落在第①部分时,求证:
∠APB=∠PAC+∠PBD;
(2)当动点P落在第②部分时,∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立?
(直接回答成立或不成立)
(3)当动点P落在第③部分时,全面探究∠PAC,∠APB,∠PBD之间的关系,并写出动点P的具体位置和相应的结论.选择其中一种结论加以证明.
3、三角形内角和定理
【例1】(2013年福建泉州)在△ABC中,∠A=20°,∠B=60°,则△ABC的形状是( )
A.等边三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三角形
【变式练习1】如图,AE是△ABC的角平分线,AD⊥BC于点D,若∠BAC=128°,∠C=36°,则∠DAE的度数是( )
A.10°B.12°C.15°D.18°
【变式练习2】如图,AB⊥AC,CD、BE分别是△ABC的角平分线,AG∥BC,AG⊥BG,下列结论:
①∠BAG=2∠ABF;②BA平分∠CBG;③∠ABG=∠ACB;④∠CFB=135°.其中正确的结论是( )
A.
B.
C.
D.
【变式练习3】如图所示是D,E,F,G四点在△ABC边上的位置.根据图中的符号和数据,求x+y的值( )
A.110B.120C.160D.165
【例2】一副三角板有两个直角三角形,如图叠放在一起,则∠α的度数是( )
A.165°B.120°C.150°D.135°
【变式练习1】如图所示,l1∥l2,则下列式子中值为180°的是( )
A.
B.
C.
D.
【变式练习2】如图,已知△ABC中,∠B=∠E=40°,∠BAE=60°,且AD平分∠BAE.
(1)求证:
BD=DE;
(2)若AB=CD,求∠ACD的大小.
【例3】如图:
∠ABC与∠ACG的平分线交于F1;∠F1BC与∠F1CG的平分线交于F2;∠F2BC与∠F2CG的平分线交于F3;如此下去,…探究∠Fn与∠A的关系(n为自然数).
【变式练习1】已知△ABC中,∠BAC=100°.
(1)若∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O,如图1所示,试求∠BOC的大小;
(2)若∠ABC和∠ACB的三等分线(即将一个角平均分成三等分的射线)相交于O,O1,如图2所示,试求∠BOC的大小;
(3)如此类推,若∠ABC和∠ACB的n等分线自下而上依次相交于O,O1,O2…,如图3所示,试探求∠BOC的大小与n的关系,并判断当∠BOC=170°时,是几等分线的交线所成的角.
【变式练习2】如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,P为线段AD上的一个动点,PE⊥AD交直线BC于点E.
(1)若∠B=35°,∠ACB=85°,求∠E的度数;
(2)当P点在线段AD上运动时,猜想∠E与∠B、∠ACB的数量关系,写出结论无需证明.
4、培优训练
【例1】认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段,完成所提出的问题.
探究1:
如图1,在△ABC中,O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点,分析发现∠BOC=90°+
∠A,理由如下:
∵BO和CO分别是∠ABC,∠ACB的角平分线
∴∠1+∠2=
(∠ABC+∠ACB)=
(180°-∠A)=90°-
∠A
∴∠BOC=180°-(∠1+∠2)=180°-(90°-
∠A)=90°+
∠A
(1)探究2:
如图2中,O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点,试分析∠BOC与∠A有怎样的关系?
请说明理由.
(2)探究3:
如图3中,O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点,则∠BOC与∠A有怎样的关系?
(直接写出结论)
(3)拓展:
如图4,在四边形ABCD中,O是∠ABC与∠DCB的平分线BO和CO的交点,则∠BOC与∠A+∠D有怎样的关系?
(直接写出结论)
(4)运用:
如图5,五边形ABCDE中,∠BCD、∠EDC的外角分别是∠FCD、∠GDC,CP、DP分别平分∠FCD和∠GDC且相交于点P,若∠A=140°,∠B=120°,∠E=90°,则∠CPD=95度.
【例2】如图,∠AOB=90°,点C、D分别在射线OA、OB上,CE是∠ACD的平分线,CE的反向延长线与∠CDO的平分线交于点F.
(1)当∠OCD=50°(图1),试求∠F.
(2)当C、D在射线OA、OB上任意移动时(不与点O重合)(图2),∠F的大小是否变化?
若变化,请说明理由;若不变化,求出∠F.
【例3】如图1,直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F,∠1与∠2互补.
(1)试判断直线AB与直线CD的位置关系,并说明理由;
(2)如图2,∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P,EP与CD交于点G,点H是MN上一点,且GH⊥EG,求证:
PF∥GH;
(3)如图3,在
(2)的条件下,连接PH,K是GH上一点使∠PHK=∠HPK,作PQ平分∠EPK,问∠HPQ的大小是否发生变化?
若不变,请求出其值;若变化,说明理由.
【例4】如图,A、B两点同时从原点O出发,点A以每秒x个单位长度沿x轴的负方向运动,点B以每秒y个单位长度沿y轴的正方向运动.
(1)若|x+2y﹣5|+|2x﹣y|=0,试分别求出1秒钟后A、B两点的坐标;
(2)设∠BAO的邻补角和∠ABO的邻补角的平分线相交于点P,
问:
点A、B在运动的过程中,∠P的大小是否会发生变化?
若不发生变化,请求出其值;若发生变化,请说明理由;
(3)如图,延长BA至E,在∠ABO的内部作射线BF交x轴于点C,若∠EAC、∠FCA、∠ABC的平分线相交于点G,过点G作BE的垂线,垂足为H,试问∠AGH和∠BGC的大小关系如何?
请写出你的结论并说明理由.
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