西南交大材料力学弯曲位移一.ppt
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西南交大材料力学弯曲位移一.ppt
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第5章梁弯曲时的位移,5-1梁的位移挠度及转角,图5-1,西南交通大学应用力学与工程系材料力学教研室,挠度:
横截面的形心(即轴线上的点)在y方向的线位移w。
在图示坐标系中,w向下为正。
转角:
横截面对其原来位置的角位移。
也等于平面曲线AC1B在C1点的切线和x轴的夹角。
在图示坐标系中,顺时针转向的为正。
挠曲线方程:
横截面的挠度w与横截面位置x有关,即w=f(x)为挠曲线方程。
转角方程:
转角很小,有:
表明挠曲线在任一点的切线斜率足够精确地代表该截面的转角。
5-2梁的挠曲线近似微分方程及其积分,纯弯曲时:
横力弯曲时(不计剪力FS的影响):
所以:
几何上:
因为在小变形情况下:
即:
对于本书采用的坐标系,由下图可见:
此即为挠曲线的近似微分方程,其积分为:
对等直梁:
C1、D1为常数,由梁的边界条件(包括位移约束和连续条件)确定。
常数C1、D1确定后,代入上两式即可分别得到梁转角方程和挠曲线方程,从而可确定任一截面的转角和挠度。
解:
x截面处弯矩方程为:
如图坐标系,有:
例:
弯曲刚度为EI的悬臂梁如图,求梁的挠曲线方程及其最大挠度wmax。
积分一:
积分二:
利用边界条件(约束条件)来确定待定常数:
约束条件:
因此:
(顺时针),(向下),根据悬臂梁的变形可知,其最大变形发生在自由端,即:
积分法求解梁位移的思路:
建立合适的坐标系;,求弯矩方程M(x);,建立近似微分方程:
用约束条件或连续条件,确定积分常数;,一般求极值可用数学方法,也可由挠曲线直接判别。
根据本书的规定坐标系,取负号进行分析。
例:
由积分法求图示梁的wA、A。
解:
1)坐标系如图;,AC段:
则近似微分方程为:
积分可得:
2)分两段进行分析:
BC段:
积分可得:
则近似微分方程为:
利用约束和连续条件确定C1、D1、C2、D2四个常数:
时,,约束条件:
连续条件:
处,,由此可得:
即:
由此可得:
最后可得:
(向下),(逆时针),
(2)由约束和连续条件求积分常数;,
(1)两段:
四个常数,每增加一段,就增加两个积分常数;,小结:
(3)坐标原点一律放在左边,分段写出M(x);,(4)注意x的范围。
例:
利用积分法求图示弯曲刚度为EI的梁B点的挠度以及B点左右两截面的相对转角。
解:
坐标系如图,分AB、BC两段分析:
AB段:
则:
积分可得:
BC段:
则:
积分可得:
确定C1、D1、C2、D2四个常数:
(1)约束条件:
时,,a),由此可得:
则:
则:
b)处,,处,,故:
(2)连续条件:
最后可得:
(向下),挠曲线形状如下图所示:
B点左右两截面的相对转角为:
例:
求图示弯曲刚度为EI的简支梁的挠曲线和转角方程,并确定其最大挠度和最大转角。
解:
坐标系如图,求出反力。
AD段:
则:
分AD、DB两段分析:
积分可得:
DB段:
则:
直接以(x-a)作为自变量进行积分,可得:
确定C1、C2、D1、D2四个常数:
则:
处,,
(1)连续条件:
由此可得:
b)处,,由此可得:
(2)约束条件:
则梁的挠曲线和转角方程为:
AD段:
DB段:
由此可得梁左右两支座截面的转角分别为:
梁的变形曲线以及相关的量见下图。
对AD段,由w1=0可得极值点位置为:
当ab时,右支座截面的转角绝对值最大,为:
当ab时,可见x1将小于a,则最大挠度在AD段,为:
当载荷接近于右支座,即b很小时,由上式可得:
而此时梁中点C截面处的挠度为:
两者相差也不超过中点挠度的3%。
因此,在简支梁中,只要挠曲线无拐点,即可有中点挠度来代替最大挠度。
当载荷作用在梁的中点,即a=b=l/2时,其最大转角和挠度为:
总结:
遵循了两个规则,即,1)对各段都参照同一坐标原点建立弯矩方程;,2)以(x-a)为自变量对(x-a)项进行积分,则由x=a处的连续条件可得两段梁对应的积分常数分别相等的结果。
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- 西南 交大 材料力学 弯曲 位移