湖南各中考数学分类解析专项9三角形.docx
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湖南各中考数学分类解析专项9三角形
湖南各2019年中考数学分类解析-专项9:
三角形
专题9:
三角形
选择题
1.〔2018湖南张家界3分〕以下不是必然事件的是【】
A、角平分线上的点到角两边的距离相等
B、三角形任意两边之和大于第三边
C、面积相等的两个三角形全等
D、三角形内心到三边距离相等
【答案】C。
【考点】随机事件,必然事件。
【分析】A、为必然事件,不符合题意;B、为必然事件,不符合题意;C、为不确定事件,面积相等的三角形不一定全等,符合题意;D、为必然事件,不符合题意。
应选C。
2.〔2018湖南怀化3分〕等腰三角形的底边长为6,底边上的中线长为4,它的腰长为【】【来源:
Z。
A、7B、6C、5D、4
【答案】C。
【考点】等腰三角形的性质,勾股定理。
【分析】如图,△ABC中AB=AC,AD是BC边上的中线,根据等腰三角形三线合一的性质,AD⊥BC。
在RT△ABD中,BD=
×6=3,AD=4,根据勾股定理,得AB=5。
应选C。
3.〔2018湖南湘潭3分〕把等腰△ABC沿底边BC翻折,得到△DBC,那么四边形ABDC【】
A、是中心对称图形,不是轴对称图形B、是轴对称图形,不是中心对称图形
C、既是中心对称图形,又是轴对称图形D、以上都不正确
【答案】C。
【考点】翻折变换〔折叠问题〕,等腰三角形的性质,菱形的判定,中心对称图形和轴对称图形。
【分析】∵等腰△ABC沿底边BC翻折,得到△DBC,∴四边形ABDC是菱形。
∵菱形既是中心对称图形,又是轴对称图形,
∴四边形ABDC既是中心对称图形,又是轴对称图形。
应选C。
二、填空题
1.〔2018湖南常德3分〕如图,在RT△ABC中,∠C=90º,AD是∠BAC的平分线,DC=2,那么D到AB边的距离是▲。
【答案】2。
【考点】点到直线的距离,角平分线的性质。
【分析】过D作DE⊥AB于E,那么DE的长度就是D到AB边的距离、
∵AD平分∠CAB,∠ACD=90°,DE⊥AB,
∴DC=DE=2〔角平分线上的点到角的两边的距离相等〕。
2.〔2018湖南张家界3分〕△ABC与△DEF相似且面积比为4:
25,那么△ABC与△DEF的相似比为▲、
【答案】2:
5。
【考点】相似三角形的性质。
【分析】∵△ABC∽△DEF,∴△ABC与△DEF的面积比等于相似比的平方,
∵
,∴△ABC与△DEF的相似比为2:
5。
3.〔2018湖南岳阳3分〕如图,在RT△ABC中,∠B=90°,沿AD折叠,使点B落在斜边AC上,假设AB=3,BC=4,那么BD=▲、
【答案】
。
【考点】翻折变换〔折叠问题〕。
1052629
【分析】如图,点E是沿AD折叠,点B的对应点,连接ED,
∴∠AED=∠B=90°,AE=AB=3,
∵在RT△ABC中,∠B=90°,AB=3,BC=4,
∴
。
∴EC=AC﹣AE=5﹣3=2。
设BD=ED=X,那么CD=BC﹣BD=4﹣X,
在RT△CDE中,CD2=EC2+ED2,即:
〔4﹣X〕2=X2+4,解得:
X=
。
∴BD=
。
4.〔2018湖南岳阳3分〕如图,△ABC中,AB=AC,D是AB上的一点,且AD=
AB,DF∥BC,E为BD的中点、假设EF⊥AC,BC=6,那么四边形DBCF的面积为▲、
【答案】15。
【考点】相似三角形的判定与性质;等腰三角形的性质;勾股定理。
【分析】如图,过D点作DG⊥AC,垂足为G,过A点作AH⊥BC,垂足为H,
∵AB=AC,点E为BD的中点,且AD=
AB,
∴设BE=DE=X,那么AD=AF=4X。
∵DG⊥AC,EF⊥AC,
∴DG∥EF,∴
,即
,解得
。
∵DF∥BC,∴△ADF∽△ABC,∴
,即
,解得DF=4。
又∵DF∥BC,∴∠DFG=∠C,
∴RT△DFG∽RT△ACH,∴
,即
,解得
。
在RT△ABH中,由勾股定理,得
。
∴
。
又∵△ADF∽△ABC,∴
,∴
∴
。
5.〔2018湖南郴州3分〕如图,D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点,连接DE,要使△ADE∽△ACB,还需添加一个条件▲〔只需写一个〕、
【答案】∠ADE=∠C〔答案不唯一〕。
【考点】相似三角形的判定,开放题。
【分析】∵∠A是公共角,
∴当∠ADE=∠C或∠AED=∠B时,△ADE∽△ACB〔有两角对应相等的三角形相似〕;
当AD:
AC=AE:
AB或AD•AB=AE•AC时,△ADE∽△ACB〔两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似〕。
∴要使△ADE∽△ACB,还需添加一个条件:
答案不唯一,如∠ADE=∠C或∠AED=∠B或AD:
AC=AE:
AB或AD•AB=AE•AC等。
6.〔2018湖南衡阳3分〕观察以下等式
①SIN30°=
COS60°=
②SIN45°=
COS=45°=
③SIN60°=
COS30°=
…
根据上述规律,计算SIN2A+SIN2〔90°﹣A〕=▲、
【答案】1。
【考点】分类归纳〔数字的变化类〕,互余两角三角函数的关系。
【分析】根据①②③可得出规律,即SIN2A+SIN2〔90°﹣A〕=1,继而可得出答案
由题意得,SIN230°+SIN2〔90°﹣30°〕=SIN230°+SIN260°=
;
SIN245°+SIN2〔90°﹣45°〕=SIN245°+SIN245°=
;
SIN260°+SIN2〔90°﹣60°〕=SIN260°+SIN230°=
;
…
∴SIN2A+SIN2〔90°﹣A〕=1。
【三】解答题
1.〔2018湖南长沙9分〕如图,正方形ABCD中,BE平分∠DBC且交CD边于点E,将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置,并延长BE交DF于点G、
〔1〕求证:
△BDG∽△DEG;
〔2〕假设EG•BG=4,求BE的长、
【答案】〔1〕证明:
∵将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置,∴△BCE≌△DCF。
∴∠FDC=∠EBC。
∵BE平分∠DBC,∴∠DBE=∠EBC。
∴∠FDC=∠EBE。
又∵∠DGE=∠DGE,∴△BDG∽△DEG。
〔2〕解:
∵△BCE≌△DCF,∴∠F=∠BEC,∠EBC=∠FDC。
∵四边形ABCD是正方形,∴∠DCB=90°,∠DBC=∠BDC=45°。
∵BE平分∠DBC,∴∠DBE=∠EBC=22.5°=∠FDC。
∴∠BDF=45°+22.5°=67.5°,∠F=90°﹣22.5°=67.5°=∠BDF。
∴BD=BF,
∵△BCE≌△DCF,∴∠F=∠BEC=67.5°=∠DEG。
∴∠DGB=180°﹣22.5°﹣67.5°=90°,即BG⊥DF。
∵BD=BF,∴DF=2DG。
∵△BDG∽△DEG,BG×EG=4,∴
。
∴BG×EG=DG×DG=4。
∴DG=2
∴BE=DF=2DG=4。
【考点】旋转的性质,正方形的性质,相似三角形的判定和性质,全等三角形的性质,三角形内角和定理。
【分析】〔1〕根据旋转性质求出∠EDG=∠EBC=∠DBE,根据相似三角形的判定推出即可。
〔2〕先求出BD=BF,BG⊥DF,求出BE=DF=2DG,根据相似求出DG的长,即可求出答案。
2.〔2018湖南益阳6分〕如图,AE∥BC,AE平分∠DAC、
求证:
AB=AC、
【答案】证明:
∵AE平分∠DAC,∴∠1=∠2。
∵AE∥BC,∴∠1=∠B,∠2=∠C。
∴∠B=∠C。
∴AB=AC。
【考点】角平分线的定义,平行线的性质,等腰三角形的判定。
【分析】根据角平分线的定义可得∠1=∠2,再根据两直线平行,同位角相等可得∠1=∠B,两直线平行,内错角相等可得∠2=∠C,从而得到∠B=∠C,然后根据等角对等边即可得证。
3.〔2018湖南益阳8分〕超速行驶是引发交通事故的主要原因之一、上周末,小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速、如图,观测点设在A处,离益阳大道的距离〔AC〕为30米、这时,一辆小轿车由西向东匀速行驶,测得此车从B处行驶到C处所用的时间为8秒,∠BAC=75°、
〔1〕求B、C两点的距离;
〔2〕请判断此车是否超过了益阳大道60千米/小时的限制速度?
〔计算时距离精确到1米,参考数据:
SIN75°≈0.9659,COS75°≈0.2588,TAN75°≈3.732,
,60千米/小时≈16.7米/秒〕
【答案】解:
〔1〕在RT△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=75°,AC=30,
∴BC=AC•TAN∠BAC=30×TAN75°≈30×3.732≈112〔米〕。
〔2〕∵此车速度=112÷8=14〔米/秒〕《16.7〔米/秒〕=60〔千米/小时〕
∴此车没有超过限制速度。
【考点】解直角三角形的应用,锐角三角函数定义。
【分析】〔1〕由于A到BC的距离为30米,可见∠C=90°,根据75°角的三角函数值求出BC的距离。
〔2〕根据速度=路程÷时间即可得到汽车的速度,与60千米/小时进行比较即可。
4.〔2018湖南常德7分〕如图,一天,我国一渔政船航行到A处时,发现正东方向的我领海区域B处有一可疑渔船,正在以12海里∕小时的速度向西北方向航行,我渔政船立即沿北偏东60º方向航行,1.5小时后,在我领海区域的C处截获可疑渔船。
问我渔政船的航行路程是多少海里?
(结果保留根号)
【答案】解:
如图:
作CD⊥AB于点D,
∵在RT△BCD中,BC=12×1.5=18海里,∠CBD=45°,
∴CD=BC•SIN45°=
〔海里〕。
∴在RT△ACD中,AC=CD÷SIN30°=
〔海里〕。
答:
我渔政船的航行路程是
海里。
【考点】解直角三角形的应用〔方向角问题〕,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。
【分析】过C点作AB的垂线,垂足为D,构建RT△ACD,RT△BCD,解这两个直角三角形即可。
5.〔2018湖南张家界8分〕黄岩岛是我国南海上的一个岛屿,其平面图如图甲所示,小明据此构造出该岛的一个数学模型如图乙所示,其中∠A=∠D=90°,AB=BC=15千米,CD=
千米,请据此解答如下问题:
〔1〕求该岛的周长和面积;〔结果保留整数,参考数据
〕
〔2〕求∠ACD的余弦值、
【答案】解:
〔1〕连接AC,
∵AB=BC=15,∠B=90°,
∴∠BAC=∠ACB=45°,AC=15
。
又∵∠D=90°,
∴
。
∴周长=AB+BC+CD+DA=30+3
+12
≈30+4.23+20.76≈55〔千米〕
面积
〔平方千米〕。
〔2〕
。
【考点】解直角三角形的应用,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。
【分析】〔1〕连接AC,根据AB=BC=15千米,∠B=90°得到∠BAC=∠ACB=45°AC=152千米,再根据∠D=90°利用勾股定理求得AD的长后即可求周长和面积。
〔2〕直接利用余弦的定义求解即可。
6.〔2018湖南岳阳6分〕九〔一〕班课题学习小组,为了了解大树生长状况,去年在学校门前点A处测得一棵大树顶点C的仰角为30°,树高5M;今年他们仍在原点A处测得大树D的仰角为37°,问这棵树一年生长了多少M?
〔参考数据:
SIN37°≈0.6,COS37°≈0.8,TAN37°≈0.75,
≈1.732〕
【答案】解:
根据题意得:
∠DAB=37°,∠CAB=30°,BC=5M,
在RT△ABC中,
,
在RT△DAB中,BD=AB•TAN37°≈
×0.75≈6.495〔M〕,
∴CD=BD﹣BC=6.495﹣5=1.495〔M〕。
答:
这棵树一年生长了1.495M。
【考点】解直角三角形的应用〔仰角俯角问题〕。
1052629
【分析】由题意得:
∠DAB=37°,∠CAB=30°,BC=5M,然后分别在RT△ABC与RT△DAB中,利用正切函数求解即可求得答案。
7.〔2018湖南郴州6分〕如图,水坝的横断面是梯形,背水坡AB的坡角∠BAE=45°,坝高BE=20米、汛期来临,为加大水坝的防洪强度,将坝底从A处向后水平延伸到F处,使新的背水坡BF的坡角∠F=30°,求AF的长度、〔结果精确到1米,参考数据:
〕
【答案】解:
∵RT△ABE中,∠BAE=45°,坝高BE=20米,∴AE=BE=20米。
在RT△BEF中,BE=20,∠F=30°,∴EF=BE÷TAN30°=20
。
∴AF=EF-AE=20
-20≈15。
∴AF的长约为15米。
【考点】解直角三角形的应用〔坡度坡角问题〕,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。
【分析】在RT△ABE中,根据坡面AB的长以及坡角的度数,求得铅直高度BE和水平宽AE的值,从而可在RT△BFE中,根据BE的长及坡角的度数,通过解直角三角形求出EF的长;根据AF=EF-AE,即可得出AF的长度。
8.〔2018湖南娄底7分〕如图,小红同学用仪器测量一棵大树AB的高度,在C处测得∠ADG=30°,在E处测得∠AFG=60°,CE=8米,仪器高度CD=1.5米,求这棵树AB的高度〔结果保留两位有效数字,
≈1.732〕、
9.〔2018湖南衡阳6分〕如图,AF=DC,BC∥EF,请只补充一个条件,使得△ABC≌△DEF,并说明理由、
【答案】解:
补充条件:
EF=BC,可使得△ABC≌△DEF。
理由如下:
∵AF=DC,∴AF+FC=DC+FC,即:
AC=DF。
∵BC∥EF,∴∠EFD=∠BCA。
在△EFD和△BCA中,∵BC=EF,∠BCAD=∠EF,AC=DF,
∴△ABC≌△DEF〔SAS〕、
【考点】开放型,平行的性质,全等三角形的判定。
【分析】首先由AF=DC可得AC=DF,再由BC∥EF根据两直线平行,内错角相等可得∠EFD=∠BCA,再加上条件EF=BC即可利用SAS证明△ABC≌△DEF;再加上条件∠A=∠D或∠B=∠E即可利用AAS证明△ABC≌△DEF。
还可加上条件AB∥ED等。
答案不唯一。
10.〔2018湖南衡阳6分〕如图,一段河坝的横截面为梯形ABCD,试根据图中数据,求出坝底宽AD、〔I=CE:
ED,单位:
M〕
【答案】解:
作BF⊥AD于点F、那么BF=CE=4,
在RT△ABF中,
,
在RT△CED中,根据I=
,得
。
那么AD=AF+EF+ED=3+4.5+
=〔7.5+
〕。
答:
坝底宽AD为〔7.5+
〕M。
【考点】解直角三角形的应用〔坡度坡角问题〕,勾股定理,坡比的定义。
119281
【分析】作BF⊥AD于点于F,在直角△ABF中利用勾股定理即可求得AF的长,在RT△CED中,利用坡比的定义即可求得ED的长度,从而即可求得AD的长。
11.〔2018湖南湘潭6分〕如图,矩形ABCD是供一辆机动车停放的车位示意图,BC=2M,CD=5.4M,∠DCF=30°,请你计算车位所占的宽度EF约为多少米?
〔
,结果保留两位有效数字、〕
【答案】解:
在RT△DCF中,∵CD=5.4M,∠DCF=30°,∴
。
∴DF=2.7。
∵∠CDF+∠DCF=90°∠ADE+∠CDF=90°,∴∠ADE=∠DCF=30°。
∵AD=BC=2,
∴在RT△AED中,
。
∴DE=
。
∴EF=ED+DF=2.7+1.73≈4.4〔米〕。
答:
车位所占的宽度EF约为4.4米。
【考点】解直角三角形的应用,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。
【分析】分别在RT△BCF和RT△AED中求得DF和DE的长后相加即可得到EF的长。
12.〔2018湖南湘潭8分〕如图,△ABC是边长为3的等边三角形,将△ABC沿直线BC向右平移,使B
点与C点重合,得到△DCE,连接BD,交AC于F、
〔1〕猜想AC与BD的位置关系,并证明你的结论;
〔2〕求线段BD的长、
【答案】解:
〔1〕AC⊥BD。
证明如下:
∵△DCE由△ABC平移而成,∴△DCE≌△ABC。
又∵△ABC是等边三角形,∴BC=CD=CE=DE,∠E=∠ACB=60°。
∴∠DBC=∠BDC=30°。
∴∠BDE=90°。
∵BD⊥DE,
∵∠E=∠ACB=60°,∴AC∥DE。
∴BD⊥AC。
〔2〕在RT△BED中,∵BE=6,DE=3,∴
。
【考点】等边三角形的性质,平移的性质,三角形内角和定理,平行的判定和性质,勾股定理。
【分析】〔1〕由平移的性质可知△DCE≌△ABC。
故可得出BD⊥DE,由∠E=∠ACB=60°可知AC∥DE,故可得出结论。
〔2〕在RT△BDE中利用勾股定理即可得出BD的长。
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