八年级数学苏科版下册 第九章 能力训练.docx
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八年级数学苏科版下册第九章能力训练
8年级能力训练3
1、两个大小不同的等腰直角三角形三角板按图2所示的方式放置。
图3是由它抽象出的几何图形,点B、C、E在同一条直线上,连接DC.
(1)请找出图3中的全等三角形,并给予证明;(说明:
结论中不得含有未标识的字母)
(2)证明:
DC⊥BE.
(1)图3中,△ABE≌△ACD(SAS)。
证明略。
(2)由△ABE≌△ACD,可知∠ACD=∠ABE=45°,又∠ACB=45°,所以∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°,DC⊥BE.
2、如图,在矩形ABCD中,AB=1,BC=3,点E为BC边上的动点(点E与点B、C不重合),设BE=x.
操作:
在射线BC上取一点F,使得EF=BE,以点F为直角顶点、EF为边作等腰直角三角形EFG,设△EFG与矩形ABCD重叠部分的面积为S.
(1)求S与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(2)S是否存在最大值?
若存在,请直接写出最大值,若不存在,请说明理由.
(1)①当0<x≤1时,FG=EF=x≤1=AB(如图1),
∴S=
x2(0<x≤1);
②当1<x≤1.5时,FG=EF=x>1=AB(如图2),设EG与AD相交于点M,FG与AD相交于点N,则MN=GN=x-1,S=
(x-1+x)×1=x-
(1<x≤1.5);
③当1.5<x≤2时(如图3),设EG与AD相交于点M,AD的延长线与FG相交于点N,MN=GN=x-1,DN=CF=BF-BC=2x-3,MD=MN-DN=(x-1)-(2x-3)=2-x
S=
(2-x+3-x)×1=-x+
(1.5<x≤2)
④当2<x<3时(如图4),设EG与CD相交于点M,CM=CE=3-x,
∴S=
(3-x)2=
x2-3x+
(2<x<3)
(2)存在,其最大值为1.
3、
如图,已知菱形ABCD的边长为2,∠B=60°,点P、Q分别是边BC、CD上的动点(不与端点重合),且BP=CQ.
(1)图中除了△ABC与△ADC外,还有哪些三角
形全等,请写出来;
(2)点P、Q在运动过程中,四边形APCQ的面
积是否变化,如果变化,请说明理由;如果
不变,请求出面积;
(3)当点P在什么位置时,△PCQ的面积最大,
并请说明理由.
4、已知:
如图,在菱形ABCD中,∠B=60°,把一个含60°角的三角尺与这个
菱形叠合,使三角尺60°角的顶点与点A重合,将三角尺绕点A按逆时针方向旋转.
(1)如图1,当三角尺的两边分别与菱形的两边BC、CD相交于点E、F.
求证:
CE+CF=AB;
(2)如图2,当三角尺的两边分别与菱形的两边BC、CD的延长线相交于点E、F.写出此时CE、CF、AB长度之间关系的结论.(不需要证明)
A
(第25题)
(1)证明:
连接AC.
A
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD=DA.
∵∠B=60°,∴∠D=60°,
∴△ABC、△ACD都是等边三角形,
∴AB=AC,∠BAC=∠ACD=∠B=60°.
∵∠EAF=60°,∴∠BAC=∠EAF=60°,
∴∠BAC-∠EAC=∠EAF-∠EAC,
即∠BAE=∠CAF∴△BAE≌△CAF,…∴BE=CF,
∴CE+CF=CB=AB.
(2)
.
5、如图1,在正方形ABCD中,点E为BC上一点,连接DE,把△DEC沿DE
折叠得到△DEF,延长EF交AB于G,连接DG.
(1)求证:
∠EDG=45°.
(2)如图2,E为BC的中点,连接BF.
①求证:
BF∥DE;
②若正方形边长为6,求线段AG的长.
(3)当BE︰EC=时,DE=DG.
(1)证明:
∵四边形ABCD是正方形,
∴DC=DA.∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°.
G
∵△DEC沿DE折叠得到△DEF,
∴∠DFE=∠C,DC=DF,∠1=∠2,
∴∠DFG=∠A,DA=DF,
又∵DG=DG,
∴△DGA≌△DGF,
∴∠3=∠4,
∴∠EDG=∠3+∠2=
(∠ADF+∠FDC)=45°.
(2)①证明:
∵△DEC沿DE折叠得到△DEF,E为BC的中点
∴CE=EF=BE,∠DEF=∠DEC.
∴∠5=∠6,
∵∠FEC=∠5+∠6,∴∠DEF+∠DEC=∠5+∠6
∴2∠5=2∠DEC,即∠5=∠DEC
∴BF∥DE.
②解:
设AG=x,则GF=x,BG=6-x
由正方形边长为6,得CE=EF=BE=3,
∴GE=EF+GF=3+x.在Rt△GBE中,根据勾股定理得:
解得x=2,即线段AG的长为2.
(3)
6、已知:
在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,点D是AB的中点,点E是AB边上一点.
(1)直线BF垂直于直线CE于点F,交CD于点G(如图①),求证:
AE=CG;
(2)直线AH垂直于直线CE,垂足为点H,交CD的延长线于点M(如图②),找出图中与BE相等的线段,并证明.
解:
⑴因为直线BF垂直于CE于点F,所以∠CFB=90°,
所以∠ECB+∠CBF=90°.
又因为∠ACE+∠ECB=90°,所以∠ACE=∠CBF .
因为AC=BC,∠ACB=90°,所以∠A=∠CBA=45°.
又因为点D是AB的中点,所以∠DCB=45°.
因为∠ACE=∠CBF,∠DCB=∠A,AC=BC,所以△CAE≌△BCG,所以AE=CG.
(2)BE=CM.证明:
∵∠ACB=90°,∴∠ACH+∠BCF=90°.
∵CH⊥AM,即∠CHA=90°,∴∠ACH+∠CAH=90°,∴∠BCF=∠CAH.
∵CD为等腰直角三角形斜边上的中线,∴CD=AD.∴∠ACD=45°.
△CAM与△BCE中,BC=CA,∠BCF=∠CAH,∠CBE=∠ACM,
∴△CAM≌△BCE,∴BE=CM.
7、等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,点A、点B分别是x轴、y轴两个动点,直角边AC交x轴于点D,斜边BC交y轴于点E;
(1)如图
(1),若A(0,1),B(2,0),求C点的坐标;
(2)如图
(2),当等腰Rt△ABC运动到使点D恰为AC中点时,连接DE,求证:
∠ADB=∠CDE
(3)如图(3),在等腰Rt△ABC不断运动的过程中,若满足BD始终是∠ABC的平分线,试探究:
线段OA、OD、BD三者之间是否存在某一固定的数量关系,并说明理由.
(1)过点C作CF⊥y轴于点F
通过证△ACF≌△ABO(AAS)
得CF=OA=1,AF=OB=2∴OF=1∴C(-1,-1)
(2)过点C作CG⊥AC交y轴于点G
通过证△ACG≌△ABD(ASA)得CG=AD=CD∠ADB=∠G由∠DCE=∠GCE=45°
可证△DCE≌△GCE(SAS)得∠CDE=∠G∴∠ADB=∠CDE
8、如图1,在△ABC中,AB=BC,P为AB边上一点,连接CP,以PA、PC为邻边作□APCD,AC与PD相交于点E,已知∠ABC=∠AEP=α(0°<α<90°).
(1)求证:
∠EAP=∠EPA;
(2)□APCD是否为矩形?
请说明理由;
(3)如图2,F为BC中点,连接FP,将∠AEP绕点E顺时针旋转适当的角度,得到∠MEN(点M、N分别是∠MEN的两边与BA、FP延长线的交点).猜想线段EM与EN之间的数量关系,并证明你的结论.
解:
(1)在ΔABC和ΔAEP中,∵∠ABC=∠AEP,∠BAC=∠EAP,∴∠ACB=∠APE,在ΔABC中,AB=BC,∴∠ACB=∠BAC,∴∠EPA=∠EAP;
(2)答:
□APCD是矩形,∵四边形APCD是平行四边形,∴AC=2EA,PD=2EP,∵由
(1)知∠EPA=∠EAP,∴EA=EP,则AC=PD,∴□APCD是矩形;(3)答:
EM=EN,∵EA=EP,∴∠EPA=90°-
α,∴∠EAM=180°-∠EPA=180°-(90°-
α)=90°+
α,由
(2)知∠CPB=90°,F是BC的中点,∴FP=FB,∴∠FPB=∠ABC=α,∴∠EPN=∠EPA+∠APN=∠EPA+∠FPB=90°-
α+α=90°+
α,∴∠EAM=∠EPN,∵∠AEP绕点E顺时针旋转适当的角度,得到∠MEN,∴∠AEP=∠MEN,∴∠AEP-∠AEN=∠MEN-∠AEN,即∠MEA=∠NEP,∴ΔEAM≌ΔEPN,∴EM=EN。
9、如图,四边形ABCD是正方形,点E,K分别在BC,AB上,点G在BA的延长线上,且CE=BK=AG.
(1)求证:
①DE=DG;②DE⊥DG
(2)尺规作图:
以线段DE,DG为边作出正方形DEFG(要求:
只保留
作图痕迹,不写作法和证明);
(3)连接
(2)中的KF,猜想并写出四边形CEFK是怎样的特殊四边形,
并证明你的猜想:
(4)当
时,求
的值.
解:
(1)∵四边形ABCD是正方形,∴DC=DA,∠DCE=∠DAG=90°,
又∵CE=AG,∴△DCE≌△GDA,∴DE=DG,∠EDC=∠GDA,又∵∠ADE+∠EDC=90°,∴∠ADE+∠GDA=90°∴DE⊥DG;
(2)如图:
;
(3)四边形CEFK为平行四边形。
证明:
设CK、DE相交于M点
∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形,∴AB∥CD,AB=CD,EF=DG,EF∥DG,
∵BK=AG,∴KG=AB=CD,∴四边形CKGD是平行四边形,∴CK=DG=EF,CK∥DG,
∴∠KME=∠GDE=∠DEF=90°,∴∠KME+∠DEF=180°,∴CK∥EF,
∴四边形CEFK为平行四边形;
(4)∵
,∴设CE=x,CB=nx,∴CD=nx,∴DE2=CE2+CD2=n2x2+x2=(n2+1)x2,
∵BC2=n2x2,∴
=
=
。
10、已知:
正方形ABCD中,∠MAN=45°,∠MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB,DC(或它们的延长线)于点M,N.当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时(如图1),易证BM+DN=MN.
(1)当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时(如图2),线段BM,DN和MN之间有怎样的数量关系?
写出猜想,并加以证明.
(2)当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时,线段BM,DN和MN之间又有怎样的数量关系?
并说明理由.
图1图2图3
(1)证明:
如图1,延长CB至E使得BE=DN,连接AE,∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠D=∠ABC=90°=∠ABE,在△ADN和△ABE中∵
AD=AB
∠D=∠ABE
DN=BE
,△ABE≌△ADN(SAS),∴∠BAE=∠DAN,AE=AN,
∴∠EAN=∠BAE+∠BAN=∠DAN+∠BAN=90°,∵∠MAN=45°,∴∠EAM=∠MAN,∵在△EAM和△NAM中
AE=AN
∠EAM=∠NAM
AM=AM
,∴△EAM≌△NAM,∴MN=ME,∵ME=BM+BE=BM+DN,∴BM+DN=MN;
(2)解:
线段BM,DN和MN之间数量关系是BM+DN=MN,理由如下:
延长CB至E,使得BE=DN,连接AE,∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠D=∠ABC=90°=∠ABE,在△ADN和△ABE中,∵
AD=AB
∠D=∠ABE
DN=BE
,∴△ABE≌△ADN(SAS),∴∠BAE=∠DAN,AE=AN,∴∠EAN=∠BAE+∠BAN=∠DAN+∠BAN=90°,∵∠MAN=45°,∴∠EAM=∠MAN,∵在△EAM和△NAM中
AE=AN
∠EAM=∠NAM
AM=AM
,∴△EAM≌△NAM,∴MN=ME,∵ME=BM+BE=BM+DN,∴BM+DN=MN,故答案为:
BM+DN=MN;
(3)DN-BM=MN,理由如下:
如图3,在DC上截取DE=BM,连接AE,由
(1)知△ADE≌△ABM(SAS),∴∠DAE=∠BAM,AE=AM,∴∠EAM=∠BAM+∠BAE=∠DAE+∠BAE=90°,∵∠MAN=45°,∴∠EAN=∠MAN.∵在△MAN和△EAN中,
AE=AM
∠MAN=∠EAN
AN=AN
,∴△MAN≌△EAN(SAS),∴EN=MN,即DN-DE=MN,∴DN-BM=MN.
11、如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,∠BCD=900,AB=AD=10cm,BC=8cm.点P从点A出发,以每秒3cm的速度沿线段AB方向向B运动,点Q从点D出发,以每秒2cm的速度沿线段DC方向向点C运动.已知动点P、Q同时发,当点Q运动到点C时,P、Q同时运动停止,设运动时间为t秒。
(1)求CD的长;
(2)当t为何值时,当四边形PBQD为平行四边形时;
(3)在运动过程中,是否存在四边形BCQP是矩形,若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由。
1、过A做AE⊥CD于E则:
ADE为Rt⊿,AECB为矩形,AE=BC在Rt⊿ADE中,DE=√AD²-AE²=150px
CE=AB=250px∴CD=CE+DE=400ox
2、四边形PBQD为平行四边形时BP=DQBP=250-75T
DQ=50T解T=250*2<400∴T=2时,PBQD是平行四边形
3、是否存在四边形BCQB是矩形?
?
是BCQP吧若BCQP是矩形,则BP=CQ
BP=250-75TCQ=400-50TT=-6所以不存在BCQB是矩形的情况。
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