点集拓扑21n维欧氏空间度量空间拓扑空间的概念定义.docx
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点集拓扑21n维欧氏空间度量空间拓扑空间的概念定义
第二章点集拓扑
d(x,y)「「(i-J2•称
X
§2.1.n维欧氏空间、度量空间、拓扑空间的概念
定义2.1.1.x=(1^,n),y=(1,…,n)・Rn,定义d:
RnRn>R为
d为Rn上的Euclid距离.
易证距离d满足:
20.d(x,y)=d(y,x);
10.d(x,y)_0,d(x,y)=0=x=y;
30.d(x,z)"(x,y)d(y,z),(x,y,zRn).
定义2.1.2.(距离空间,MetricalSpace)
X为非空集合,二元函数d:
XX>R满足:
10.非负性:
d(x,y)—0,d(x,y)=0二x=y;20.对称性:
d(x,y)二d(y,x);
30.三角不等式:
d(x,z)乞d(x,y)d(y,z)(x,y,zR).
称d为X上的一个距离,(X,d)为距离空间或度量空间.如AX,称(A,d)为距离子空间.
x^x,,开球:
B(x;r)={徉Xd(y,x)“};闭球:
S(x;r)={疔Xd(y,x)er}.
开集:
AX.xA,球B(x;r)A,称x为A的一个内点.如A中每个点都是内点,则称A为开集.开球是开集;R2中第一象限区域(不含坐标轴)是开集.
记(A,d)中开集全体为•,则有如下结论.
定理2.1.1.
(1),X;⑵G,G2二(GG2);(3)G.(「上)=G..
例:
(1)离散空间.
、,人0,x=y
X式©,定义d(x,y)=」(x,y^X).称X为离散距离空间.
1,x*
(2)C[a,b]空间.
C[a,b]={x(t)|x(t)为[a,b]上连续函数}.x=x(t),y=y(t)c[a,b],定义d(x,y)=舉於x(t)-y(t),
d是距离.
⑶有界函数空间B(X).
X叮,B(X)={x(t)x(t)为X上有界函数}.定义d(x,y^supx(t)-y(t),(X,严B(X)),d是距tuX
离.称B(X)为有界函数空间.
取X=N*,记B(X)=I~{X=Gn)|Gn)有界}.X=Gn),^Cn),d(X,y)=SUPn」n.
n^N
定义2.1.3.设X八,•P(X)满足:
⑴©,XET;⑵T对于有限交运算圭寸闭:
Gi,…,Gn5=nGi乏£;
「=1丿
/X
⑶飞对于任意并运算封闭:
G讣T仏EA)nUEjk?
u=A丿
称・为X上的一个拓扑(Topology),X上安装了拓扑•,(X,)是拓扑空间(TopologicalSpace).每个
G忘e称为开集.如A^X,令EA={GnAGEE},称(A,7a)为(拓扑)子空间.
例:
(1)度量空间(X,d)是拓扑空间,称为由距离d诱导的拓扑•.
⑵设1,={,X},称(X,)是平凡拓扑空间.
⑶设X八,•二P(X),称(X,.)是离散拓扑空间.
⑷X=N={0,1,2「,n,},令.={AX(XA)为有限集}{},则(X,)成为拓扑空间.
§.2.拓扑空间中的基本概念
设(X,•)是拓扑空间,AX.
定义:
(1)若A是开集,称A为闭集.
—△
⑵A的闭包A二F(包含A的最小闭集).
AC=F,F闭
⑶若X,G,G是开集,称G为x的一个邻域.xA,邻域G,使xGA,称x为A的内点.A的内点全体称为A的核(内部),记A0为.(书R5(3)错)
⑷AX,x•X,-x的邻域G,有GA=,GA=■,称x为A的边界点.A的边界点全体称为A
的边界,记为:
A.
显然,A0,A,(Ac)0互不相交,X=A:
A(Ac)°.
⑸x,X,AX,-x的邻域G,有(G{x})A=•,称x为A的聚点.A的聚点全体称为A的导集,
记A.
⑹x(AA),称x为A的孤立点.
⑺若A=A•,称A为完全集(完备集).
(8)若A。
二:
称A为疏朗集(无处稠密集).A不在任何开集中稠密.
⑶A,BX,若A二B,称A在B中稠密.它等价于:
一;•0,BB(y;;).
产A
-ho
(10)F二-型集A:
A二Fn,(Fn闭集);
n=1
G-型集B:
B=Gn,(Gn开集)•
n丄
(11)设B在A中稠密,B乞xo,称A为可分集•若X可分,称X为可分空间.
Hoc
(12)若A二En,(En疏朗),称A为第一纲集;否则称A为第二纲集•
n丄
(13)设(X,d)为度量空间,AX•若存在球B(xo;r),使AB(x°;r),称A为有界集.
设A,B二X,;・0.若AB(X;;),称b为A的一个;一网.若-;•0,a具有有限的;一网b,X出
称A为完全有界集.
注:
可取有限的;-网BA.
如:
球B(Xo;r)Rn是完全有界集.
(14)设{Xn}X,若xX,使limd(Xn,x)=0.称{Xn}收敛于X,记limx^x或
—说n_^-bc
xn_x(n_;').
极限是唯一的;收敛点列是有界集.
(15)设(X,d)为度量空间,AX.若A中任一点列都存在收敛于X中点的子列,称A为列紧集.
女口:
欧氏空间Rn中的有界集是列紧集.
(16)设A-X,{G■}/三I、是开集族.若A--■G,,称{G,h三食为A的一个开覆盖.若A的任一开覆盖
n
{GK,存在有限子覆盖:
AGi,称A为紧集.若空间X紧,称X为紧空间.
i=1
(17)设(X,d)为度量空间,{Xn}x,-;7,N0,当m,n•N时,有d(xm,x.)「,则称{人}为
Cauchy序列(基本列).若X中每个基本列均收敛,称X是完备的度量空间.
如:
收敛点列必是基本列.Rn是完备的度量空间.
以下假设(X,•)是拓扑空间.
定理221.(闭集的性质)
(1),X是闭集;
(2)有限个闭集之并是闭集;(3)任意多个闭集之交是闭集.
定理222.
(1)A是A的最大开子集;A为开集二A二A°.
⑵A是包含A的最小闭集;A为闭集二A=A.
⑶A为闭集二AA.(4)A=AA.(5)A=A°.
(6)(X,d)为度量空间,则AX为闭集二A中取极限运算封闭.
A
⑺A为度量空间X中闭集=若d(x,A)二ynfAd(x,y)=0,则xA.
选证:
(1)记{G』"A}为A的全体开子集所成之集族.则X^A°=使X^G产XEUG扎,
I底A)
于是A二G是开集,且是A的最大开子集.故A为开集=A°=A•
⑶若A为闭集,则A为开集,且AA=••由聚点定义,xA=X(A)c,即A(A)c,AA•反之,设AA,则x・A=x(A)c,故存在x的某个邻域G,满足(G{x}A)二.而x・Ac,
GA「,即GAc,说明x是A的内点,Ac是开集,A是闭集.
⑹设点列{Xn}A,Xn》X,X•若{xn}有无穷多项互异,则xA;否则xA•从而总有xA•由
⑵得证.
例1.E=[0,0.5)Z,则E—(0,0.5);ET0,0.5];E=EE=[0,0.5]Z.
由于EE不成立,E不是闭集.
例2.X=R2,A={(x,y)x^R,y^0}.贝UA、A;A°={(x,y)y>0,XR}.
A二AA^A;{(x,0)xR}.
例3.证明AR的导集A■是闭集.
证:
需要证(AJc是开集.
一X•(A)c,X不是A的聚点,存在X的邻域U(xr),U(X「)中不存在异于X的A中的点,故U(x^)中的每个点均不是A的聚点•于是U(x「)(A)c,(A)c是开集.
定理2.2.3.A=X=-非空开集GX,有AG-.
证:
设A=X.若开集G满足AG=.贝UAGc,(Gc为闭)•由Th2.2.2.
(2)得AGc,于是,
G(A)c=Xc二.
反之,由于(A)cA=•且(A)c为开集,由条件,(A)c「•,得A=X.
定理2.2.4.(疏朗集的三种等价描述)
(1)(A)°二;⑵-非空开集G二G(A)c=;
(3)-非空开集G,必含有非空开子集GoG,满足AG^.
证:
(1)=
(2)•若开集G满足G(A)^•,则GA,于是G(A)^,G=.⑵成立.
(2)=(3).-非空开集G,令G°=G(A)c,G0为G的非空开子集,且AG°AA=:
⑶-
(1).反证法•假设(A)°八,由⑶,存在非空开集G。
(A)o,满足AG^,即A(G°)c(闭
集),AGo,G0(A)c(开集),从而G°=(A)cG。
」(G0A).矛盾.(Rs错)
定理2.2.5.在度量空间中,完全有界集是有界的可分集.
n
固定Xo
证:
设AX为完全有界集,存在X中有限多个球{B(x<;1)}?
,使A二、B(Xk;1).
k二
n
记r=1'd(Xk,Xo).-xA,k,使xB(Xk;1),即d(x,xQ:
:
1
k丄
A有界.
d(x,Xo),(x,Xk)d(Xk,x°):
:
r,即AB(xo;r),
nk
(k).1
1、nk
;kjQ"XDB(X;J,D在A中稠密,A为可分集.
定理2.26在度量空间中,列紧集是完全有界集.
没有有限的;0
证:
反证法.假设AX是列紧集,但A不是完全有界集,0,A
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- 拓扑 21 维欧氏 空间 度量 概念 定义