第6章一次函数期末复习.docx

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第6章一次函数期末复习

第6章一次函数期末复习

一、知识点（考点）

考点一：

变量和函数

1.变量：

在一个变化过程中可以取不同数值的量。

常量：

在一个变化过程中只能取同一数值的量。

2.函数：

一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。

例如：

y=±x，当x=1时，y有两个对应值，所以y=±x不是函数关系。

对于不同的自变量x的取值，y的值可以相同，例如，函数：

y=|x|，当x=±1时，y的对应值都是1。

3.确定函数取值范围的方法：

（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；

（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。

考点二：

函数的表示法

1.三种表示方法

列表法：

一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。

解析法：

即函数解析式，简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。

图像法：

形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。

2.列表法：

列一张表，第一行表示自变量取的各个值，第二行表示相应的函数值（即应变量的对应值）

3.解析法：

用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。

一般情况下，等号右边的变量是自变量，等号左边的变量是因变量。

用函数解析式表示函数关系的方法就是公式法。

4.函数的图像

一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．

5.描点法画函数图形的一般步骤（通常选五点法）

第一步：

列表（根据自变量的取值范围从小到大或从中间向两边取值）；

第二步：

描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；

第三步：

连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。

考点三：

一次函数图像及其性质

1.一次函数及性质

一般地，形如y=kx＋b（k,b是常数，k≠0），那么y叫做x的一次函数.当b=0时，y=kx＋b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。

注：

一次函数一般形式y=kx+b（k不为零）

k不为零

x指数为1

b取任意实数；k（称为斜率）表示直线y=kx+b（k≠0）的倾斜程度，b称为截距。

一次函数y=kx+b的图象是经过（0，b）和（-

，0）两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到.

（1）解析式：

y=kx+b（k、b是常数，k

0），必过点：

（0，b）和（-

，0）。

（2）走向：

依据k、b的值分类判断，见下图：

（3）增减性：

k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小。

（4）倾斜度：

|k|越大，图象越接近于y轴；|k|越小，图象越接近于x轴.

（5）图像的平移：

当b>0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位；当b<0时，将直线y=kx的图象向下平移b个单位。

b的正、负决定直线与y轴交点的位置；①当b＞0时，直线与y轴交于正半轴上；②当b＜0时，直线与y轴交于负半轴上；③当b=0时，直线经过原点，是正比例函数

2.正比例函数性质：

一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。

注：

正比例函数一般形式y=kx（k不为零）

k不为零

x指数为1

b取零。

（1）解析式：

y=kx（k是常数，k≠0）必过点：

（0，0）、（1，k）

（2）走向：

k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，图像经过二、四象限

（3）增减性：

k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小

（4）倾斜度：

|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴

3.一次函数y=kx＋b的图象的画法.

根据几何知识：

经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：

是先选取它与两坐标轴的交点：

（0，b），

，即横坐标或纵坐标为0的点。

b>0

b<0

b=0

k>0

经过第一、二、三象限

经过第一、三、四象限

经过第一、三象限

图象从左到右上升，y随x的增大而增大

k<0

经过第一、二、四象限

经过第二、三、四象限

经过第二、四象限

图象从左到右下降，y随x的增大而减小

4.正比例函数与一次函数图象之间的关系

一次函数y=kx＋b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移,）上加下减，左加右减

5.直线y=k1x+b1与y=k2x+b2的位置关系

（1）两直线平行：

k1=k2且b1

b2

（2）两直线相交：

k1

k2

（3）两直线重合：

k1=k2且b1=b2（4）两直线垂直：

即k1﹒k2=-1

（5）两直线交于y轴上同一点:

b1=b2

考点四：

用待定系数法确定一次函数解析式

1.一般步骤（一设二代三解四还原）：

（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；

（2）将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；

　　（3）解方程得出未知系数的值；

　　（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.

2.一元一次方程与一次函数的关系

任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：

当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值.从图像上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值.

3.一次函数与一元一次不等式的关系

任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：

当一次函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围.

4.一次函数与二元一次方程组

（1）以二元一次方程ax+by=c的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=

的图象相同.

（2）二元一次方程组

的解可以看作是两个一次函数y=

和y=

的图象交点.

5、关于点的距离的问题

方法：

点到x轴的距离用纵坐标的绝对值表示，点到y轴的距离用横坐标的绝对值表示；

任意两点

的距离为

；

若AB∥x轴，则

的距离为

；

若AB∥y轴，则

的距离为

；

点

到原点之间的距离为

二、典型例题

例1．（2014•福建泉州）某学校开展“青少年科技创新比赛”活动，“喜洋洋”代表队设计了一个遥控车沿直线轨道AC做匀速直线运动的模型．甲、乙两车同时分别从A，B出发，沿轨道到达C处，在AC上，甲的速度是乙的速度的1.5倍，设t（分）后甲、乙两遥控车与B处的距离分别为d1，d2，则d1，d2与t的函数关系如图，试根据图象解决下列问题：

（1）填空：

乙的速度v2=　　米/分；

（2）写出d1与t的函数关系式；

（3）若甲、乙两遥控车的距离超过10米时信号不会产生相互干扰，试探求什么时间两遥控车的信号不会产生相互干扰？

例2．（2014•珠海）为庆祝商都正式营业，商都推出了两种购物方案．方案一：

非会员购物所有商品价格可获九五折优惠，方案二：

如交纳300元会费成为该商都会员，则所有商品价格可获九折优惠．

（1）以x（元）表示商品价格，y（元）表示支出金额，分别写出两种购物方案中y关于x的函数解析式；

（2）若某人计划在商都购买价格为5880元的电视机一台，请分析选择哪种方案更省钱？

例3．（2014年天津市）“黄金1号”玉米种子的价格为5元/kg，如果一次购买2kg以上的种子，超过2kg部分的种子的价格打8折．

（Ⅰ）根据题意，填写下表：

购买种子的数量/kg1.523.54…

付款金额/元7.5　　16　…

（Ⅱ）设购买种子数量为xkg，付款金额为y元，求y关于x的函数解析式；

（Ⅲ）若小张一次购买该种子花费了30元，求他购买种子的数量．

例4．

（1）一次函数

与X轴交于点A、与Y轴交于点B，若X轴有一点C，使⊿ABC为等腰三角形，求点C的坐标；

（2）直线

，

使得

的值最小，求点Q的坐标；

基础练习题

一、选择题：

1．函数y=

中的自变量x的取值范围是（　　）

A．

x≥0

B．

x≠1

C．

x＞0

D．

x≥0且x≠1

2．（2014年四川资阳）一次函数y=﹣2x+1的图象不经过下列哪个象限（　　）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

3．（2014•温州）一次函数y=2x+4的图象与y轴交点的坐标是（　　）

A．

（0，﹣4）

B．

（0，4）

C．

（2，0）

D．

（﹣2，0）

4．（2014年广东汕尾，第10题4分）已知直线y=kx+b，若k+b=﹣5，kb=6，那么该直线不经过（　）

　A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

5．（2014•毕节地区，第14题3分）如图，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x≥ax+4的解集为（）

A．

x≥

B．

x≤3

C．

x≤

D．

x≥3

6．（2014•邵阳）已知点M（1，a）和点N（2，b）是一次函数y=﹣2x+1图象上的两点，则a与b的大小关系是（）

A．

a＞b

B．

a=b

C．

a＜b

D．

以上都不对

7．（2014•德州）图象中所反映的过程是：

张强从家跑

步去体育场，在那里锻炼了一阵后，又去早餐店吃早餐，

然后散步走回家．其中x表示时间，y表示张强离家的

距离．根据图象提供的信息，以下四个说法错误的是（　　）

A．

体育场离张强家2.5千米

B．

张强在体育场锻炼了15分钟

C．

体育场离早餐店4千米

D．

张强从早餐店回家的平均速度约是3千米/小时

8．（2014•孝感）如图，直线y=﹣x+m与y=nx+4n（n≠0）

的交点的横坐标为﹣2，则关于x的不等式﹣x+m＞nx+4n＞0

的整数解为（　　）

A．

﹣1

B．

﹣5

C．

﹣4

D．

﹣3

二、填空题：

9．（2014年四川资阳）函数y=1+

中自变量x的取值范围是　　．

10．（2014•舟山）过点（﹣1，7）的一条直线与x轴，

y轴分别相交于点A，B，且与直线

平行．

则在线段AB上，横、纵坐标都是整数的点的坐标

是　　。

11．（2014•武汉）如图一次越野跑中，当小明跑了

1600米时，小刚跑了1400米，小明、小刚在此后所

跑的路程y（米）与时间t（秒）之间的函数关系如图，

则这次越野跑的全程为米．

12．已知直线y=2x﹣b经过点（1，﹣1），关于x的不等式2x﹣b≥0的解集为．

13．（2014•广西贺州）已知P1（1，y1），P2（2，y2）是正比例函数y=x的图象上的两点，则y1　　y2（填“＞”或“＜”或“=”）．

14．（2014•四川自贡）一次函数y=kx+b，当1≤x≤4时，3≤y≤6，则

的值是　　．

15．（2014·浙江金华）小明从家跑步到学校，接着

马上步行回家.如图是小明离家的路程y（米）与时

间t（分）的函数图象，则小明回家的速度是每分钟

步行米．

16．（2014•株洲）直线y=k1x+b1（k1＞0）与y=k2x+b2

（k2＜0）相交于点（﹣2，0），且两直线与y轴围城的

三角形面积为4，那么b1﹣b2等于　　．

17．（2014•泰州）将一次函数y=3x﹣1的图象沿y轴向上平移3个单位后，得到的图象对应的函数关系式为　　．

18．如果直线y=-2x+k与两坐标轴所围成的三角形面积是9，则k的值为．

三、解答题：

19．已知一次函数y=-2x+4。

（1）求其图象与x轴、y轴交点坐标；

（2）求函数图象与坐标轴所围成的三角形面积。

20．已知函数y=（2m+1）x+m-3。

（1）若函数图象经过原点，求m的值；

（2）若函数图象在与y轴交点的纵坐标为－2，求m的值；

（3）若函数的图象平行直线y=3x–3，求m的值；

（4）若这个函数是一次函数,且y随着x的增大而减小，求m的取值范围。

21．已知y+2与x-1成正比例，且x=3时y=4。

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）当y=1时，求x的值。

22．已知直线m经过两点（1,6）、（-3，-2），它和x轴、y轴的交点是B、A，直线n过点（2，-2），且与y轴交点的纵坐标是-3，它和x轴、y轴的交点是D、C；

（1）分别写出两条直线解析式，并画草图；

（2）计算四边形ABCD的面积；

（3）若直线AB与DC交于点E，求△BCE的面积。

23．（2014•扬州改编）某店因为经营不善欠下38400元的无息贷款的债务，想转行经营服装专卖店又缺少资金．“中国梦想秀”栏目组决定借给该店30000元资金，并约定利用经营的利润偿还债务（所有债务均不计利息）．已知该店代理的品牌服装的进价为每件40元，该品牌服装日销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的关系可用图中的一条折线（实线）来表示．该店应支付员工的工资为每人每天82元，每天还应支付其它费用为106元（不包含债务）．

（1）求日销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系式；

（2）若该店暂不考虑偿还债务，当某天的销售价为48元/件时，当天正好收支平衡（收人=支出），求该店员工的人数；

24．（2014•湘潭，第24题）已知两直线L1：

y=k1x+b1，L2：

y=k2x+b2，若L1⊥L2，则有k1•k2=﹣1．

（1）应用：

已知y=2x+1与y=kx﹣1垂直，求k；

（2）直线经过A（2，3），且与y=

x+3垂直，求解析式．

25．（2014•新疆）如图1所示，在A，B两地之间有汽车站C站，客车由A地驶往C站，货车由B地驶往A地．两车同时出发，匀速行驶．图2是客车、货车离C站飞路程y1，y2（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系图象．

（1）填空：

A，B两地相距　千米；

（2）求两小时后，货车离C站的路程y2与行驶时间x之间的函数关系式；

（3）客、货两车何时相遇？

参考答案：

例1．解：

（1）乙的速度v2=120÷3=40（米/分），故答案为：

40；

（2）v1=1.5v2=1.5×40=60（米/分），60÷60=1（分钟），a=1，

d1=

；

（3）d2=40t，当0≤t≤1时，d2﹣d1＞10，即﹣60t+60﹣40t＞10，解得0

；

当0

时，两遥控车的信号不会产生相互干扰；当1≤t≤3时，d1﹣d2＞10，

即40t﹣（60t﹣60）＞10，当1≤

时，两遥控车的信号不会产生相互干扰。

综上所述：

当0

或1≤t

时，两遥控车的信号不会产生相互干扰．

例2．解：

（1）方案一：

y=0.95x；方案二：

y=0.9x+300；

（2）当x=5880时，方案一：

y=0.95x=5586，方案二：

y=0.9x+300=5592，

5586＜5592，所以选择方案一更省钱．

例3．解：

（Ⅰ）10，8；

（Ⅱ）根据题意得，当0≤x≤2时，种子的价格为5元/千克，∴y=5x，

当x＞2时，其中有2千克的种子按5元/千克计价，超过部分按4元/千克计价，

∴y=5×2+4（x﹣2）=4x+2，

y关于x的函数解析式为y=

；

（Ⅲ）∵30＞2，∴一次性购买种子超过2千克，∴4x+2=30．解得x=7，

答：

他购买种子的数量是7千克．

例4．

（1）点C的的坐标为（-6，0）、（-4，0）、（16，0）、（-

，0）。

（2）解：

解得：

P（3，4）点B关于Y轴的对称点B’（0，-8），∴

的最小值为PB’

。

此时，设PB’的解析式为

，

，解得：

。

∴

，当

。

∴Q点的的坐标为（2，0）。

基础练习：

一、选择题：

DCBA，AACD

二、填空题：

9．

；10．（1，4），（3，1）；11．2200；12、

；13、

；14．2或﹣7；15、80；16．4；17．y=3x+2；18、

。

三、解答题：

19．

（1）（2，0），（0，4），

（2）4；20、

（1）3，

（2）1，（3）1；（4）

；21、

（1）

，

（2）2。

22、

23．解：

（1）当40≤x≤58时，设y与x的函数解析式为y=k1x+b1，由图象可得：

，解得

．∴y=2x+140．

当58＜x≤71时，设y与x的函数解析式为y=k2x+b2，由图象得：

，解得

，∴y=﹣x+82，综上所述：

y=

；

（2）设人数为a，当x=48时，y=﹣2×48+140=44，∴（48﹣40）×44=106+82a，解得a=3。

24．解：

（1）∵L1⊥L2，则k1•k2=﹣1，∴2k=﹣1，∴k=﹣；

（2）∵过点A直线与y=

x+3垂直，∴设过点A直线的直线解析式为y=3x+b，

把A（2，3）代入得，b=﹣3，∴解析式为y=3x﹣3．

25．解：

（1）填空：

A，B两地相距420千米；

（2）由图可知货车的速度为60÷2=30千米/小时，货车到达A地一共需要2+360÷30=14小时，

设y2=kx+b，代入点（2，0）、（14，360）得：

，解得

，所以y2=30x﹣60；

（3）设y1=mx+n，代入点（6，0）、（0，360）得：

解得

，所以y1=﹣60x+360

由y1=y2得30x﹣60=﹣60x+360，解得x=

。

答：

客、货两车经过

小时相遇．